Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

PROBLEMS LIKE BITSADZE – SAMARA FOR THE EQUATION OF MIXED TYPE

Kumykova S.K. 1 Erzhibova F.A. 1 Guchaeva Z.Kh. 1
1 Kabardino-Balkarian State University named after Kh.M. Berbekov
The work deals with the issue of unique solvability of nonlocal problems for an equation of mixed elliptic – hyperbolic type, when the elliptic part of the boundary is defined conormal derivative of the desired solution, and on the characteristic part of the boundary set nonlocal condition is point connecting the fractional derivative of the values of the solution on the characteristics of the value decision on the line of degeneracy. Under certain restrictions on the type neravenstvennogo known functions by the energy integrals proved the uniqueness theorem. The question of existence of solutions of regularization by the problem of Carleman – Vekua by substituting equivalent Manuella reduced to the question of the solvability of a singular integral equation with Cauchy kernel of the second kind. Write down the conditions guaranteeing the existence regularizes leading singular integral equation to a Fredholm equation of the second kind, which is unconditional solvability follows from the uniqueness of the solution of the problem. Define the following solutions on the degeneration line and its derivatives, the solution of the problem is defined as a solution to the problem Holmgren in the elliptic part of the area under consideration and the Cauchy problem in the hyperbolic part.
fractional differentiation operator
the equation of mixed type
equation Fredholm
singular integral equation

Теория краевых задач для вырождающихся гиперболического и смешанного типов уравнений в настоящее время является одними из важных разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это обусловлено как непосредственными связями уравнений смешанного типа с проблемами теории сингулярных интегральных уравнений, теорией интегральных преобразований и специальных функций, так и прикладными задачами механики и математической физики, сводящимися к таким уравнениям. Основы этой теории были заложены в трудах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта. Возникшие в приложениях проблемы околозвукового течения сжимаемой среды в плоской постановке и безмоментной теории оболочек описываются уравнениями смешанного типа, для которых как задача Трикоми, так и ее математические обобщения имеют вполне определенный физический смысл.

За последние годы исследования задач со смещением для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений ведутся особенно интенсивно. Актуальность этих исследований можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением поскольку они связаны с задачами газовой динамики, теории теплопроводности, теории упругости, теории оболочек, теории плазмы, математической биологии и многими другими вопросами механики. Нелокальные задачи встречаются при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтрации грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющем сложное строение, электрических колебаний в проводах, движения жидкости в канале, окруженном пористой средой, и других явлениях. Для уравнений смешанного типа нелокальные задачи исследовались в работах [1–6, 9]. Данная статья является продолжением этих исследований.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение смешанного типа

kumykova01.wmf (1)

где m = const > 0, в конечной области Ω ограниченной жордановой кривой σ с концами в точках A(0, 0), B(1, 0), расположенной в полуплоскости y > 0 и характеристиками уравнения (1)

kumykova02.wmf kumykova03.wmf

Пусть Ω1 и Ω2 – эллиптическая и гиперболическая части смешанной области Ω. Под регулярным решением уравнения (1) будет пониматься функция u(x, y) из класса kumykova04.wmf удовлетворяющая уравнению (1) в kumykova05.wmf и такая, что uy(x, 0), ux(x, 0) могут обращаться в бесконечность порядка ниже единицы на концах A и B интервала J: 0 < x< 1 прямой y = 0.

Задача.

Найти регулярное в области Ω решение u(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее условиям

kumykova06.wmf (2)

kumykova07.wmf (3)

где s – длина кривой σ, отсчитываемая от точки B; θ0(x) – точка пересечения характеристики уравнения (1), входящей из точки (x, 0) ∈ J с характеристикой AC; φ(s), α(x), β(x) – заданные функции, причем φ(s) ∈ C1(σ), kumykova08.wmf kumykova09.wmf kumykova10.wmf – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования [7, 10].

Доказательство единственности решения задачи

Теорема. В области Ω не может существовать более одного регулярного решения задачи, если выполнены условия

kumykova11.wmf (4)

kumykova12.wmf kumykova13.wmf. (5)

Доказательство. Примем следующие обозначения

kumykova14.wmf kumykova15.wmf

Решение задачи Коши для уравнения (1) в области Ω2 имеет вид [1]

kumykova16.wmf (6)

где Г(α) – гамма функция Эйлера.

Удовлетворив (6) условию (3), получим

kumykova17.wmf

Или, пользуясь известным соотношением [9]

kumykova18.wmf

будем иметь соотношение между τ(x) и ν(x), принесенное на J из гиперболической части Ω2 смешанной области Ω

kumykova19.wmf (7)

Теорему единственности можно доказать, предварительно доказав, что если u(x, y) является решением уравнения (1), удовлетворяющим однородным условиям (2), (3), то интеграл kumykova20.wmf не может быть отрицательным. В этом случае единственность решения задачи будет следовать из соотношений

kumykova21.wmf J1 ≥ 0. (8)

Покажем, что при выполнении условий (4), (5), интеграл J1 ≥ 0. Полагая β(x) = 0, перепишем (7) в виде

kumykova22.wmf

где

kumykova23.wmf

Рассмотрим интеграл

kumykova24.wmf

или

kumykova25.wmf

Воспользуемся известной формулой для гамма-функции [7]

kumykova26.wmf

Полагая в ней kumykova27.wmf, μ = 2ε, получим

kumykova28.wmf

Откуда находим

kumykova29.wmf

или, что то же самое,

kumykova30.wmf

С учетом того, что

kumykova31.wmf

kumykova32.wmf

kumykova33.wmf

kumykova34.wmf

Получим

kumykova35.wmf

Проинтегрировав последнее выражение по частям, найдем

kumykova36.wmf

При выполнении условий (5) будет выполняться a(1) > 0, a′(x) ≤ 0.

Действительно,

kumykova37.wmf

Так как kumykova38.wmf то при Г(2ε) – Г(ε)α(1) > 0 будет выполнено a(1) > 0, что обеспечивается первым из условий (5).

Далее a′(x) ≤ 0 будет выполнено, если

kumykova39.wmf

Таким образом, a′(x) ≤ 0 следует из второго из условий (5). Следовательно, J1 ≥ 0.

Из условия (8) – сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю и можно заключить, что

kumykova40.wmf.

Отсюда kumykova41.wmf kumykova42.wmf следовательно, u(x, y) ≡ c в Ω1, где c = const. Таким образом, в эллиптической части Ω1 u(x, y) = c. Следовательно, u(x, 0) = τ(x) = c, uy(x, 0) = ν(x) = 0.

Соотношение между τ(x) и ν(x) из гиперболической части Ω2 при β(x) = 0 имеет вид

kumykova43.wmf

Подставляя τ(x) = c и ν(x) = 0, получим

kumykova44.wmf

Но так как, согласно условию (4) kumykova45.wmf, то должно выполняться c = 0.

Отсюда заключаем, что u(x, y) ≡ 0 в Ω1, а в Ω2 u(x, y) ≡ 0 как решение задачи Коши с нулевыми данными: τ(x) = 0 и ν(x) = 0. Таким образом, u(x, y) ≡ 0 в Ω и решение задачи единственно.

Доказательство существования решения задачи. Переходя к доказательству существования решения задачи относительно кривой σ будем предполагать, что:

1) x = x(s), y = y(s) – параметрические уравнения кривой σ, где s – длина дуги, отсчитываемая от точки B, функции x′(s), y′(s) I C[0, l], причем x′(s), y′(s) одновременно в нуль не обращаются, производные x″(s), y″(s) удовлетворяют условию Гельдера на [0, l], где l – длина σ;

2) в окрестности концов σ выполнено условие

kumykova46.wmf,

где C – постоянная.

Соотношения между τ(x) и ν(x), принесенные на J из эллиптической и гиперболической частей смешанной области Ω, имеют соответственно вид (7) и

kumykova47.wmf (9)

где kumykova48.wmf

Свойства функций H(ξ, η; x, y), q2(ξ, η; x, y) подробно приведены в [1].

Исключая ν(x) из (7) и (9), получим

kumykova49.wmf (10)

Уравнение (10) с учетом тождества

kumykova50.wmf

и обозначения kumykova51.wmf примет вид

kumykova52.wmf (11)

где kumykova53.wmf

kumykova54.wmf kumykova55.wmf kumykova56.wmf

kumykova57.wmf

В результате замены

kumykova58.wmf kumykova59.wmf kumykova60.wmf kumykova61.wmf

kumykova62.wmf kumykova63.wmf kumykova64.wmf

получим сингулярное интегральное уравнение [8]

kumykova65.wmf (12)

Пусть

kumykova66.wmf

В силу того, что

kumykova67.wmf,

уравнение (12) есть сингулярное интегральное уравнение нормального типа, решение которого может быть построено согласно общей теории [8].

Оператор R[ρ*] является вполне непрерывным [8], а из свойств функции Грина и функции k(x, ξ) следует, что

kumykova68.wmf

где h > 0, kumykova69.wmf

Отсюда заключаем, что искомая функция kumykova70.wmf По найденному τ(x) можно определить ν(x) ∈ C1(J) из (9), причем τ′(x) и ν(x) могут обращаться в бесконечность порядка ниже единицы на концах A и B интервала J, а затем решение u(x, y) задачи в области Ω1 как решение задачи As[u]σ = φ(s), u(x, 0) = τ(x), а в области Ω2 как решение задачи Коши u(x, 0) = τ(x), uy(x, 0) = ν(x).