Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

MATHEMATICAL MODELING OF CONVECTIV HEAT TRANSFER FOR FLOW IN A PLANE CHANEL OF A VISCOPLASTIC FLUID, THE RHEOLOGICAL MODEL OF WHICH TAKES INTO ACCOUNT THE MANIFISTATION «SOLIDIFICATION» EFFECT

Kolodezhnov V.N. 1 Veretennikov A.S. 1
1 N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy
The aim of the work is to investigate the process of steady-state convective heat transfer taking into account the dissipation factor in a flat channel of a viscoplastic fluid. To describe the non-Newtonian behavior of the working medium, a rheological model was used that takes into account the manifestation of the «solidification» effect. The problem of steady-state convective heat transfer is solved by the analytical method of separation of variables. In accordance with the hydrodynamic flow model assumed that at a differential pressure exceeding a critical threshold value, such liquid can demonstrate expression of the effect of «solidification». The essence of this effect lies in the fact that when the shear rate approaches the corresponding threshold value, an abnormally high increase in the viscosity of the liquid occurs. In this case, it is permissible to assume that three characteristic zones are formed inside the channel: a zone of plastic flow, a zone of viscous shear flow, and also a zone filled with the material of «solidified» liquid. The thermal part of the problem was considered for each of these three flow zones separately the conditions for conjugation of temperature and heat fluxes were set at the adjacent boundaries of the zones. The distributions of temperature fields for each of the three zones of the flat channel with regard to the factor of dissipation of mechanical energy are obtained. The analysis of peculiarities of forming temperature fields is carried out and it is shown that in shear flow zone in vicinity with boundary of «solidified» liquid zone temperature distribution reaches maximum value.
viscoplastic fluid
viscosity anomaly
convective heat transfer
dissipation

Моделирование процесса конвективного теплопереноса неньютоновских жидкостей в каналах различного сечения представляет интерес при решении многих технических задач. К жидкостям такого рода относятся в том числе и суспензии мелкодисперсной твердой фазы на основе различных полимерных композиций [1, 2]. Реологические свойства суспензий рассматривались в работах [3–5]. Такие суспензии на различных интервалах изменения скорости сдвига missing image file могут проявлять как псевдопластические, так и дилатантные свойства [6, 7]. В случае достаточно высокой концентрации твердой фазы приближение скорости сдвига к некоторому пороговому уровню может приводить к аномально высоким значениям вязкости. Подобное поведение рабочих сред можно интерпретировать как проявление эффекта упрочнения или «отвердевания».

Для моделирования механического поведения подобных сред используются реологические модели комбинированного типа. В [8] предложена реологическая модель вязкопластической жидкости, демонстрирующей эффект «отвердевания», а также проведен анализ особенностей кривой течения. В соответствии с этой моделью при значениях касательного напряжения, не превышающих предела текучести, деформирование материала отсутствует, а превышение этого предела приводит к сдвиговому течению жидкости. Дальнейшее увеличение скорости сдвига и ее приближение к соответствующему пороговому уровню приводят к формированию слоя «отвердевшей» жидкости. В работе [9] рассматривалось образование двух схем течения в зависимости от перепада давления. При этом область течения разбивалась на несколько зон внутри канала. Там же были получены аналитические формулы распределения скорости вязкопластической жидкости в плоском канале и для каждой схемы течения определены расходно-перепадные характеристики канала.

Моделирование диссипативного разогрева в плоском канале вязкопластической среды, реологическая модель которой учитывает проявление эффекта «отвердевания», для случая, когда перепад давления не превышает критического значения и эффект «отвердевания» себя не проявляет, было проведено в [10]. В этой работе аналитически получены выражения для распределения температуры в поперечном сечении канала. Показано возникновение максимума температуры в окрестности стенок канала.

Целью данной работы является исследование процесса установившегося конвективного теплопереноса с учетом фактора диссипации вязкопластических суспензий, которые могут проявлять эффект «отвердевания» при их течении в плоских каналах технологического оборудования.

Материалы и методы исследования

Рассмотрим процесс конвективного теплопереноса вязкопластической жидкости, демонстрирующей проявление эффекта «отвердевания», в плоском канале шириной missing image file и длиной L.

Предположим, что механическое поведение среды описывается с помощью реологической модели вязкопластической жидкости с эффектом «отвердевания» [8]:

missing image file

missing image file; missing image file,

где τ – касательное напряжение; n – индекс течения; τp – предел текучести, τs – касательное напряжение, достигаемое при критическом значении скорости сдвига missing image file.

Пусть в канале реализуется схема течения, для которой перепад давления в канале удовлетворяет следующему условию:

missing image file; missing image file,

где missing image file – перепад давления, при превышении которого на стенках канала в дополнение к уже существующим зонам пластического и вязкого течения формируется зона «отвердевшей» жидкости [9].

Схема такого течения представлена на рис. 1.

missing image file

Рис. 1. Схема течения жидкости

Границы раздела между зонами течения представляют собой плоскости, расположенные на расстояниях hp и hs от оси симметрии канала Ox. Эти расстояния находятся из решения гидродинамической части задачи [9] и определяются следующим образом:

missing image file; missing image file.

При решении задачи конвективного теплопереноса в канале были приняты следующие упрощающие допущения. Предположим, что входным участком в канале можно пренебречь, а конвективный теплоперенос вдоль оси канала можно определять по средней скорости потока в соответствующей зоне течения. Будем также полагать, что молекулярной составляющей теплового потока в продольном направлении канала допустимо пренебрегать по сравнению с его поперечной составляющей. Кроме того, предположим, что на стенках канала осуществляется теплообмен с окружающей средой при заданном значении коэффициента теплоотдачи.

С учетом сделанных выше допущений уравнения конвективного теплопереноса в плоском канале с учетом фактора диссипации в безразмерных переменных могут быть записаны в виде:

missing image file (1)

missing image file (2)

missing image file (3)

Здесь и далее безразмерные величины отмечены верхним штрихом. Верхние индексы v, p, s относят соответствующие характеристики к зонам вязкого сдвигового и пластического течений, а также к зоне «отвердевшей» жидкости соответственно.

Диссипативная функция missing image file определялась через распределения касательного напряжения τ и скорости сдвига missing image file следующим образом:

missing image file

Система уравнений (1)–(3) и диссипативная функция были представлены в безразмерной форме записи с учетом соотношений:

missing image file; missing image file; missing image file; missing image file; missing image file; missing image file;

missing image file; missing image file; missing image file; missing image file; missing image file; missing image file;

missing image file; missing image file; missing image file; missing image file;

missing image file; missing image file; missing image file.

где missing image file, missing image file, missing image file – распределения безразмерной температуры в зонах вязкого сдвигового и пластического течений, а также в зоне, заполненной материалом «отвердевшей» жидкости соответственно; Tspace – значение температуры в пространстве за стенками канала; Tenter – принимаемая постоянной температура жидкости на входе в канал; us – характерное значение скорости жидкости, принимаемое в качестве масштабного; missing image file – средняя по сечению зоны вязкого сдвигового течения скорость жидкости; missing image file – предполагаемая постоянной скорость жидкости в зоне пластического течения; Ec, Eu, Pr – критерии подобия Эккерта, Эйлера и Прандтля соответственно; G – безразмерный геометрический комплекс; S1, S2 – безразмерные комплексы, составленные из соответствующих критериев подобия; ρ, c, λ – плотность, теплоемкость и теплопроводность рабочей среды соответственно (параметры являются постоянными независимо от рассматриваемой зоны течения); μS – масштабное значение динамической вязкости.

Граничные условия для рассматриваемой задачи имеют вид:

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

Здесь критерий подобия Био определяется следующим образом:

missing image file;

где α – коэффициент теплоотдачи на внешних стенках канала.

Решение системы уравнений (1)–(3) с представленными выше граничными условиями проводилось методом разделения переменных. В итоге, с учетом формирования в области течения трех зон было показано, что распределение температуры в канале может быть представлено следующим образом:

missing image file

где

missing image file; (4)

missing image file; (5)

missing image file; (6)

В формулах (4)–(6) использованы обозначения:

missing image file; missing image file;

missing image file;

missing image file; missing image file;

missing image file;

missing image file; missing image file; missing image file;

missing image file

В последних соотношениях missing image file, missing image file являются корнями следующего характеристического уравнения:

missing image file. (7)

В приведенных выше соотношениях использовались следующие функции:

missing image file

missing image file

missing image file

Решение характеристического уравнения (7) проводили численно.

Ограничиваясь в (4)–(6) конечным числом N членов в представленных рядах, дальнейшее определение констант Cn; missing image file проводили по рассмотренной ранее методике [10], которая сводилась к отысканию минимума следующей функции невязки:

missing image file

Результаты численного моделирования

Математическое моделирование конвективного теплопереноса вязкопластической жидкости, демонстрирующей проявление эффекта «отвердевания», было проведено для следующих значений исходных параметров n = 0,3; missing image file; missing image file; missing image file; missing image file; missing image file; G = 0,1; Nu = 0,204; Ec = 2,222·10–5; Eu = 833,3; Pr = 9,184·106. В процессе исследования проведен анализ влияния параметров модели на выходные характеристики процесса конвективного теплопереноса.

Распределения температуры в различных поперечных сечениях плоского канала при течении вязкопластической жидкости, демонстрирующей проявление эффекта «отвердевания», изображены на рис. 2.

missing image file

Рис. 2. Распределение безразмерной температуры по поперечной координате в различных поперечных сечениях канала для x’ = 0,2 (1); 0,4 (2); 0,6 (3); 0,8 (4); 1,0 (5)

Из приведенных на рис. 2 зависимостей видно, что распределение температуры в поперечном сечении канала демонстрирует немонотонный характер и во второй зоне вязкого сдвигового течения формируется экстремум (максимум) температуры, обусловленный диссипацией механической энергии.

Из представленных на этом рисунке графиков следует, что значение температуры в точке ее экстремума возрастает по мере удаления от входного сечения, достигая своего наибольшего значения в выходном сечении канала.

Выводы

Разработана модель конвективного теплопереноса с учетом диссипации в плоском канале для случая, когда вязкопластическая жидкость демонстрирует проявление эффекта «отвердевания». Результаты моделирования могут быть использованы при проведении расчета характеристик диссипативного разогрева рабочих сред с реологической моделью рассматриваемого типа в каналах технологического оборудования.