Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

1 1 1
1

Рассматриваются периодические движения вблизи треугольных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел, отличающиеся от соответствующей классической задачи тем, что основные тела, обращающиеся по круговым орбитам, являются излучающими.

Найдены многопараметрические решения задачи вблизи треугольных точек либрации, отвечающих точным решениям соответствующей системы дифференциальных уравнений ограниченной фотогравитационной задачи трех тел.

Доказано, что возможные периодические движения являются плоскими, расположенными в плоскости орбитального движения основных тел.

Показано, что траектории движения частиц в окрестности исследуемых треугольных точек будут эллипсами, полуоси которых зависят от параметров фотогравитационного поля.

Как известно, периодические движения вблизи точек либрации классической ограниченной задачи трех тел исследованы многими авторами [1,2]. В работах [5,6] впервые сформулирована и доказана общая теорема о существовании ляпуновских семейств симметричных периодических движений и строго математически обоснован конструктивный метод численного построения и исследования их устойчивости в обратимой системе. Построение траекторий путем численного интегрирования системы уравнений, поиск симметричного периодического решения, а также способ исследования устойчивости орбиты вокруг коллинеарных точек либрации ограниченной фотогравитационной задачи трех тел успешно реализованы в работе [7].

Поставим задачу определения периодических движений вблизи треугольных точек либраци L4 и L5 ограниченной фотогравитационной круговой задачи, дифференциальные которой имеют вид

115980.jpg

115990.jpg

116659.jpg(1)

Здесь 115998.jpg и 116005.jpg– коэффициенты редукции, зависящие от мощности излучения основных тел и парусности частицы, определяемой отношением «сечение/масса», 116012.jpg и 116020.jpg - безразмерные массы основных тел.

Рассмотрим теперь решения системы уравнений (1), близкие к треугольным точкам. Для этого введем обозначения

116034.jpg 

где 116042.jpg, 116050.jpg, 116057.jpg - координаты треугольных точек, которые подставляя в (1), получим уравнения возмущенного движения относительно отклонений ξ, η и ζ, решения которых ищем в виде рядов, расположенных по степеням некоторой произвольной постоянной c коэффициентами, представляющими 2π-периодические функции времени. Применяя метод, предложенный А.М. Ляпуновым [1], запишем уравнения, определяющие первые коэффициенты искомых рядов

116687.jpg 

116692.jpg 

116699.jpg (2)

 

Решение (2) ищем в виде

116089.jpg

116096.jpg 

116103.jpg116111.jpg (3)

и для определения в них неизвестных коэффициентов подставим уравнения (3) в систему (2) и имеем

116708.jpg 

116747.jpg 

116752.jpg 

116758.jpg 

116766.jpg 116776.jpg. (4)

где

116802.jpg 

116814.jpg 

116821.jpg 

116826.jpg 

Первые четыре уравнения системы (4) перепишем в виде

116837.jpg(5)

116847.jpg 

Определители системы (5) и двух последних уравнений (4) имеют вид:

116865.jpg

116875.jpg (6)

116912.jpg 

Характеристическое уравнение исследуемой системы распадается на два уравнения:

116917.jpg(7)

Первое из (7) имеет две пары чисто мнимых корней при выполнении условий

116922.jpg,(8)

где 116257.jpg и 116266.jpg между собой связаны следующими выражениями [8]:

116274.jpg 

116927.jpg 

Корни характеристического уравнения, соответствующего первому из (7), могут быть записаны как [4]

116281.jpg, где

116937.jpg

116945.jpg 

С учетом (7) и (9) нетрудно установить, что определители системы (4) относительно коэффициентов равны

116310.jpg (10)

Теперь легко установить, что система первых четырех уравнений системы (4) имеет решения, в которых все искомые величины не равны одновременно нулю, а два её последних уравнения имеют только тривиальное решение. Поэтому функция 116318.jpgравна нулю тождественно, а так как всякая функция Z(k) имеет множители 116326.jpg, то любая 116333.jpg равна тождественно нулю, т.е.

116340.jpg (11)

и, следовательно рассматриваемое периодическое решение – плоское.

Таким образом, коэффициенты 116348.jpgи 116357.jpgравны нулю. Чтобы найти 116365.jpg и 116372.jpg нужно определить постоянные a, b, a΄, b΄ из системы уравнений (4).

Элементарный анализ этих уравнений позволяет получить, что

116974.jpg 

116983.jpg (12)

Первые два периодических решения системы определяются формулами

116417.jpg (13)

116424.jpg(14)

Ограничиваясь только членами первого порядка относительно с в уравнениях (13) и (14), получим

116431.jpg 116439.jpg

116992.jpg 117000.jpg 

где

117017.jpg 

117024.jpg 

а c – произвольный параметр, в качестве которого может быть принято начальное отклонение, например, величины ξ.

Уравнения орбит, соответствующих каждому из решений (10) и (11), приближенно могут быть записаны в виде

117040.jpg 

117055.jpg (15)

Как видим, каждое из уравнений (15) представляет уравнение эллипса с центром, расположенным в области семейства устойчивых треугольных точек либрации. Следовательно, найденным периодическим решениям соответствует трехпараметрическое семейство замкнутых эллиптических орбит, окружающих треугольные точки и расположенные в плоскости орбитального движения, которые сохраняют свои формы во вращающейся вместе с основными телами системе координат, а их размеры зависят от интенсивности излучения основных тел и парусности частицы. Функции 116494.jpg будут периодическими функциями времени с периодами

116503.jpg 

117060.jpg 

Рассматриваемая задача является наиболее важной с точки зрения приложений в звездной динамике: на её основе можно эффективно строить промежуточные орбиты космических газопылевых облаков в поле двойных звездных систем. Результаты исследования также могут быть использованы и при изучении движения космических аппаратов в системе «Солнце-Планета».