Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

THE SOLUTION OF THE PROBLEM OF CONCENTRATED ELASTIC EXPLOSIVE IMPACT IN THE FORM OF A DELTA FUNCTION ON THE EMBANKMENT OF THE RIVER PORT FILLED WITH WATER OBJECT BY 25 %

Musayev V.K. 1
1 MESI
1738 KB
Provides a bit of information modeling safety of the embankment of the river port filled with water object by 25 % when concentrated explosive impact in the form of a Delta function. To solve the set tasks apply linear wave equations of solid mechanics. The implementation of the investigated problem by using numerical simulation of the equations of wave mechanics. To predict the safety of complex objects on the bearing capacity under non-stationary wave influences applied numerical modeling. On the basis of the finite element method in the movement developed: methods, algorithm, complex programs. For the main unknown taken of two moves and two speeds of displacement at node finite element. Problems are solved by a method of capturing, without isolation gaps. Linear dynamic problem with initial and boundary conditions are given to the system of linear ordinary differential equations with the initial conditions, which is solved using an explicit two-layer scheme.
embankment of the river port
filled with water object
centered vertical impact
wave equation
wave theory explosive safety
technique
algorithm
complex programs
complex objects
the main unknown
displacement
velocity
displacement
contour the stress components of the stress tensor
the pass-through accounts
differential equations
partial differential equations
prediction of safe bearing capacity
strength

Постановка задачи

Рассмотрим задачу о взрывном воздействии на сооружение, которое находится в грунтовой и водной средах.

Рассмотрим некоторое тело, состоящее из двух разных областей Г(1) (водная среда) и Г(2) (грунтовая среда) (рис. 1). Для решения задачи о моделировании волн напряжений в упругих деформируемых средах рассмотрим некоторое тело Г(1) в прямоугольной декартовой системе координат XOY, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г(1) изготовлено из деформируемой водной среды и является однородным изотропным материалом, подчиняющимся упругому закону Гука при малых упругих деформациях. Если в деформируемом твердом теле, предположим, что поперечная скорость распространения равна нулю, то можно получить уравнения состояния для водной среды.

musaev1.tif

Рис. 1. Некоторое тело, состоящее из двух разных областей Г(1) и Г(2) в прямоугольной декартовой системе координат XOY

Точные уравнения двумерной плоской нестационарной динамической теории упругости для области Г(1) имеют вид

mus01.wmf, mus02.wmf,

mus03.wmf,

mus04.wmf,

mus05.wmf,

mus06.wmf, mus07.wmf,

mus08.wmf, (1)

где mus09.wmf и mus10.wmf – компоненты тензора упругих напряжений; mus11.wmf и mus12.wmf – компоненты тензора упругих деформаций; u(1) и v(1) – cоставляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ(1) – плотность материала; mus13.wmf – скорость продольной упругой волны; mus14.wmf – граничный контур тела Г(1).

Систему (1) в области, занимаемой телом Г(1), следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Точные уравнения двумерной плоской нестационарной динамической теории упругости для области mus15.wmfимеют вид

mus17.wmf,

mus18.wmf, mus19.wmf,

mus20.wmf,

mus21.wmf,

mus22.wmf, mus23.wmf,

mus24.wmf,

mus25.wmf, mus26.wmf, (2)

где mus27.wmf, mus28.wmf и mus29.wmf – компоненты тензора упругих напряжений; mus30.wmf, mus31.wmf и mus32.wmf – компоненты тензора упругих деформаций; u(2) и v(2) – cоставляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ρ(2) – плотность материала;

mus33.wmf – скорость продольной упругой волны; mus34.wmf – скорость поперечной упругой волны; mus35.wmf – граничный контур тела Г(2).

Систему (2) в области, занимаемой телом Г(2), следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

В работах [1–10] приведена информация о моделировании нестационарных волн напряжений в объектах сложной формы с помощью разработанного и применяемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.

Численное решение двумерной плоской динамической задачи теории упругости

Для решения двумерной плоской нестационарной динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями – используем метод конечных элементов в перемещениях.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в нестационарной теории упругости

mus36.wmf, mus37.wmf, mus38.wmf, (3)

где mus39.wmf – матрица инерции; mus40.wmf – матрица жесткости; mus41.wmf – вектор узловых упругих перемещений; mus42.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; mus43.wmf – вектор узловых упругих ускорений; mus44.wmf – вектор узловых упругих внешних сил.

Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

mus45.wmf,

mus46.wmf (4)

Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.

Шаг по временной переменной mus48.wmf определяем из следующего соотношения

mus49.wmf mus50.wmf, (5)

где Δl – длина стороны конечного элемента.

Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость явной двухслойной схемы.

Информация о математической точности и физической достоверности разработанного численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [1–4].

Решение задачи о сосредоточенном взрывном воздействии на набережной речного порта с заполненным водным объектом на 25 %

Рассмотрим задачу о сосредоточенном упругом взрывном воздействии (рис. 3) на набережной речного порта с заполненным водным объектом на 25 % (рис. 2).

musaev2.tif

Рис. 2. Постановка задачи о сосредоточенном упругом взрывном воздействии на набережной речного порта с заполненным водным объектом на 25 %

В точке D приложено нормальное воздействие σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (mus51.wmf) изменяется линейно от 0 до P, при 11 ≤ n ≤ 20 изменяется P до 0 (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа). Граничные условия для контура EFGHA при t > 0 mus52.wmf. Отраженные волны от контура EFGHA не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 200. Контур EDCBA свободен от нагрузок, кроме точки D, где приложено сосредоточенное взрывное воздействие. На границе BIH приняты условия непрерывности перемещений. Для области CDEFGHIB приняты следующие исходные данные: H = Δx = Δy; mus53.wmf = 1,393×10-6 с; E = 3,15× ×104 МПа; v = 0,2; ρ = 0,255×104 кг/м3; Cp = 3587 м/с; CS = 2269 м/с. Для области ABIH приняты следующие исходные данные: H = Δx = Δy; Δt = 1,327×10-5 с; ρ = 1,025×103 кг/м3; Cp = 1530 м/с. В расчетах принимается минимальный шаг по времени, то есть Δt = 1,393×10-6 с. Исследуемая расчетная область имеет 20402 узловые точки. Решается система уравнений из 81608 неизвестных.

musaev3.tif

Рис. 3. Взрывное воздействие для задачи с заполненным водным объектом на 25 %

На рис. 4–7 показано изменение упругого контурного напряжения mus58.wmf (mus59.wmf) во времени n в точках A1–A4 (рис. 2), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости.

musaev4.tif

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения mus54.wmf во времени t/Δt в точке A1 в задаче с заполненным водным объектом на 25 %

musaev5.tif

Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения mus55.wmf во времени t/Δt в точке A2 в задаче с заполненным водным объектом на 25 %

musaev6.tif

Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения mus56.wmf во времени t/Δt в точке A3 в задаче с заполненным водным объектом на 25 %

musaev7.tif

Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения mus57.wmf во времени t/Δt в точке A4 в задаче с заполненным водным объектом на 25 %

 

 

Выводы

Заполненный водный объект на 25 % изменяет величину упругого растягивающего контурного напряжения mus60.wmf в 1,00 раз. Заполненный водный объект на 25 % изменяет величину упругого сжимающего контурного напряжения mus61.wmf в 1,00 раз. Заполненный водный объект на 25 % изменяет величину упругого растягивающего нормального напряжения mus62.wmf в 1,00 раз. Заполненный водный объект на 25 % изменяет величину упругого сжимающего нормального напряжения mus63.wmf в 1,00 раз.