Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

STABLE ALGORITHM OF MIXED DERIVATIVES CALCULATION FOR NON-PARAMETRIC IDENTIFICATION PROBLEMS IN NONLINEAR SYSTEMS

Voskoboynikov Yu.E. 1, 2 Boeva V.A. 1
1 Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering (Sibstrin)
2 Novosibirsk State Technical University
1028 KB
Over the past two decades, the Volterra series are widely used to describe the dynamics of nonlinear systems in input-output terms. When applying these series, a mathematical model of the system identified includes the Volterra integral equations of higher dimension (two-dimensional, three-dimensional, etc.) in addition to the standard one-dimensional Volterra equation. For stationary systems, the kernels of these equations are difference, i.e. their values depend on difference in the arguments. A non-parametric identification of the models represented by the Volterra series consists in estimates construction for impulse transient functions (ITFs) depending on two or more arguments. It naturally makes identification algorithms much more complicated in comparison with the one-dimensional case. The paper considers one approach to the identification of a two-dimensional ITF, using mixed second-order derivatives of an output signal of a system, when a series of different-amplitude rectangular pulses is applied to the input of a system at different times. It is known that differentiation is an ill-posed problem. In this context, a stable calculation of second-order mixed derivatives of noisy data is the fundamental problem when this method is implemented. The solution to this problem is proposed to find by two-dimensional smoothing cubic, or bicubic, splines (abbreviated SBS). The construction of SBS for two-dimensional ITF identification poses two matters: firstly, the matter of different-type boundary conditions definition on the border of rectangular SBS definition domain, and, secondly, the matter of optimal values estimation for two smoothing parameters due to the different ITFs smoothness for different arguments. The paper proposes an acceptable solution to these two matters. The computational experiment performed presents a high accuracy of the algorithm proposed for calculation of mixed derivatives even when initial data are noise-contaminated.
identification problem for nonlinear systems
Volterra series
smoothing bicubic splines
boundary conditions definition
selection of two smoothing parameters

Два последних десятилетия ведутся интенсивные научные исследования методов идентификации нелинейных динамических систем, представленных различными математическими моделями. Весьма перспективной в этом отношении является интегральная модель «вход-выход», состоящая из нескольких уравнений Вольтера, ядра которых образованы из соответствующих слагаемых ряда Вольтера [1, 2]. Один из подходов к идентификации квадратичного ядра (двумерной импульсной переходной функции (ИПФ)) [3, 4] требует вычисления смешанной производной второго порядка от двумерного выходного сигнал fкв(t, τ) идентифицируемой системы при подаче на ее вход серии прямоугольных импульсов разной амплитуды в разные моменты времени [5]. Следовательно, необходимо по измеренным в дискретные моменты времени (ti, τj) зашумленным значениям missing image file missing image file missing image file вычислить смешанную производную missing image file.

Как известно, задача дифференцирования даже функции одной переменной является некорректно поставленной задачей, когда небольшие ошибки измерения значений функции вызывают существенные ошибки в производной. В работах [6, 7] для устойчивого вычисления первой производной использовались одномерные сглаживающие кубические сплайны (СКС). При соответствующем задании краевых условий и выборе параметра сглаживания (из условия минимума СКО сглаживания) удается с приемлемой точностью построить оценку для ИПФ линейной стационарной системы. Для устойчивого вычисления смешанной производной второго порядка missing image file в данной работе предлагается также использоваться сглаживающий сплайн, но уже бикубический, т.е. являющийся функцией двух переменных, который будем обозначать как СБС (сглаживающий бикубический сплайн). Однако построение такого сплайна существенно сложнее построения одномерного СКС. Во-первых, краевые условия задаются уже не в двух точках, а на четырех прямых, являющихся границами прямоугольной области построения СБС. Во-вторых, из-за разной «гладкости» функции fкв(t, τ) по разным переменным t, τ необходимо выбрать уже два параметра сглаживания αt, ατ (по каждой переменной сплайна) из условия минимума СКО сглаживания. Эти два момента обусловили две основные задачи, которые решаются в данной работе:

- разработка алгоритма, позволяющего строить сглаживающий бикубический сплайн с большим числом комбинаций краевых условий на разных границах области построения сплайна;

- выбор двух параметров сглаживания (по каждой переменной сплайна) из условия минимума СКО сглаживания на основе проверки статистических гипотез об оптимальности того или иного параметра сглаживания.

Материалы и методы исследования

Предположим, что регистрируемый в узлах прямоугольной сетки missing image file missing image file missing image file, зашумленный сигнал missing image file допускает представление:

missing image file

missing image file (1)

где ηi,j – случайный шум измерения с нулевым средним и дисперсией missing image file. Заметим, что узлы как ti, так и τj могут иметь не одинаковый и не равный шаг. Требуется по исходным данным missing image file вычислить смешанные производные сглаживающего сплайна. Простой, но достаточно эффективный алгоритм вычисления частных производных СБС (при заданных параметрах сглаживания αt, ατ) можно получить, обобщая методику построения самого СБС работы [7]. Предлагаемый алгоритм вычисления частных производных СБС можно представить следующими шагами.

Шаг 1. Для каждого фиксированного значения аргумента τj и заданного параметра сглаживания αt строится одномерный СКС missing image file по зашумленным значениям missing image file missing image file (т.е. СКС строится по переменной t). Напомним, что каждый из Nτ построенных CKC на отрезке missing image file представляет собой полином третьей степени вида [8, 9]:

missing image file (2)

и на всем интервале missing image file имеет вторую непрерывную производную. Так как при построении сплайна находятся коэффициенты сплайна missing image file, то вычисление частной производной от сплайна missing image file по переменной t можно осуществить по формуле

missing image file (3)

Очевидно, что при t = ti, из формулы (3) получаем

missing image file.

Шаг 2. Для каждого фиксированного значения аргумента ti при заданном параметре сглаживания ατ строится одномерный СКС missing image file по значениям частной производной missing image file (т.е. СКС строится по переменной τ). Каждый из Nt построенных CKC на отрезке missing image file представляет собой полином третьей степени вида

missing image file (4)

и на всем интервале missing image file имеет вторую непрерывную производную. Для вычисления смешанной производной второго порядка выполним дифференцирование (4) по переменной τ. Получаем

missing image file. (5)

Таким образом, построен алгоритм вычисления смешанной производной с высокой вычислительной эффективностью – число вычислительных операций можно выразить формулой: C∙Nt∙Nτ, где C – константа, не зависящая от Nt, Nτ (для одномерного СКС значение C не превышает 60 [8]).

Напомним, что для однозначного вычисления коэффициентов одномерного СКС missing image file необходимо задать так называемые краевые условия на левой и правой границе отрезка (для определенности обозначим эти границы как t1 и tN), на котором строится СКС [8, 9]. Так как многие алгоритмы непараметрической идентификации используют значения производных от построенных сплайнов, то целесообразно в качестве краевых условий принимать значения первых производных, т.е. условия

missing image file. (6)

Алгоритм построения СКС с такими условиями был изложен в работе [7]. К сожалению, в ряде случаев информация о точных значениях missing image file первой производной отсутствует, и в этом случае обращаются к естественным краевым условиям вида [6]:

missing image file, (7)

которые могут значительно увеличить ошибку идентификации по сравнению с условиями (6) [7]. Задание краевых условий при построении двумерного сплайна существенно усложняется из-за необходимости задавать сочетания разных типов краевых условий не в двух точках, а на четырех прямых, являющихся границами прямоугольной области, в которой строится СБС. Поэтому в разработанном пакете прикладных программ (используемого при решении практических задач идентификации) предусмотрена возможность задавать любые комбинации из краевых условий (6), (7) на этих четырех границах. Пример такого задания будет приведен ниже в описании выполненного вычислительного эксперимента.

Ранее при изложении алгоритма вычисления смешанной производной предполагалось, что параметры сглаживания αt, ατ определены. Необходимость введения двух параметров сглаживания была обусловлена разной степенью «гладкости» дифференцируемой функции по переменным t, τ, и эта разница может быть весьма значительной. Как же определить приемлемые значения (исходя из минимума ошибки дифференцирования) этих параметров? Очевидно, что нахождение значений этих параметров является более сложной задачей, чем выбор параметра сглаживания в одномерном СКС, где находится только один параметр. Для выбора двух параметров αt, ατ предлагается следующий подход, основанный на проверке статистических гипотез об оптимальности параметра сглаживания [10], который использовался в работах [6, 7] для выбора одного параметра сглаживания.

Первоначально рассмотрим выбор параметра αt. Введём статистику

missing image file, (8)

где missing image file – невязка i, j-ого измерения, missing image file – СКС с параметром сглаживания αt, построенный по переменной t при фиксированном значении missing image file. В качестве параметра сглаживания αt принимается значение missing image file, для которого выполняется неравенство

missing image file (9)

где величины missing image file – квантили χ2-распределения с missing image file степенями свободы уровней missing image file соответственно. Величина β определяет вероятность ошибки первого рода при проверке гипотезы об оптимальности (величина среднеквадратической ошибки сглаживания) оценки missing image file и, как правило, β = 0.05. Если N > 30, то для вычисления квантилей χ2-распределения при β = 0.05 можно использовать простые формулы

missing image file (10)

Вычисление missing image file сводится к решению нелинейного уравнения

missing image file (11)

итерационными алгоритмами. В качестве missing image file принимается очередное приближённо решение missing image file уравнения (11), которое удовлетворяет неравенству (9).

Для выбора параметра ατ введём статистику

missing image file, (12)

где missing image file – невязка i, j-ого измерения, missing image file – СКС с параметром сглаживания ατ, построенный по переменной τ при фиксированном значении missing image file. В качестве параметра сглаживания ατ принимается значение missing image file, для которого выполняется неравенство

missing image file. (13)

Эффективность предложенного подхода к выбору двух параметров сглаживания СБС будет показана ниже на результатах выполненного вычислительного эксперимента.

Результаты исследования и их обсуждение

В качестве «точной» смешанной производной missing image file была принята функция двух аргументов, показанная на рис. 1, а. Проинтегрировав missing image file по переменным t, τ, получаем «точную» функцию fкв(t, τ), показанную на рис. 1, б. Для перехода к временным осям оцифровку осей τ1, t нужно умножить на шаг по времени 0,04, а оцифровку осей τ2, τ – на шаг 0,15 с.

missing image file missing image file

а) б)

Рис. 1. Точные функции missing image file и fкв(t, τ)

Зашумленные значения missing image file генерировались в соответствии с (1) и искажались нормально распределённым шумом с относительным уровнем 0,04, при этом missing image file. При построении СБС в точках missing image file задавались краевые условия missing image file, на остальных трех границах области построения сплайна missing image file, missing image file, missing image file задавались вторые нулевые производные (из-за предполагаемого отсутствия априорной информации о значениях первой производной).

missing image file

а) б)

Рис. 2. Выбор параметров сглаживания missing image file, missing image file

На рис. 2, а, приведены зависимости от параметра сглаживания αt: относительной ошибки сглаживания (сплошная кривая)

missing image file; (14)

статистика missing image file на рисунке показана точечной кривой; штрихами нанесены квантили missing image file. Последние три величины для приемлемого масштаба отображения на рисунке поделены на величину missing image file. На рис. 2, б, нанесены аналогичные характеристики missing image file, missing image file параметра сглаживания ατ сплайна missing image file, который строится по переменной τ при фиксированных значениях ti. Как следует из (9), (13), в качестве параметров missing image file, missing image file принимаются значения, для которых значения статистик missing image file missing image file находятся между штриховыми прямыми (квантили (10)). Анализ этих графиков позволяет сделать вывод, что предложенный подход к выбору двух параметров сглаживания позволяет: а) вычислить значения missing image file, missing image file из области минимума соответствующих относительных ошибок сглаживания (рис. 2); б) определить разные missing image file, missing image file в зависимости от «гладкости» функции fкв(t, τ) по переменным t, τ. Принятая в эксперименте функция fкв(t, τ) по переменной τ более гладкая, и поэтому значение missing image file примерно на два порядка больше missing image file и это уменьшает ошибку дифференцирования по этой переменной. Относительная ошибка вычисленной missing image file составила 0,127. Для сравнения была определена наименьшая относительная ошибка вычисления смешанной производной равная 0,109 (в вычислительном эксперименте это можно осуществить), что позволяет сделать вывод о приемлемой для практики точности вычисления смешанной производной второго порядка по зашумленным данным. Для относительного уровня шума 0,10 эти ошибки составили 0,205 и 0,188 соответственно. Это позволяет делать вывод о хорошей устойчивости алгоритма к шумам измерения исходных данных.

Заключение

Предложенный подход позволяет с приемлемой точностью вычислить смешанную производную второго порядка, дает возможность задавать разные типы краевых условий (исходя из имеющейся априорной информации), а также учитывать (за счет выбора двух параметров сглаживания) разную гладкость дифференцируемой функции по отдельным переменным. Алгоритм дифференцирования на основе сглаживающего бикубического сплайна может работать с различными шагами дискретизации, как по каждой переменной, так и с разным шагом дискретизации «внутри» каждой переменной, что особенно ценно при обработке реальных экспериментальных данных.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-38-90041.