Для решения задачи о представлении основных классов возможных структурных состояний локальной транзитивной области в структурированном 2D пространстве будем исходить из следующих предположений.
1. Транзитивная область 2D пространства – результат локального проявления вполне определенных структурных элементов 2D ячейки одного из подпространств 3D пространства, по аналогии с гипотетическим проявлением структурных элементов гиперпространства в 3D пространстве [1-7].
2. Структурное состояние транзитивной области может быть обусловлено как кристаллическими компонентами r подструктуры R2 структуры R3, так и ее возможными фрактальными компонентами f [8-16].
3. Кристаллическая компонента r модулярной структуры R2 в структурированном (ячеистом) 2D пространстве может быть определена как с помощью дискретной группы трансляций {ti}, так и с помощью непрерывной группы трансляций {τi} (i = 1, 2) [8-10, 17-22].
4. Фрактальная компонента f структуры R2 в структурированном 2D пространстве может быть определена как i-модулярная гибридная структура (в общем случае i = 1, 2) с помощью соответствующих своих генераторов (точечных, линейчатых или их возможных комбинаций) [23-29].
Многообразие вариантов сочетания кристаллической и фрактальной компонент возможных структурных состояний определяется количеством разновидностей определенных подструктур R2 структуры R3.
Число разновидностей 1D подструктур R11r и R11f в соответствующих R3 структурах может быть определено по формулам:
R33r = (Π3i=2 Cii-1) R11r = 6 R11r
R32r1f = 2 (Π2i=1 C2i) R11r + (Π2i=1 C2i) R11f = 4 R11r + 2 R11f
R31r2f = (Π2i=1 C2i) R11r + 2 (Π2i=1 C2i) R11f = 2 R11r + 4 R11f
R33f = (Π3i=2 Cii-1) R11f = 6 R11f
Аналогично, количество разновидностей 2D подструктур в соответствующих R3 структурах может быть определено по следующим формулам:
R33r = (Π3i=2 C3i) R22r = 3 R22r
R32r1f = (Π3i=2 Cii) R22r + 2 (Π3i=2 Cii) R21r1f = R22r + 2 R21r1f
R31r2f = 2 (Π3i=2 Cii) R21r1f + (Π3i=2 Cii) R22f = 2 R21r1f + R22f;
R33f = (Π3i=2 C3i) R22f = 3 R22f.
В соответствии с результатами последнего разложения гипотетической R3 структуры на R2 подструктуры проанализируем их вероятные структурные состояния с учетом кристаллической и фрактальной компонент или их возможных сочетаний (табл. 1).
Таблица 1
Возможные структурные состояния R2 подструктур соответствующей R3 структуры
|
Возможное структурное состояние R3 структуры |
Возможные структурные состояния трех R2 подструктур |
|
R33r (r1, r2, r3) |
R22r: (r1, r2), (r1, r3) и (r2, r3) |
|
R32r1f (r1, r2, f) |
R22r (r1, r2), R21r1f: (r1, f) и (r2, f) |
|
R31r2f (r1, f1, f2) |
R21r1f: (r1, f1) и (r1, f2), R22f: (f1, f2) |
|
R33f (f1, f2, f3) |
R22f: (f1, f2), (f1, f3) и (f2, f3) |
Примечание. r – кристаллическая, а f – фрактальная компоненты структурного состояния.
С учетом характера элементов группы трансляций ячеистого 3D пространства, а также возможных топологических размерностей модулей фрактальных структур получены основные классы вероятных структурных состояний локальной транзитивной области структурированного 2D пространства (табл. 2).
Таблица 2
Основные классы структурных состояний локальной транзитивной области структурированного 2D пространства
|
Структурное состояние |
Классы структурных состояний |
Условное обозначение класса |
|
|
Разновидности |
Наименование |
||
|
(r1 r2) |
(t1 t2) |
Точечный |
P |
|
(t1 τ2) (τ1 t2) |
Точечно-линейчатые |
PL |
|
|
(τ1 τ2) |
Линейчатый |
L |
|
|
(r1 f) |
(t1 f) |
Точечный фрактальный |
PF |
|
(τ1 f) |
Линейчатый фрактальный |
LF |
|
|
(f1 f2) |
(f1 f2) |
Фрактальный гибридный |
FG |
Примечание. r и f – кристаллическая и фрактальная компоненты структурного состояния; t и t – дискретная и непрерывная трансляции как виды реализации генератора кристаллической компоненты.
Условные изображения ячеек для девяти классов структурных состояний локальной транзитивной области структурированного 3D пространства приведены на рисунке.
Условные изображения и обозначения квадратных ячеек разных классов структурных состояний локальной транзитивной области структурированного 2D пространства (символы: P – точечный, L – линейчатый, F – фрактальный, G – гибридный)
Необходимо отметить, что класс фрактальных гибридных структурных состояний FG в зависимости от вида генератора фрактала в свою очередь состоит из следующих подклассов: фрактальный точечный гибридный (FGр), фрактальный точечно-линейчатый гибридный (FGpl) и фрактальный линейчатый гибридный (FGl).
По своим индивидуальным геометрико-топологическим характеристикам и размерности транзитивные области разных классов существенно отличаются между собой. Очевидным образом это проявляется в локальных размерностях транзитивной области 2D пространства с разными классами структурными состояниями и разновидностями R2 структур. Если принять во внимание следующее: DimL R22r = Σ2i DimL R1ri , DimL R1t = 0, DimL R1t = 1, DimL R1f = DimL Gen R1f , то локальные размерности транзитивных областей 2D пространства со всеми возможными структурными состояниями могут быть определены (табл. 3).
Таблица 3
Локальные размерности транзитивных областей ячеистого 2D пространства
|
Структура |
Класс и вид |
Структурное состояние |
Локальная размерность, DimL |
|
R22r |
P – R22t |
(t1 t2) |
0 |
|
PL – R21t1τ |
(t t) |
1 |
|
|
PL – R22τ |
(τ1 τ2) |
2 |
|
|
R21r1f |
PF – R21r1f |
(t f) |
DimGenf |
|
LF – R21τ1f |
(t f) |
1 + DimGenf |
|
|
R22f |
FG – R31t2f |
(f1 f2) |
DimGenf1 + DimGenf2 |
Следует отметить, что глобальная размерность структур только с кристаллической компонентой состояния DimG R22r = 2. Однако, если присутствует хотя бы одна фрактальная компонента состояния структуры, то тогда глобальная размерность ее DimG R22r < 2.
Таким образом, проанализированы основные классы структурных состояний локальной транзитивной области в структурированном 2D пространстве, представлено символьное описание состояний структур R2 и определены их локальные и глобальные размерности. Полученные данные о вероятных структурных состояниях без фрактальной составляющей использованы при интерпретации некоторых особенностей строения модулярных полигональных и полиэдрических R22r структур (как фрагментов R33r модулярных структур) [30-36]. Данные о структурных состояниях с фрактальной составляющей в 2D пространстве рассматривались как возможные аппроксиманты конфигураций межфазных границ и распределения фаз на поверхности антифрикционных композиционных материалов и покрытий в процессе их формирования и последующего трибовоздейстия [37-45], химически активных материалов и анодных покрытий [46-48].
Результаты работы получены при поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на проведение НИОКР, шифр заявки N6.8604.2013.