Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

THE SMALL MOVEMENT OF A BODY IN AN ELLIPSE IN THE GRAVITATIONAL FIELD OF THE HILL

Zhapbarov S.A. 1 Azhibekov K.Z. 1 Ermahanov M.N. 1 Sadykov Z.A. 1 Aman M. 1 Karibaj G. 1 Maқanova G.S. 1
1 South Kazakhstan state University M.O. Auezov
In an article for passively gravitating body executes the motion in the gravitational field of the Central and exterior body recorded differential equations of motion and found the first integrals. The solutions found can be used as an intermediate orbit.
body
movement
field tyagotenia

Пусть малое тело массы m0 движется в поле тяготения центрального тела массы m1 и внешнего тела массы m2. Здесь m1 > m2 >> m0 и внешнего тело движется относительно центрального тела по окружности, тогда силовая функция плоской второй задачи Хилла имеет вид:

gapar01.wmf (1)

где gapar03.wmf – гравитационная постоянная, v – постоянный параметр, х, у – координаты малого тела, ρ2 = x2 + y2.

Силовая функция (1) учитывает поле тяготения шарообразного центрального тела и некоторую часть поля тяготения внешнего тела.

Выполнив замену переменных с учетом (1) дифференциальные уравнения движения малого тела можно записать в следующем виде:

gapar04.wmf

gapar05.wmf (2)

где gapar06.wmf gapar07.wmf gapar08.wmf

с – постоянная интеграла площадей,

h – постоянная интеграла энергий.

В работе [2] выполнена классификация типов движения:

1. Прямолинейное движение α = 0, H = 0, c = 0;

2. Параболический тип движения α > 0, H = 0;

3. Эллиптический тип движения α > 0, H < 0;

4. Гиперболический тип движения α > 0, H > 0;

5. Круговой тип движения α > 0, H < 0, e = 0;

где е – эксцентриситет орбиты пассивно гравитирующего тела.

Рассматриваем эллиптический тип движенияс привлечением эллиптических функции Якоби.

В случае эллиптического типа движения имеем α > 0, H < 0, поэтому дифференциальное уравнение (2) имеет вид:

gapar09.wmf (3)

gapar10.wmf. (4)

По теореме Декарта подкоренной полином G4(w) = α – Hw2 + 2w3 – w4 имеет три положительных корня α1, α2 α3 и один отрицательный. Полином положителен в двух интервалах: А. gapar11.wmf и В. gapar12.wmf.

Интегрирование дифференциальных уравнений (3) и (4) было выполнено в статье [3]. Пользуясь этой методикой полярные координаты малого тела.

Интервал А (gapar13.wmf)

gapar14.wmf (5)

gapar15.wmf (6)

gapar16.wmf (7)

Все коэффициенты (5)–(7) определены в виде формул от корней полинома G4(w) = α – Hw2 + 2w3 – w4 и для краткости не будем их приводить.

Интервал В (gapar17.wmf).

Полярный угол и полярный радиус записаны точно такими же формулами, как и на интервале А, лишь с той разницей, что коэффиценты определены другими выражениями от корней полинома G4(w) = α – Hw2 + 2w3 – w4.

Из выражений (5–7) видно, что полярный радиус не содержит вековых членов, а полярный угол пропорционален времени. Но прямоугольные координаты

gapar18.wmf, gapar19.wmf

вековых членов не имеют, следовательно результаты приемлемы на достаточно большом промежутке времени сопоставимы с соответствующими интервалами А и В.

Найденные решения можно использовать в качестве промежуточной орбиты.