Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

THE CALCULATING PRINCIPLES OF THE NUMBER OF WHEEL COGS OF CONTROL-FREE DIFFERENTIAL WITH RECTILINEAR MOTION

Zaikin O.А. 1 Shehovtsov V.V. 2
1 FSBEI HPE Astrakhan State Technical University
2 FSBEI HPE Volgograd State Technical University
According to the analysis of results of theoretical calculations and experimental investigation of models, built up on basis of four schemes of cogged differentials, forming exact rectilinear trajectory without guiding and connecting-rod, it was defined when rounding of cogs’ number of any wheel in the construction, the straight trajectory degenerates into a steady hypocycloid. It leads to wheel locking. That’s why the task of exact designing of cogs’ numbers was solved fully. For the final stage the standard method of expansion on efficient of gear – ratio was suggested. The tabular fitting procedure of cogs’ number by coefficients of module’s response ratio was elaborated for a pair of satellite – central wheel.
differential
hypocycloid
cogs’ number
module.

Введение

Разработка инженерной методики расчета механизмов с кинематическим принципом организации точного прямолинейного движения имеет сложность в подборе размеров звеньев, связанную с соблюдением точности кинематических условий.

Рассмотрим проблемы проектирования бесшатунных зубчатых замкнутых дифференциалов с точным прямолинейным движением, разработанных автором для приводов транспортно-технологических машин [1].

Передаточное число замыкающей ступени замкнутого дифференциала U2Н = 101651.jpg

(2 – центральное колесо, Н – водило) обеспечивает необходимую скорость в полюсе зацепления сателлита и центрального колеса, при которой формируются мнимые образующие окружности R = 2e и r = e, обеспечивающие кинематику точного прямолинейного движения в схеме [2]. Кроме того, числа зубьев z1 – сателлита и z2 – центрального колеса образуют радиусы, по которым рассчитывают величину U2Н.

Теоретические исследования по влиянию точности подбора чисел зубьев звеньев дифференциала, и эксперименты с моделями показали, что при округлении чисел зубьев при их подборе в соответствии с модулем, прямая траектория вырождается в гипоциклоиду (рис.1), даже при разнице в один зуб.

По этой причине методика должна обеспечивать расчет чисел зубьев всех колес абсолютно точно без округлений совместно с подбором модуля в нескольких вариантах.

Цель исследования – разработка методики расчета чисел зубьев колес зубчатого бесшатунного дифференциала, формирующего точное прямолинейное движение, в которой обеспечивается стабильность существования прямолинейности траектории.

101708.jpg 101736.jpg 

Рис. 1. Расчетная и экспериментальная бабочка гипоциклоиды
за 12 циклов при корректировке на один зуб

Содержание исследования

Для решения задачи точности в замыкающей ступени применяем известный метод разложения передаточного числа на сомножители. В общем случае, для блочной схемы имеем:

101798.jpg 

где z2' – число зубьев замыкающего зубчатого венца центрального колеса;

z3’ и z3 – число зубьев промежуточного блока замыкающей ступени;

z4 – число зубьев дополнительного зубчатого колеса на водиле.

Единственное требование – число U2Н не должно быть периодическим.

Более сложной задачей является подбор чисел зубьев колес зацепления (z1 –z2)– сателлита и центрального колеса дифференциала. Основным усложняющим фактором является то, что радиусы колес уже сформированы приращением Δ и эксцентриситетом дифференциала е:

R1 = e + ∆ и R2 = 2e + ∆.

Величина эксцентриситета задается технологическим ходом поступательного движения 101822.jpg и равна – е = 101830.jpg /4.

В соответствии с выражением – d = 2R = mz имеем зависимости чисел зубьев:

и 101849.jpg 

101840.jpg

Из выражения для z1 , следует, что целым числом z1 может быть как при целых, так и при дробных е и ∆, но в сумме кратных выбранному модулю. Однако, из выражения для z2 следует, что величины 2е и ∆, каждая должны быть кратными модулю.

Решение поставленной задачи имеет два варианта:

1. Обеспечить сохранность R1 = e + ∆ и R2 = 2e + ∆, применив колеса, нарезанные со смещением. Недостатком этого решения является одновариантность решения и, из-за использования исправленных зубчатых колес, а, следовательно, низкая ремонтопригодность.

2. Обеспечить, чтобы z1 и z2 были целыми числами, при их расчете, без округлений. Решением задачи подбора чисел зубьев z1 и z2 по второму варианту является определение коэффициента кратности модулю. Как уже было отмечено, модуль должен быть кратным и 2е и е и ∆. Но не все стандартные модули являются целыми числами, поэтому для нахождения коэффициентов кратности разложим оба их ряда на сомножители. Так как модуль расположен в знаменателе выражения, то числитель разложенной дроби модуля и будет коэффициентом кратности для расчета числа зубьев (таблицы 1 и 2).

Сгруппируем модули по коэффициентам кратности в таблице 3, а с учетом повторяемости.

Сформируем таблицу 4 по коэффициентам кратности так, чтобы при значении диапазона 40 мм < 101888.jpg < 240 мм (с учетом хода в типовых поршневых агрегатах), по ним можно было выбрать значение 2е, е и ∆ с кратностью по модулю. В строке названий колонок – слева число, а справа – коэффициент кратности для этих чисел.

Таблица 1

I ряд модулей

m 1,25 1,5 2,5

2; 3; 4; 5; и т.д.

а/в 5/4 3/2 5/2 2/1, 3/1, 4/1 и т.д.
k 5 3 5 2; 3; 4; 5; и т.д.

 

Таблица 2

II ряд модулей

m 1,125 1,375 1,75 2,25 3,5 4,5 5,5 7; 9; 11
а/в 9/8 11/8 7/4 9/4 7/2 9/2 11/2
k 9 11 7 9 7 9 11 7; 9; 11

 

Таблица 3

Группы модулей по коэффициентам кратности

k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 и т.д.
m 2

1,5

3

4

1,25

2,5

5

6

1,75

3,5

7

8

1,125

2,25

4,5

9

10

1,375

5,5

11

 

Методика работы с таблицами следующая:

1. По 101879.jpg рассчитаем 2е, е примем конструктивно требуемый ∆, в диапазоне 0 < ∆ < 2е. Знак у ∆ берется по модулю.

2. По табл. 4 выбираем варианты коэффициентов кратности для 2е, е и ∆.

3. По табл. 3 выбирают варианты модуля для расчета z1 и z2 .

4. Принимают числа зубьев, соблюдая условия: z1 ≥ zмин = 17 и z2 ≥ 28 Окончательно числа зубьев определяет минимизация размеров и условие прочности зуба.

Результаты исследования

Рассмотрим применение таблиц при решении конкретных задач:

Пример: Подберем числа зубьев для среднего хода поршневых машин. Примем поступательный ход – 100мм. Тогда е = 25мм и 2е = 50мм. Из таблицы 4 выбираем варианты коэффициента кратности – k = 5. Варианты приращение ∆ = 10, 15, 20, 25мм. Из таблицы 3 берем варианты модулей при кратности 5 – m = 1,25; 2,5; 5.

Таблица 4

Выбор 2е, е, ∆ и m
по коэффициенту кратности

числа

K=2

числа

K=2

е, Δ

2

2 1

62

2 31

4

2 2

64

2 32

6

2 3

66

2 33

8

2 4

68

2 34

10

2 5

70

2 35

12

2 6

72

2 36

14

2 7

74

2 37

16

2 8

76

2 38

18

2 9

78

2 39

20

2 10

80

2 40

22

2 11

82

2 41

24

2 12

84

2 42

26

2 13

86

2 43

28

2 14

88

2 44

30

2 15

90

2 45

2е, е, Δ

92

2 46

32

2 16

94

2 47

34

2 17

96

2 48

36

2 18

98

2 49

38

2 19

100

2 50

40

2 20

102

2 51

42

2 21

104

2 52

44

2 22

106

2 53

46

2 23

108

2 54

48

2 24

110

2 55

50

2 25

112

2 56

52

2 26

114

2 57

54

2 27

116

2 58

56

2 28

118

2 59

58

2 29

120

2 60

60

2 30

 

числа

К=6

числа

К=9

е, Δ

е, Δ

6

6 1

9

9 1

12

6 2

18

9 2

18

6 3

27

9 3

24

6 4

2е, е, Δ

30

6 5

36

9 4

2е, е, Δ

45

9 5

36

6 6

54

9 6

42

6 7

48

6 8

63

9 7

54

6 9

72

9 8

60

6 10

81

9 9

90

9 10

66

6 11

99

9 11

72

6 12

108

9 12

78

6 13

117

9 13

84

6 14

90

6 15

96

6 16

102

6 17

108

6 18

114

6 19

120

6 20

 

числа

К=3

числа

К=4

е, Δ

е, Δ

3

3 1

4

4 1

6

3 2

8

4 2

9

3 3

12

4 3

12

3 4

16

4 4

15

3 5

20

4 5

18

3 6

24

4 6

21

3 7

28

4 7

24

3 8

2е, е, Δ

27

3 9

32

4 8

30

3 10

36

4 9

2е, е, Δ

40

4 10

33

3 11

44

4 11

36

3 12

48

4 12

39

3 13

52

4 13

42

3 14

56

4 14

45

3 15

60

4 15

48

3 16

51

3 17

64

4 16

54

3 18

68

4 17

57

3 19

72

4 18

60

3 20

76

4 19

80

4 20

63

3 21

84

4 21

66

3 22

88

4 22

69

3 23

92

4 23

72

3 24

96

4 24

75

3 25

100

4 25

78

3 26

104

4 26

81

3 27

108

4 27

84

3 28

112

4 28

87

3 29

116

4 29

90

3 30

120

4 30

93

3 31

96

3 32

99

3 33

102

3 34

105

3 35

108

3 36

111

3 37

114

3 38

117

3 39

120

3 40

 

числа

К=5

числа

К=7

е, Δ

е, Δ

5

5 1

7

7 1

10

5 2

14

7 2

15

5 3

21

7 3

20

5 4

28

7 4

25

5 5

2е, е, Δ

30

5 6

35

7 5

2е, е, Δ

42

7 6

35

5 7

49

7 7

40

5 8

56

7 8

45

5 9

50

5 10

63

7 9

55

5 11

70

7 10

60

5 12

77

7 11

84

7 12

65

5 13

91

7 13

70

5 14

98

7 14

75

5 15

105

7 15

80

5 16

112

7 16

85

5 17

119

7 17

90

5 18

95

5 19

100

5 20

105

5 21

110

5 22

115

5 23

120

5 24

 

Числа зубьев соответственно равны:

m = 1,25

102617.jpg 

102627.jpg 

m = 2,5

102633.jpg 

102639.jpg 

m = 5

102645.jpg 

102652.jpg 

Оптимальными могут быть варианты: z1 = 18 и z2 = 28 при m = 5 мм, или – z1 = 28 и z2 = 56 при m = 2,5 мм, или z1 = 56 и z2 = 112 при m = 1,25 мм.

Безусловно, простым подбором никогда не предугадать этих вариантов. Аналогично можно рассчитать параметры колес при любых исходных данных, а величину ∆ можно принимать разной величины.

При работе с таблицами 4 надо учесть, что в верхнем блоке выбираются только е и ∆, для которых 2е выбирается из второго блока. Если же е и ∆ берутся из второго блока, то 2е принимается из третьего блока.

Выводы

Таким образом, разработана простая методика решения задачи проектирования размеров зубчатых колес замкнутых дифференциалов с точным прямолинейным движением по заданному ходу табличным способом, с возможностью инвариантного принятия решения о конечном наборе. При этом, абсолютно точно сохранена теоретическая прямолинейность движения в проектируемых механизмах.