Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА ДЛЯ ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ, РЕОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОТОРОЙ УЧИТЫВАЕТ ПРОЯВЛЕНИЕ ЭФФЕКТА «ОТВЕРДЕВАНИЯ»

Колодежнов В.Н. 1 Веретенников А.С. 1
1 Военно-Воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина
Целью работы является исследование процесса установившегося конвективного теплопереноса с учетом фактора диссипации в плоском канале вязкопластической жидкости. Для описания неньютоновского поведения рабочей среды использовалась реологическая модель, учитывающая проявление эффекта «отвердевания». Аналитическим методом разделения переменных решена задача установившегося конвективного теплопереноса. В соответствии с гидродинамической моделью течения предполагалось, что при перепаде давления, превышающем некоторое пороговое критическое значение, такая жидкость может демонстрировать проявление эффекта «отвердевания». Суть этого эффекта заключается в том, что при приближении скорости сдвига к соответствующему пороговому значению происходит аномально высокое нарастание вязкости жидкости. В этом случае допустимо полагать, что внутри канала формируются зона пластического течения, зона вязкого течения, а также зона, заполненная материалом «отвердевшей» жидкости. Тепловая часть задачи рассматривалась для каждой из этих трех зон течения по отдельности. На смежных границах зон ставились условия сопряжения температуры и тепловых потоков. Получены распределения температурных полей для каждой из трех зон плоского канала с учетом фактора диссипации механической энергии. Проведен анализ особенностей формирующихся температурных полей и показано, что в зоне сдвигового течения в окрестности с границей зоны «отвердевшей» жидкости распределение температуры достигает максимального значения.
вязкопластическая жидкость
аномалия вязкости
конвективный теплоперенос
диссипация
1. Broun E., H. Jaeger. Shear thickening in concentrated suspension: phenomenology, mechanisms and relations to jamming. Reports on progress in physics. Physical Society. 2014. V. 77(4). Р. 046602. DOI: 10.1088/0034-4885/77/4/046602.
2. Gürgen S., Weihua Li., Kuşhan M.C. The rheology of shear thickening fluids with various ceramic particle additives. Materials & Design. 2016. V. 104. Р. 312–319. DOI: 10.1016/j.matdes.2016.05.055.
3. Young Sil Lee, Wagner N.J. Dynamic properties of shear thickening colloidal suspensions. Rheol. Acta. 2003. V. 42. Is. 3. Р. 199–208. DOI: 10.1007/s00397-002-0290-7.
4. Wagner N.J., Brady J.F. Shear thickening in colloidal dispersions. Physics. Today. 2009. V. 62. Is. 10. P. 27–32. DOI: 10.1063/1.3248476.
5. Brown E., Jaeger H.M. The role of dilation and confining stress in shear thickening of dense suspensions. J. Rheol. 2012. V. 56. Is. 4. Р. 875–923. DOI: 10.1122/1.4709423.
6. Hunter G.L., Weeks E.R. The physics of the colloidal glass transition. Reports on Progress in Physics. 2012. V. 75. 066501. DOI: 10.1088/0034-4885/75/6/066501.
7. Nakamura H., Makino S., Ishii M. Continuous shear thickening and discontinuous shear thickening of concentrated monodispersed silica slurry. Advanced Powder Technology. 2020. V. 31. Is. 4. Р. 1659–1664. DOI: 10.1016/j.apt.2020.01.032.
8. Колодежнов В.Н. Математическая модель реологического поведения вязкопластической жидкости, которая демонстрирует проявление эффекта «отвердевания» // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. 2014. № 2 (60). С. 55–58. DOI: 10.20914/2310-1202-2014-2-55-58.
9. Колодежнов В.Н., Веретенников А.С. Особенности расходно-перепадной характеристики плоского канала для случая течения вязкопластической жидкости с эффектом «отвердевания» // Академические Жуковские чтения: IV всероссийская научно-практическая конференция: сб. научн. ст. по материалам Всероссийской НПК. Воронеж, 2017. Т. 2. Ч. 2. С. 116–120.
10. Колодежнов В.Н., Веретенников А.С. Моделирование диссипативного разогрева в плоском канале вязкопластической среды, реологическая модель которой учитывает проявление эффекта «отвердевания» // Известия Юго-Западного государственного университета. Серия: Техника и технологии. 2020. Т. 10. № 3. С. 32–44.

Моделирование процесса конвективного теплопереноса неньютоновских жидкостей в каналах различного сечения представляет интерес при решении многих технических задач. К жидкостям такого рода относятся в том числе и суспензии мелкодисперсной твердой фазы на основе различных полимерных композиций [1, 2]. Реологические свойства суспензий рассматривались в работах [3–5]. Такие суспензии на различных интервалах изменения скорости сдвига missing image file могут проявлять как псевдопластические, так и дилатантные свойства [6, 7]. В случае достаточно высокой концентрации твердой фазы приближение скорости сдвига к некоторому пороговому уровню может приводить к аномально высоким значениям вязкости. Подобное поведение рабочих сред можно интерпретировать как проявление эффекта упрочнения или «отвердевания».

Для моделирования механического поведения подобных сред используются реологические модели комбинированного типа. В [8] предложена реологическая модель вязкопластической жидкости, демонстрирующей эффект «отвердевания», а также проведен анализ особенностей кривой течения. В соответствии с этой моделью при значениях касательного напряжения, не превышающих предела текучести, деформирование материала отсутствует, а превышение этого предела приводит к сдвиговому течению жидкости. Дальнейшее увеличение скорости сдвига и ее приближение к соответствующему пороговому уровню приводят к формированию слоя «отвердевшей» жидкости. В работе [9] рассматривалось образование двух схем течения в зависимости от перепада давления. При этом область течения разбивалась на несколько зон внутри канала. Там же были получены аналитические формулы распределения скорости вязкопластической жидкости в плоском канале и для каждой схемы течения определены расходно-перепадные характеристики канала.

Моделирование диссипативного разогрева в плоском канале вязкопластической среды, реологическая модель которой учитывает проявление эффекта «отвердевания», для случая, когда перепад давления не превышает критического значения и эффект «отвердевания» себя не проявляет, было проведено в [10]. В этой работе аналитически получены выражения для распределения температуры в поперечном сечении канала. Показано возникновение максимума температуры в окрестности стенок канала.

Целью данной работы является исследование процесса установившегося конвективного теплопереноса с учетом фактора диссипации вязкопластических суспензий, которые могут проявлять эффект «отвердевания» при их течении в плоских каналах технологического оборудования.

Материалы и методы исследования

Рассмотрим процесс конвективного теплопереноса вязкопластической жидкости, демонстрирующей проявление эффекта «отвердевания», в плоском канале шириной missing image file и длиной L.

Предположим, что механическое поведение среды описывается с помощью реологической модели вязкопластической жидкости с эффектом «отвердевания» [8]:

missing image file

missing image file; missing image file,

где τ – касательное напряжение; n – индекс течения; τp – предел текучести, τs – касательное напряжение, достигаемое при критическом значении скорости сдвига missing image file.

Пусть в канале реализуется схема течения, для которой перепад давления в канале удовлетворяет следующему условию:

missing image file; missing image file,

где missing image file – перепад давления, при превышении которого на стенках канала в дополнение к уже существующим зонам пластического и вязкого течения формируется зона «отвердевшей» жидкости [9].

Схема такого течения представлена на рис. 1.

missing image file

Рис. 1. Схема течения жидкости

Границы раздела между зонами течения представляют собой плоскости, расположенные на расстояниях hp и hs от оси симметрии канала Ox. Эти расстояния находятся из решения гидродинамической части задачи [9] и определяются следующим образом:

missing image file; missing image file.

При решении задачи конвективного теплопереноса в канале были приняты следующие упрощающие допущения. Предположим, что входным участком в канале можно пренебречь, а конвективный теплоперенос вдоль оси канала можно определять по средней скорости потока в соответствующей зоне течения. Будем также полагать, что молекулярной составляющей теплового потока в продольном направлении канала допустимо пренебрегать по сравнению с его поперечной составляющей. Кроме того, предположим, что на стенках канала осуществляется теплообмен с окружающей средой при заданном значении коэффициента теплоотдачи.

С учетом сделанных выше допущений уравнения конвективного теплопереноса в плоском канале с учетом фактора диссипации в безразмерных переменных могут быть записаны в виде:

missing image file (1)

missing image file (2)

missing image file (3)

Здесь и далее безразмерные величины отмечены верхним штрихом. Верхние индексы v, p, s относят соответствующие характеристики к зонам вязкого сдвигового и пластического течений, а также к зоне «отвердевшей» жидкости соответственно.

Диссипативная функция missing image file определялась через распределения касательного напряжения τ и скорости сдвига missing image file следующим образом:

missing image file

Система уравнений (1)–(3) и диссипативная функция были представлены в безразмерной форме записи с учетом соотношений:

missing image file; missing image file; missing image file; missing image file; missing image file; missing image file;

missing image file; missing image file; missing image file; missing image file; missing image file; missing image file;

missing image file; missing image file; missing image file; missing image file;

missing image file; missing image file; missing image file.

где missing image file, missing image file, missing image file – распределения безразмерной температуры в зонах вязкого сдвигового и пластического течений, а также в зоне, заполненной материалом «отвердевшей» жидкости соответственно; Tspace – значение температуры в пространстве за стенками канала; Tenter – принимаемая постоянной температура жидкости на входе в канал; us – характерное значение скорости жидкости, принимаемое в качестве масштабного; missing image file – средняя по сечению зоны вязкого сдвигового течения скорость жидкости; missing image file – предполагаемая постоянной скорость жидкости в зоне пластического течения; Ec, Eu, Pr – критерии подобия Эккерта, Эйлера и Прандтля соответственно; G – безразмерный геометрический комплекс; S1, S2 – безразмерные комплексы, составленные из соответствующих критериев подобия; ρ, c, λ – плотность, теплоемкость и теплопроводность рабочей среды соответственно (параметры являются постоянными независимо от рассматриваемой зоны течения); μS – масштабное значение динамической вязкости.

Граничные условия для рассматриваемой задачи имеют вид:

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

Здесь критерий подобия Био определяется следующим образом:

missing image file;

где α – коэффициент теплоотдачи на внешних стенках канала.

Решение системы уравнений (1)–(3) с представленными выше граничными условиями проводилось методом разделения переменных. В итоге, с учетом формирования в области течения трех зон было показано, что распределение температуры в канале может быть представлено следующим образом:

missing image file

где

missing image file; (4)

missing image file; (5)

missing image file; (6)

В формулах (4)–(6) использованы обозначения:

missing image file; missing image file;

missing image file;

missing image file; missing image file;

missing image file;

missing image file; missing image file; missing image file;

missing image file

В последних соотношениях missing image file, missing image file являются корнями следующего характеристического уравнения:

missing image file. (7)

В приведенных выше соотношениях использовались следующие функции:

missing image file

missing image file

missing image file

Решение характеристического уравнения (7) проводили численно.

Ограничиваясь в (4)–(6) конечным числом N членов в представленных рядах, дальнейшее определение констант Cn; missing image file проводили по рассмотренной ранее методике [10], которая сводилась к отысканию минимума следующей функции невязки:

missing image file

Результаты численного моделирования

Математическое моделирование конвективного теплопереноса вязкопластической жидкости, демонстрирующей проявление эффекта «отвердевания», было проведено для следующих значений исходных параметров n = 0,3; missing image file; missing image file; missing image file; missing image file; missing image file; G = 0,1; Nu = 0,204; Ec = 2,222·10–5; Eu = 833,3; Pr = 9,184·106. В процессе исследования проведен анализ влияния параметров модели на выходные характеристики процесса конвективного теплопереноса.

Распределения температуры в различных поперечных сечениях плоского канала при течении вязкопластической жидкости, демонстрирующей проявление эффекта «отвердевания», изображены на рис. 2.

missing image file

Рис. 2. Распределение безразмерной температуры по поперечной координате в различных поперечных сечениях канала для x’ = 0,2 (1); 0,4 (2); 0,6 (3); 0,8 (4); 1,0 (5)

Из приведенных на рис. 2 зависимостей видно, что распределение температуры в поперечном сечении канала демонстрирует немонотонный характер и во второй зоне вязкого сдвигового течения формируется экстремум (максимум) температуры, обусловленный диссипацией механической энергии.

Из представленных на этом рисунке графиков следует, что значение температуры в точке ее экстремума возрастает по мере удаления от входного сечения, достигая своего наибольшего значения в выходном сечении канала.

Выводы

Разработана модель конвективного теплопереноса с учетом диссипации в плоском канале для случая, когда вязкопластическая жидкость демонстрирует проявление эффекта «отвердевания». Результаты моделирования могут быть использованы при проведении расчета характеристик диссипативного разогрева рабочих сред с реологической моделью рассматриваемого типа в каналах технологического оборудования.


Библиографическая ссылка

Колодежнов В.Н., Веретенников А.С. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА ДЛЯ ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ, РЕОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОТОРОЙ УЧИТЫВАЕТ ПРОЯВЛЕНИЕ ЭФФЕКТА «ОТВЕРДЕВАНИЯ» // Современные наукоемкие технологии. – 2021. – № 10. – С. 53-58;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=38854 (дата обращения: 03.07.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074