Единственная возможность организации доступа к широкополосному интернету за полярным кругом базируется на развертывании группировки низкоорбитальных спутников (НС) [1]. По мере увеличения требований к скорости передачи появляются работы, связанные с использованием технологии OFDM в НС. Для повышения производительности систем OFDM в работах [2, 3] предлагается замена быстрого преобразования Фурье (БПФ) на ортогональные вейвлет-преобразования (ОВП) Добеши. Дальнейшее увеличение скорости выполнения цифровой обработки сигналов в системах OFDM возможно за счет привлечения арифметических кодов, поддерживающих параллельные вычисления. Так, в работах [4, 5] были разработаны математические и структурные модели систем OFDM, в которых ОВП выполнялись с использованием модулярных кодов классов вычетов (МККВ). Если в кортеж оснований ввести избыточные модули, то код можно использовать для поиска и коррекции ошибок, возникающих при искажении остатков при вычислении ОВП. Поэтому разработка численного метода вычисления коэффициентов полиадической системы кодирования (ПСК), позволяющего сократить время на обнаружение и коррекцию ошибок при выполнении Добеши-4 в МККВ, является актуальной задачей.
Материал и методы исследования
Модулярные коды классов вычетов
В основу построения модулярных кодов класса вычетов положена идея представления целых чисел в виде наборов остатков [6, с. 11]:
, (1)
где 
; рi – основания МККВ; 
.
В качестве оснований необходимо использовать взаимно простые числа 
, которые упорядочены согласно [7, с. 4]
. (2)
Выбранный кортеж оснований задает диапазон, который определяет множество разрешенных комбинаций:
. (3)
В этом случае комбинация МККВ считается разрешенной, если имеет место:
. (4)
С помощью МККВ можно эффективно выполнять модульные операции [8]:
,(5)
где ° – операции сложения, вычитания, умножения; 
; 
.
Из выражения (5) наглядно видна параллельная структура МККВ, благодаря которой модульные операции выполняются независимо от основания кода. Очевидно, что это позволяет уменьшить время, необходимое на вычисление модульных операций. Но из-за этого свойства МККВ обладают потенциалом, который может быть использован для обнаружения и исправления искаженных остатков кода. При этом данная ошибка не переносится на другие основания. Значит, ее можно определить при выполнении обратного преобразования, когда код МККВ переводится в позиционный код (МККВ-ПК).
Разработка численного метода вычисления коэффициентов ПСК
В отличие от двоичных помехоустойчивых кодов, в избыточных модулярных кодах однократной ошибкой является искаженный остаток. Если в кортеж оснований МККВ добавить два избыточных основания рп+1, рп+2, для которых имеет место:
, (6)
то такой МККВ сможет исправить однократную ошибку.
Введение оснований рп+1, рп+2 способствует увеличению длины комбинации:
, (7)
а также расширению множества возможных комбинаций до значения:
. (8)
Избыточная комбинация (7) не содержит ошибки, если справедливо:
. (9)
Поэтому при поиске ошибок в МККВ применяются позиционные характеристики (ПХ), которые показывают позицию числа С относительно Рп. Одной из таких характеристик являются старшие коэффициенты полиадической системы кодирования (ПСК). В данной системе число С разлагается на следующие коэффициенты:
. (10)
Из (10) наглядно видно, что если справедливо условие (9), то два последних слагаемых должны равняться нулю. Другими словами, если комбинация МККВ не искажена, то старшие коэффициенты ПСК 
. Если это условие не выполняется, то очевидно, что комбинация МККВ имеет ошибочный остаток. Кроме того, с помощью ПСК можно выполнить операцию перевода из МККВ в двоичный позиционный код.
Известен численный метод получения коэффициентов ПСК из комбинации МККВ [6, с. 158], который базируется на следующем преобразовании выражения (10) к виду:
. (11)
Используя выражение (11), можно вычислить коэффициенты ПСК:
(12)
где 
; 
.
Так как основу метода составляют модульные операции, то для перевода из МККВ в ПСК можно использовать следующие выражения:
(13)
где 
– коэффициенты ПСК.
Основным недостатком этого метода является итерационный процесс, который приводит к увеличению временных затрат на получение коэффициентов ПСК из остатков МККВ. С целью устранения данного недостатка был разработан численный метод вычисления старших коэффициентов ПСК, реализованный на основе Китайской теоремы об остатках (КТО). Воспользуемся КТО и выполним перевод из МККВ, содержащего n рабочих оснований и одного контрольного рп+1, в ПСК. При этом 
. Тогда:
, (14)
где 
– ортогональный базис; 
– вес базиса.
Представим ортогональные базисы для данного кортежа в виде коэффициентов ПСК.
(15)
Тогда коэффициенты ПСК, преобразованные из остатков МККВ, будут определяться:
(16)
где γj – количество переходов при выполнении суммирования по модулю рj; 
.
Аналогичный подход используем для другого кортежа МККВ, содержащего n рабочих оснований и одно контрольное рп+2 в ПСК. При этом 
. Тогда:
, (17)
где 
– ортогональный базис; 
– вес базиса.
Вычислим ортогональные базисы для данного кортежа и представим их в виде коэффициентов ПСК. Тогда:
(18)
Тогда коэффициенты ПСК, преобразованные из остатков МККВ будут определяться:
(19)
При этом значения коэффициентов ПСК ортогональных базисов рабочих оснований в равенствах (15) и (18) совпадают. Значит, один раз вычисленные коэффициенты ПСК по рабочим основаниям можно использовать для параллельного вычисления двух старших коэффициентов 
. Это позволит сократить время как на коррекцию ошибки, так и на выполнение обратного преобразования из МККВ в позиционный код через систему ПСК.
Результаты исследования и их обсуждение
Рассмотрим выполнение ДВП Добеши в МККВ, используя математическую модель вычислений [4, 5]. Входной поток считается набором аппроксимирующих {a( j )} и детализирующих коэффициентов {d( j )}, где 
, N – количество отсчетов. Пусть разрядность входных данных будет не меньше одного байта. Тогда информационные модули – p1 = 63, p2 = 64, p3 = 65, а контрольные – p4 = 67, p5 = 71 . Тогда разрешенный диапазон 
, а полный диапазон 
.
Пусть первые четыре отсчета, равные
,
поступают на вход преобразователя ПК-МККВ, на выходе которого имеем
.
Представим коэффициенты Добеши-4 в виде целых чисел, используя V = 256, а затем переведем их в МККВ:
,
,
,
.
Тогда третий и четвертый отсчеты сигнала равны:
(21)
(22)
Рассмотрим реализацию (21) и (22) по модулю p1 = 63
Аналогичным образом проводим вычисления по другим основаниям. Получаем:
Определим ортогональные базисы для двух кортежей оснований и представим их в коде ПСК. Для первого кортежа оснований p1 = 63, p2 = 64, p3 = 65, p4 = 67, имеем базисы
, 
,
, 
.
Для второго кортежа p1 = 63, p2 = 64, p3 = 65, p4 = 71 имеем базисы
, 
,
, 
.
В таблицах 1 и 2 показан процесс вычисления коэффициентов ПСК для разрешенной комбинации. Для вычисления коэффициента 
ПСК суммирование в столбцах выполняется по модулю pi , при этом вычисляется, сколько раз сумма превысила модуль γi, которое учитывается в коэффициенте 
.
Таблица 1
Вычисление коэффициентов ПСК для первого кортежа
|
Основания |
Остатки |
mod 63 |
mod 64 |
γ2 |
mod 65 |
γ3 |
mod 67 |
|
p1 = 63 |
35 |
35∙1 = 35 |
35∙1 = 35 |
35∙33 = 1155 |
35∙8 = 280 |
||
|
p2 = 64 |
46 |
46∙63 = 2898 |
46∙63 = 2898 |
46∙21 = 966 |
|||
|
p3 = 65 |
22 |
45 |
22∙33 = 726 |
22∙50 = 1100 |
|||
|
p4 = 67 |
58 |
74 |
58∙53 = 3074 |
||||
|
ПСК |
35 |
53 |
14 |
0 |
Таблица 2
Вычисление коэффициентов ПСК для второго кортежа
|
Oснования |
Остатки |
mod 63 |
mod 64 |
γ2 |
mod 65 |
γ3 |
mod 71 |
|
p1 = 63 |
35 |
35∙1 = 35 |
35∙1 = 35 |
35∙33 = 1155 |
35∙4 = 140 |
||
|
p2 = 64 |
46 |
46∙63 = 2898 |
46∙63 = 2898 |
46∙9 = 414 |
|||
|
p3 = 65 |
22 |
45 |
22∙33 = 726 |
22∙41 = 902 |
|||
|
p4 = 67 |
40 |
74 |
40∙15 = 600 |
||||
|
ПСК |
35 |
53 |
14 |
0 |
Таким образом, старшие коэффициенты, полученные по модулю 67 и 71, равны нулю. Значит, комбинация не содержит ошибку. Пусть исказился первый остаток 
. В таблицах 3 и 4 показан процесс вычисления коэффициентов ПСК.
Таблица 3
Вычисление коэффициентов ПСК для первого кортежа
|
Основания |
Остатки |
mod 63 |
mod 64 |
γ2 |
mod 65 |
γ3 |
mod 67 |
|
p1 = 63 |
30 |
30∙1 = 30 |
30∙1 = 30 |
30∙33 = 990 |
30∙8 = 240 |
||
|
p2 = 64 |
46 |
46∙63 = 2898 |
46∙63 = 2898 |
46∙21 = 966 |
|||
|
p3 = 65 |
22 |
45 |
22∙33 = 726 |
22∙50 = 1100 |
|||
|
p4 = 67 |
58 |
71 |
58∙53 = 3074 |
||||
|
ПСК |
30 |
48 |
44 |
24 |
Таблица 4
Вычисление коэффициентов ПСК для второго кортежа
|
Основания |
Остатки |
mod 63 |
mod 64 |
γ2 |
mod 65 |
γ3 |
mod 71 |
|
p1 = 63 |
30 |
30∙1 = 30 |
30∙1 = 30 |
30∙33 = 990 |
30∙4 = 120 |
||
|
p2 = 64 |
46 |
46∙63 = 2898 |
46∙63 = 2898 |
46∙9 = 414 |
|||
|
p3 = 65 |
22 |
45 |
22∙33 = 726 |
22∙41 = 902 |
|||
|
p4 = 67 |
40 |
71 |
40∙15 = 600 |
||||
|
ПСК |
30 |
48 |
44 |
48 |
Так как старшие коэффициенты ПСК не нулевые, то комбинация содержит ошибку. Для коррекции используется вектор ошибки для информационных оснований 
.
Затем исправленный результат переводим в позиционную систему счисления с помощью коэффициентов ПСК 
.
Сравнительный анализ численных методов был проведен с использованием FPGA Xilinx Artix-7 (xc7a12ticsg325-1L). Для реализации численного метода [6, с. 158] потребовалось 239 нс. Разработанный численный метод для вычисления коэффициентов ПСК требует 110 нс, что в 2,17 раза меньше, чем метод [6, с. 158]. Этот результат достигается за счет параллельного выполнения операций умножений коэффициентов ПСК ортогональных базисов на остатки модулярного кода.
Заключение
В статье рассмотрен метод преобразования МККВ-ПСК, в котором при вычислении текущего коэффициента ПСК необходимо использовать предыдущий. Это приводит к снижению скорости преобразования МККВ-ПСК. Для устранения этого недостатка был разработан численный метод, в котором операции умножения выполняются параллельно. Проведенный сравнительный анализ схемотехнических решений на основе FPGA показал, что для преобразования МККВ-ПСК с помощью разработанного численного метода требуется 110 нс, а при использовании итерационного метода – 239 нс. Таким образом, время на коррекцию ошибок при выполнении Добеши-4 в МККВ будет сокращено в 2,17 раза.