Учет неопределенности входных параметров при решениях прикладных задач осуществляется различными методами. Интервальный анализ является одной из наиболее изученных и обоснованных теорий. Интервальные вычисления дают возможность учитывать в решениях задач погрешности входных параметров, ошибки дискретизации численных методов, а также ошибки машинного округления действительных чисел. При этом вместо арифметических операций и функций на множестве вещественных чисел используют их интервальные аналоги [1]. В монографии [2] приведены фундаментальные результаты исследований интервальных алгебраических задач и их численных решений. Разработка новых алгоритмов для работы с величинами, содержащими неопределенности, а также их программная реализация способствуют более широкому применению методов интервального анализа в решениях прикладных задач.

В работе впервые предложены и протестированы новые правила интервальных арифметических операций, дающие возможность получать в решениях прикладных задач средние оценки интервального решения. В классической интервальной арифметике (КИА) под интервалом A понимают множество действительных чисел из отрезка [a1, a2], где a1 ≤ a2. Одной из важнейших характеристик интервала является его ширина w(A) = a2 – a1, которая отражает степень неопределенности величины A.

В рамках КИА основные арифметические операции над интервалами определены следующими правилами:

;

;

;

;

Индексом c будем обозначать операции, реализованные по правилам КИА, свойства которых хорошо изучены и детально проанализированы в [1, 2]. Применение указанных операций в конкретных задачах приводит к внешней интервальной оценке получаемого решения. Примеры практического использования указанных интервальных операций в решениях прикладных задач различной направленности представлены в [3, 4], в том числе в математических моделях, описывающих процессы в электрохимических системах [5–7].

Характерные свойства, присущие КИА, такие как A – A ≠ 0, A / A ≠ 1, нередко приводят к недопустимому росту ширины результирующих интервалов, что лишает практической значимости полученные решения.

Обобщенная интервальная арифметика на основе нестандартных интервальных операций, в первую очередь операций вычитания и деления, позволяет уменьшить влияние этих отрицательных свойств. В работах [8, 9] исследуется возможность применения нестандартных (внутренних) интервальных операций, на основе которых формируется внутренняя интервальная оценка решения задачи. В этом случае нестандартные операции определяются следующим образом.

Введем множество

где *∈{+,–,×, /}.

Тогда результат любой арифметической операции (*) в правилах КИА может быть представлен в виде

(1)

Введем два дополнительных множества:

Тогда внутренние нестандартные интервальные операции можно определить следующим правилом:

(2)

Здесь и далее индексом v будем обозначать внутренние операции.

Материалы и методы исследования

В данном сообщении использованы методы численного и интервального анализа; проведено сравнительное тестирование классических, внутренних и предложенных средних интервальных операций; представлены численные результаты решения краевой задачи с интервальной неопределенностью входных параметров.

Предлагается правило арифметических операций для получения средних интервальных оценок решения (введенные операции будем обозначать нижним индексом s):

(3)

где

Отметим, что в формулах (3) для операций умножения и деления присутствует корень квадратный из произведения двух сомножителей. Тестирование показало, что эти произведения отрицательными быть не могут, поэтому подобный случай в предлагаемом правиле не предусмотрен.

В КИА операция деления на интервал, содержащий ноль, не определена. В предлагаемом алгоритме данная операция не исключается, в том числе допускается случай, когда оба интервала содержат ноль (при этом ноль не совпадает ни с одним из концов интервала); обоснование данного подхода изложено в [10].

Результаты исследования и их обсуждение

Для проведения сравнительного анализа результатов арифметических операций, полученных по трем правилам (1), (2) и (3), протестировано 6 вариантов взаимного расположения двух интервалов A и B относительно нуля; значения интервалов представлены в табл. 1.

В табл. 2 представлены результаты применения операций сложения и вычитания к двум интервалам по трем правилам (c – классические операции, s – средние, v – внутренние); после каждого интервала указана его ширина.

Таблица 1

Данные для тестовых расчетов

Таблица 2

Результаты сложения и вычитания двух интервалов

Таблица 3

Умножение интервалов

Таблица 4

Деление интервалов

Для краткости в табл. 2 представлены результаты только первого варианта, так как для всех шести вариантов при сложении и вычитании выводы аналогичны:

a) максимальное значение имеет ширина интервала, полученного по правилу «c»;

b) минимальное значение имеет ширина интервала, полученного по правилу «v»; при этом сложение и вычитание равных интервалов дает результат нулевой ширины;

c) значение ширины интервала, полученного по правилу «s», равно среднему арифметическому значений, полученных по правилам «c» и «v».

В табл. 3 представлены результаты умножения двух интервалов по трем правилам.

В табл. 3 приведены данные расчетов для шести вариантов взаимного расположения интервалов. Выделим две группы результатов: а) варианты 1–3 (интервалы не содержат ноль); б) варианты 4–6 (один или оба интервала содержат ноль). В группе а) для внутренней операции умножения ширина w(A × A) = 0, что может привести к заниженной интервальной оценке получаемого решения задачи.

В табл. 4 представлены результаты деления двух интервалов.

Приведены результаты для шести вариантов. Для операции деления также можно выделить две группы вариантов: а) варианты 1–3 (интервалы не содержат ноль); б) варианты 4–6 (один или оба интервала содержат ноль). В группе б) для КИА деление на интервал, содержащий ноль, не определено. В группе а) для внутренней операции деления ширина w(A / A) = 0, что (как и для умножения) приводит к заниженной интервальной оценке решения.

Применение интервальных операций при решении краевой задачи

Для исследования возможности применения усредненных интервальных операций в решении прикладной задачи рассмотрим алгоритм расчета электрического поля в электрохимической системе. Сформулируем краевую задачу в двумерном сечении кругового цилиндра радиуса R0; схема представлена на рис. 1.

Известно, что функция потенциала электрического поля u(p) в области Ω удовлетворяет уравнению Лапласа:

. (4)

Рис. 1. Схема области интегрирования Ω; Sa – граница анода, Sc – граница катода, Si – границы изоляторов, n – вектор нормали к границе области

На границах области сформулируем краевые условия для неизвестной функции:

, (5)

, (6)

, (7)

где σ – удельная электропроводность среды, 1/(Ом∙м); ρa, ρc – удельные поляризуемости анода и катода, Ом∙м2; Ua, Uc – потенциалы электродов от внешнего источника тока, В.

Значения электрохимических параметров, входящих в математическую модель (4)–(7), не могут быть измерены точно, так как они зависят от конвекции электролита, газогенерации электродов, температуры и других факторов, не учитываемых в данной постановке. В предлагаемом подходе электрохимические параметры мы будем полагать интервальными величинами.

Численное решение задачи (4)–(7) осуществляется методом граничных элементов [11]. Вначале из (5), (6) выразим производные по нормали:

; . (8)

Затем в интегральную формулу Грина

подставим вместо ∂U/∂n соответствующие правые части из (7), (8) и после некоторых тождественных преобразований построим граничное интегральное уравнение

, (9)

ядро которого имеет следующий вид:

Здесь k1 = ρa∙σ/Ɵ, k2 = ρc∙σ/Ɵ – безразмерные величины; Ɵ = 10∙R0 – параметр обезразмеривания.

На основе метода конечных сумм интегральное уравнение (9) сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), размерность которой равна числу граничных элементов и в проведенных расчетах принималась равной от 200 до 1600. Отметим, что матрица СЛАУ в данном случае является всюду плотной, т.е. не содержит нулевых элементов. Итоговая система с интервальными коэффициентами решалась методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу. Обоснования применимости данного метода к интервальным СЛАУ с матрицами, обладающими определенными свойствами, изложены в [2].

(а) (б)

Рис. 2. Распределение интервальных функций потенциала (а) и плотности тока (б) по границе области Ω в зависимости от угла φ на основе: 1, 2 – классической интервальной арифметики; 3, 4 – усредненных операций; 5, 6 – внутренних операций

Расчеты проводились с целью сравнительного анализа результатов, полученных на основе операций КИА (1), нестандартных внутренних операций (2) и усредненных операций (3), предложенных в данной работе. Радиусы интервалов для электрохимических параметров были приняты равными 1 % от их средних значений: Ua = [4.95, 5.05]; Uc = [0.99, 1.01]; ρa = ρc = [2.97, 3.03]; σ = [9.9, 10.1]. На рис. 2 представлены результаты численного решения задачи (4)–(7).

Из рис. 2 видно, что ширина интервальной функции потенциала, построенной согласно правилам КИА, имеет недопустимо большое значение, которое делает результат малоинформативным. По результатам применения внутренних операций ширина интервального решения может оказаться несколько заниженной.

Заключение

В работе предложены новые, «усредненные» или «средние», интервальные операции, программная реализация и применение которых дает возможность получить средние интервальные оценки решения прикладных задач, где неопределенность присутствует в исходных параметрах изначально. Операции протестированы для различных комбинаций интервалов, расположенных относительно ноля, и апробированы на решении конкретной прикладной задачи из области электрохимии.