Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИАДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КОДИРОВАНИЯ ДЛЯ КОРРЕКЦИИ ОШИБОК В МОДУЛЯРНЫХ КОДАХ

Чистоусов Н.К. 1 Калмыков И.А. 1 Духовный Д.В. 1 Ефременков И.Д. 1 Кононов М.Н. 1
1 ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский федеральный университет»
В настоящее время бурное увеличение числа низкоорбитальных группировок космических аппаратов связано с тем, что только они позволяют обеспечить доступ к широкополосной передаче контента в любой точке планеты. При этом для организации связи предлагается применять системы OFDM. Повысить скорость передачи можно за счет перехода при обработке сигналов от быстрого алгоритма вычисления ДПФ к вейвлет-преобразованиям, которые выполняются в кольце целых чисел с использованием модулярных кодов классов вычетов. Параллельное выполнение модульных операций по основаниям кода (а это операции: сложение, вычисление и умножение) служит основой построения устройств цифровой обработки сигналов реального масштаба времени. Однако введение избыточных оснований в кортеж модулярного кода позволяет создавать корректирующие коды. При этом для обнаружения ошибки вычислений, а затем для ее исправления необходимо вычислить позиционную характеристику кода. В статье в качестве такой характеристики выбраны коэффициенты полиадической системы кодирования. Поэтому разработка численного метода вычисления коэффициентов полиадической системы кодирования, позволяющего сократить время на обнаружение и коррекцию ошибок при выполнении Добеши-4 в модулярных кодах, является актуальной задачей. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-21-00036, https://rscf.ru/project/23-21-00036/.
вейвлет-преобразование Добеши
модулярные коды класса вычетов
численный метод вычисления коэффициентов полиадической системы кодирования
коррекция ошибок
1. Shreehari H.S. Makam Supreeth Starlink Satellite Internet Service // International Journal of Research Publication and Reviews. 2022. Vol. 3, No 6. P. 4501-4504.
2. Kansal L., Berra S., Mounir M., Miglani R., Dinis R., Rabie K. Performance Analysis of Massive MIMO-OFDM System Incorporated with Various Transforms for Image Communication in 5G Systems // Electronics. 2022. Vol. 11. Р. 621. DOI: 10.3390/electronics11040621.
3. Zainab Hdeib Al-Shably, Zahir M. Hussain Performance of FFT-OFDM versus DWT-OFDM under Compressive Sensing // J. Phys.: Conf. Ser. 1804. 2021. № 012087. DOI: 10.1088/1742-6596/1804/1/012087.
4. Olenev A.A., Chistousov N.K. Mathematical Modeling of Signal Processing Using Discrete Wavelet Transform and Non-Positional Modular Code Proceedings – 2023: International Russian Automation Conference. 2023. Р. 437–442. DOI: 10.1109/RusAutoCon58002.2023.10272872.
5. Калмыков И.А., Чистоусов Н.К., Духовный Д.В. Разработка структурных моделей системы OFDM, использующих преобразования Добеши в GF(m) и кодах классов вычетов // Современные наукоемкие технологии. 2023. № 8. С. 84-90. DOI: 10.17513/snt.39735.
6. Червяков Н.И., Сахнюк П.А., Макоха А.Н. Нейрокомпьютеры в остаточных классах. Кн. 11. М.: Радиотехника, 2003. 272 с.
7. Mohan A. Residue Number Systems. Theory and Applications. Springer International Publishing Switzerland, 2016. 351 p.
8. Liberato A., Martinello M. Residue Defined // Networking Architecture. 2018. Vol. 15(4). Р. 1473–1487.

Единственная возможность организации доступа к широкополосному интернету за полярным кругом базируется на развертывании группировки низкоорбитальных спутников (НС) [1]. По мере увеличения требований к скорости передачи появляются работы, связанные с использованием технологии OFDM в НС. Для повышения производительности систем OFDM в работах [2, 3] предлагается замена быстрого преобразования Фурье (БПФ) на ортогональные вейвлет-преобразования (ОВП) Добеши. Дальнейшее увеличение скорости выполнения цифровой обработки сигналов в системах OFDM возможно за счет привлечения арифметических кодов, поддерживающих параллельные вычисления. Так, в работах [4, 5] были разработаны математические и структурные модели систем OFDM, в которых ОВП выполнялись с использованием модулярных кодов классов вычетов (МККВ). Если в кортеж оснований ввести избыточные модули, то код можно использовать для поиска и коррекции ошибок, возникающих при искажении остатков при вычислении ОВП. Поэтому разработка численного метода вычисления коэффициентов полиадической системы кодирования (ПСК), позволяющего сократить время на обнаружение и коррекцию ошибок при выполнении Добеши-4 в МККВ, является актуальной задачей.

Материал и методы исследования

Модулярные коды классов вычетов

В основу построения модулярных кодов класса вычетов положена идея представления целых чисел в виде наборов остатков [6, с. 11]:

missing image file, (1)

где missing image file; рi – основания МККВ; missing image file.

В качестве оснований необходимо использовать взаимно простые числа missing image file, которые упорядочены согласно [7, с. 4]

missing image file. (2)

Выбранный кортеж оснований задает диапазон, который определяет множество разрешенных комбинаций:

missing image file. (3)

В этом случае комбинация МККВ считается разрешенной, если имеет место:

missing image file. (4)

С помощью МККВ можно эффективно выполнять модульные операции [8]:

missing image file,(5)

где ° – операции сложения, вычитания, умножения; missing image file; missing image file.

Из выражения (5) наглядно видна параллельная структура МККВ, благодаря которой модульные операции выполняются независимо от основания кода. Очевидно, что это позволяет уменьшить время, необходимое на вычисление модульных операций. Но из-за этого свойства МККВ обладают потенциалом, который может быть использован для обнаружения и исправления искаженных остатков кода. При этом данная ошибка не переносится на другие основания. Значит, ее можно определить при выполнении обратного преобразования, когда код МККВ переводится в позиционный код (МККВ-ПК).

Разработка численного метода вычисления коэффициентов ПСК

В отличие от двоичных помехоустойчивых кодов, в избыточных модулярных кодах однократной ошибкой является искаженный остаток. Если в кортеж оснований МККВ добавить два избыточных основания рп+1, рп+2, для которых имеет место:

missing image file, (6)

то такой МККВ сможет исправить однократную ошибку.

Введение оснований рп+1, рп+2 способствует увеличению длины комбинации:

missing image file, (7)

а также расширению множества возможных комбинаций до значения:

missing image file. (8)

Избыточная комбинация (7) не содержит ошибки, если справедливо:

missing image file. (9)

Поэтому при поиске ошибок в МККВ применяются позиционные характеристики (ПХ), которые показывают позицию числа С относительно Рп. Одной из таких характеристик являются старшие коэффициенты полиадической системы кодирования (ПСК). В данной системе число С разлагается на следующие коэффициенты:

missing image file. (10)

Из (10) наглядно видно, что если справедливо условие (9), то два последних слагаемых должны равняться нулю. Другими словами, если комбинация МККВ не искажена, то старшие коэффициенты ПСК missing image file. Если это условие не выполняется, то очевидно, что комбинация МККВ имеет ошибочный остаток. Кроме того, с помощью ПСК можно выполнить операцию перевода из МККВ в двоичный позиционный код.

Известен численный метод получения коэффициентов ПСК из комбинации МККВ [6, с. 158], который базируется на следующем преобразовании выражения (10) к виду:

missing image file. (11)

Используя выражение (11), можно вычислить коэффициенты ПСК:

missing image file (12)

где missing image file; missing image file.

Так как основу метода составляют модульные операции, то для перевода из МККВ в ПСК можно использовать следующие выражения:

missing image file (13)

где missing image file – коэффициенты ПСК.

Основным недостатком этого метода является итерационный процесс, который приводит к увеличению временных затрат на получение коэффициентов ПСК из остатков МККВ. С целью устранения данного недостатка был разработан численный метод вычисления старших коэффициентов ПСК, реализованный на основе Китайской теоремы об остатках (КТО). Воспользуемся КТО и выполним перевод из МККВ, содержащего n рабочих оснований и одного контрольного рп+1, в ПСК. При этом missing image file. Тогда:

missing image file, (14)

где missing image file – ортогональный базис; missing image file – вес базиса.

Представим ортогональные базисы для данного кортежа в виде коэффициентов ПСК.

missing image file (15)

Тогда коэффициенты ПСК, преобразованные из остатков МККВ, будут определяться:

missing image file (16)

где γj – количество переходов при выполнении суммирования по модулю рj; missing image file.

Аналогичный подход используем для другого кортежа МККВ, содержащего n рабочих оснований и одно контрольное рп+2 в ПСК. При этом missing image file. Тогда:

missing image file, (17)

где missing image file – ортогональный базис; missing image file – вес базиса.

Вычислим ортогональные базисы для данного кортежа и представим их в виде коэффициентов ПСК. Тогда:

missing image file (18)

Тогда коэффициенты ПСК, преобразованные из остатков МККВ будут определяться:

missing image file (19)

При этом значения коэффициентов ПСК ортогональных базисов рабочих оснований в равенствах (15) и (18) совпадают. Значит, один раз вычисленные коэффициенты ПСК по рабочим основаниям можно использовать для параллельного вычисления двух старших коэффициентов missing image file. Это позволит сократить время как на коррекцию ошибки, так и на выполнение обратного преобразования из МККВ в позиционный код через систему ПСК.

Результаты исследования и их обсуждение

Рассмотрим выполнение ДВП Добеши в МККВ, используя математическую модель вычислений [4, 5]. Входной поток считается набором аппроксимирующих {a( j )} и детализирующих коэффициентов {d( j )}, где missing image file, N – количество отсчетов. Пусть разрядность входных данных будет не меньше одного байта. Тогда информационные модули – p1 = 63, p2 = 64, p3 = 65, а контрольные – p4 = 67, p5 = 71 . Тогда разрешенный диапазон missing image file, а полный диапазон missing image file.

Пусть первые четыре отсчета, равные

missing image file,

поступают на вход преобразователя ПК-МККВ, на выходе которого имеем

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file.

Представим коэффициенты Добеши-4 в виде целых чисел, используя V = 256, а затем переведем их в МККВ:

missing image file,

missing image file,

missing image file,

missing image file.

Тогда третий и четвертый отсчеты сигнала равны:

missing image file (21)

missing image file (22)

Рассмотрим реализацию (21) и (22) по модулю p1 = 63

missing image file

missing image file

Аналогичным образом проводим вычисления по другим основаниям. Получаем:

missing image file missing image file

Определим ортогональные базисы для двух кортежей оснований и представим их в коде ПСК. Для первого кортежа оснований p1 = 63, p2 = 64, p3 = 65, p4 = 67, имеем базисы

missing image file, missing image file,

missing image file, missing image file.

Для второго кортежа p1 = 63, p2 = 64, p3 = 65, p4 = 71 имеем базисы

missing image file, missing image file,

missing image file, missing image file.

В таблицах 1 и 2 показан процесс вычисления коэффициентов ПСК для разрешенной комбинации. Для вычисления коэффициента missing image file ПСК суммирование в столбцах выполняется по модулю pi , при этом вычисляется, сколько раз сумма превысила модуль γi, которое учитывается в коэффициенте missing image file.

Таблица 1

Вычисление коэффициентов ПСК для первого кортежа

Основания

Остатки

mod 63

mod 64

γ2

mod 65

γ3

mod 67

p1 = 63

35

35∙1 = 35

35∙1 = 35

 

35∙33 = 1155

 

35∙8 = 280

p2 = 64

46

 

46∙63 = 2898

 

46∙63 = 2898

 

46∙21 = 966

p3 = 65

22

   

45

22∙33 = 726

 

22∙50 = 1100

p4 = 67

58

       

74

58∙53 = 3074

ПСК

 

35

53

 

14

 

0

Таблица 2

Вычисление коэффициентов ПСК для второго кортежа

Oснования

Остатки

mod 63

mod 64

γ2

mod 65

γ3

mod 71

p1 = 63

35

35∙1 = 35

35∙1 = 35

 

35∙33 = 1155

 

35∙4 = 140

p2 = 64

46

 

46∙63 = 2898

 

46∙63 = 2898

 

46∙9 = 414

p3 = 65

22

   

45

22∙33 = 726

 

22∙41 = 902

p4 = 67

40

       

74

40∙15 = 600

ПСК

 

35

53

 

14

 

0

Таким образом, старшие коэффициенты, полученные по модулю 67 и 71, равны нулю. Значит, комбинация не содержит ошибку. Пусть исказился первый остаток missing image file. В таблицах 3 и 4 показан процесс вычисления коэффициентов ПСК.

Таблица 3

Вычисление коэффициентов ПСК для первого кортежа

Основания

Остатки

mod 63

mod 64

γ2

mod 65

γ3

mod 67

p1 = 63

30

30∙1 = 30

30∙1 = 30

 

30∙33 = 990

 

30∙8 = 240

p2 = 64

46

 

46∙63 = 2898

 

46∙63 = 2898

 

46∙21 = 966

p3 = 65

22

   

45

22∙33 = 726

 

22∙50 = 1100

p4 = 67

58

       

71

58∙53 = 3074

ПСК

 

30

48

 

44

 

24

Таблица 4

Вычисление коэффициентов ПСК для второго кортежа

Основания

Остатки

mod 63

mod 64

γ2

mod 65

γ3

mod 71

p1 = 63

30

30∙1 = 30

30∙1 = 30

 

30∙33 = 990

 

30∙4 = 120

p2 = 64

46

 

46∙63 = 2898

 

46∙63 = 2898

 

46∙9 = 414

p3 = 65

22

   

45

22∙33 = 726

 

22∙41 = 902

p4 = 67

40

       

71

40∙15 = 600

ПСК

 

30

48

 

44

 

48

Так как старшие коэффициенты ПСК не нулевые, то комбинация содержит ошибку. Для коррекции используется вектор ошибки для информационных оснований missing image file

missing image file.

Затем исправленный результат переводим в позиционную систему счисления с помощью коэффициентов ПСК missing image file.

Сравнительный анализ численных методов был проведен с использованием FPGA Xilinx Artix-7 (xc7a12ticsg325-1L). Для реализации численного метода [6, с. 158] потребовалось 239 нс. Разработанный численный метод для вычисления коэффициентов ПСК требует 110 нс, что в 2,17 раза меньше, чем метод [6, с. 158]. Этот результат достигается за счет параллельного выполнения операций умножений коэффициентов ПСК ортогональных базисов на остатки модулярного кода.

Заключение

В статье рассмотрен метод преобразования МККВ-ПСК, в котором при вычислении текущего коэффициента ПСК необходимо использовать предыдущий. Это приводит к снижению скорости преобразования МККВ-ПСК. Для устранения этого недостатка был разработан численный метод, в котором операции умножения выполняются параллельно. Проведенный сравнительный анализ схемотехнических решений на основе FPGA показал, что для преобразования МККВ-ПСК с помощью разработанного численного метода требуется 110 нс, а при использовании итерационного метода – 239 нс. Таким образом, время на коррекцию ошибок при выполнении Добеши-4 в МККВ будет сокращено в 2,17 раза.


Библиографическая ссылка

Чистоусов Н.К., Калмыков И.А., Духовный Д.В., Ефременков И.Д., Кононов М.Н. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИАДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КОДИРОВАНИЯ ДЛЯ КОРРЕКЦИИ ОШИБОК В МОДУЛЯРНЫХ КОДАХ // Современные наукоемкие технологии. – 2024. – № 6. – С. 71-76;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=40066 (дата обращения: 10.12.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674