Моделирование процесса конвективного теплопереноса неньютоновских жидкостей в каналах различного сечения представляет интерес при решении многих технических задач. К жидкостям такого рода относятся в том числе и суспензии мелкодисперсной твердой фазы на основе различных полимерных композиций [1, 2]. Реологические свойства суспензий рассматривались в работах [3–5]. Такие суспензии на различных интервалах изменения скорости сдвига 
могут проявлять как псевдопластические, так и дилатантные свойства [6, 7]. В случае достаточно высокой концентрации твердой фазы приближение скорости сдвига к некоторому пороговому уровню может приводить к аномально высоким значениям вязкости. Подобное поведение рабочих сред можно интерпретировать как проявление эффекта упрочнения или «отвердевания».
Для моделирования механического поведения подобных сред используются реологические модели комбинированного типа. В [8] предложена реологическая модель вязкопластической жидкости, демонстрирующей эффект «отвердевания», а также проведен анализ особенностей кривой течения. В соответствии с этой моделью при значениях касательного напряжения, не превышающих предела текучести, деформирование материала отсутствует, а превышение этого предела приводит к сдвиговому течению жидкости. Дальнейшее увеличение скорости сдвига и ее приближение к соответствующему пороговому уровню приводят к формированию слоя «отвердевшей» жидкости. В работе [9] рассматривалось образование двух схем течения в зависимости от перепада давления. При этом область течения разбивалась на несколько зон внутри канала. Там же были получены аналитические формулы распределения скорости вязкопластической жидкости в плоском канале и для каждой схемы течения определены расходно-перепадные характеристики канала.
Моделирование диссипативного разогрева в плоском канале вязкопластической среды, реологическая модель которой учитывает проявление эффекта «отвердевания», для случая, когда перепад давления не превышает критического значения и эффект «отвердевания» себя не проявляет, было проведено в [10]. В этой работе аналитически получены выражения для распределения температуры в поперечном сечении канала. Показано возникновение максимума температуры в окрестности стенок канала.
Целью данной работы является исследование процесса установившегося конвективного теплопереноса с учетом фактора диссипации вязкопластических суспензий, которые могут проявлять эффект «отвердевания» при их течении в плоских каналах технологического оборудования.
Материалы и методы исследования
Рассмотрим процесс конвективного теплопереноса вязкопластической жидкости, демонстрирующей проявление эффекта «отвердевания», в плоском канале шириной 
и длиной L.
Предположим, что механическое поведение среды описывается с помощью реологической модели вязкопластической жидкости с эффектом «отвердевания» [8]:
; 
,
где τ – касательное напряжение; n – индекс течения; τp – предел текучести, τs – касательное напряжение, достигаемое при критическом значении скорости сдвига 
.
Пусть в канале реализуется схема течения, для которой перепад давления в канале удовлетворяет следующему условию:
; 
,
где 
– перепад давления, при превышении которого на стенках канала в дополнение к уже существующим зонам пластического и вязкого течения формируется зона «отвердевшей» жидкости [9].
Схема такого течения представлена на рис. 1.
Рис. 1. Схема течения жидкости
Границы раздела между зонами течения представляют собой плоскости, расположенные на расстояниях hp и hs от оси симметрии канала Ox. Эти расстояния находятся из решения гидродинамической части задачи [9] и определяются следующим образом:
; 
.
При решении задачи конвективного теплопереноса в канале были приняты следующие упрощающие допущения. Предположим, что входным участком в канале можно пренебречь, а конвективный теплоперенос вдоль оси канала можно определять по средней скорости потока в соответствующей зоне течения. Будем также полагать, что молекулярной составляющей теплового потока в продольном направлении канала допустимо пренебрегать по сравнению с его поперечной составляющей. Кроме того, предположим, что на стенках канала осуществляется теплообмен с окружающей средой при заданном значении коэффициента теплоотдачи.
С учетом сделанных выше допущений уравнения конвективного теплопереноса в плоском канале с учетом фактора диссипации в безразмерных переменных могут быть записаны в виде:
(1)
(2)
(3)
Здесь и далее безразмерные величины отмечены верхним штрихом. Верхние индексы v, p, s относят соответствующие характеристики к зонам вязкого сдвигового и пластического течений, а также к зоне «отвердевшей» жидкости соответственно.
Диссипативная функция 
определялась через распределения касательного напряжения τ и скорости сдвига 
следующим образом:
Система уравнений (1)–(3) и диссипативная функция были представлены в безразмерной форме записи с учетом соотношений:
; 
; 
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
;
; 
; 
.
где 
, 
, 
– распределения безразмерной температуры в зонах вязкого сдвигового и пластического течений, а также в зоне, заполненной материалом «отвердевшей» жидкости соответственно; Tspace – значение температуры в пространстве за стенками канала; Tenter – принимаемая постоянной температура жидкости на входе в канал; us – характерное значение скорости жидкости, принимаемое в качестве масштабного; 
– средняя по сечению зоны вязкого сдвигового течения скорость жидкости; 
– предполагаемая постоянной скорость жидкости в зоне пластического течения; Ec, Eu, Pr – критерии подобия Эккерта, Эйлера и Прандтля соответственно; G – безразмерный геометрический комплекс; S1, S2 – безразмерные комплексы, составленные из соответствующих критериев подобия; ρ, c, λ – плотность, теплоемкость и теплопроводность рабочей среды соответственно (параметры являются постоянными независимо от рассматриваемой зоны течения); μS – масштабное значение динамической вязкости.
Граничные условия для рассматриваемой задачи имеют вид:
Здесь критерий подобия Био определяется следующим образом:
;
где α – коэффициент теплоотдачи на внешних стенках канала.
Решение системы уравнений (1)–(3) с представленными выше граничными условиями проводилось методом разделения переменных. В итоге, с учетом формирования в области течения трех зон было показано, что распределение температуры в канале может быть представлено следующим образом:
где
; (4)
; (5)
; (6)
В формулах (4)–(6) использованы обозначения:
; 
;
;
; 
;
;
; 
; 
;
В последних соотношениях 
, 
являются корнями следующего характеристического уравнения:
. (7)
В приведенных выше соотношениях использовались следующие функции:
Решение характеристического уравнения (7) проводили численно.
Ограничиваясь в (4)–(6) конечным числом N членов в представленных рядах, дальнейшее определение констант Cn; 
проводили по рассмотренной ранее методике [10], которая сводилась к отысканию минимума следующей функции невязки:
Результаты численного моделирования
Математическое моделирование конвективного теплопереноса вязкопластической жидкости, демонстрирующей проявление эффекта «отвердевания», было проведено для следующих значений исходных параметров n = 0,3; 
; 
; 
; 
; 
; G = 0,1; Nu = 0,204; Ec = 2,222·10–5; Eu = 833,3; Pr = 9,184·106. В процессе исследования проведен анализ влияния параметров модели на выходные характеристики процесса конвективного теплопереноса.
Распределения температуры в различных поперечных сечениях плоского канала при течении вязкопластической жидкости, демонстрирующей проявление эффекта «отвердевания», изображены на рис. 2.
Рис. 2. Распределение безразмерной температуры по поперечной координате в различных поперечных сечениях канала для x’ = 0,2 (1); 0,4 (2); 0,6 (3); 0,8 (4); 1,0 (5)
Из приведенных на рис. 2 зависимостей видно, что распределение температуры в поперечном сечении канала демонстрирует немонотонный характер и во второй зоне вязкого сдвигового течения формируется экстремум (максимум) температуры, обусловленный диссипацией механической энергии.
Из представленных на этом рисунке графиков следует, что значение температуры в точке ее экстремума возрастает по мере удаления от входного сечения, достигая своего наибольшего значения в выходном сечении канала.
Выводы
Разработана модель конвективного теплопереноса с учетом диссипации в плоском канале для случая, когда вязкопластическая жидкость демонстрирует проявление эффекта «отвердевания». Результаты моделирования могут быть использованы при проведении расчета характеристик диссипативного разогрева рабочих сред с реологической моделью рассматриваемого типа в каналах технологического оборудования.