Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

УСТОЙЧИВЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В ЗАДАЧАХ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Воскобойников Ю.Е. 1, 2 Боева В.А. 1
1 ФГБОУ ВО «Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)»
2 ФГБОУ ВО «Новосибирский государственный технический университет»
В последние два десятилетия для описания динамики нелинейных систем в терминах «вход-выход» используются так называемые ряды Вольтера. При применении этих рядов математическая модель идентифицируемой системы кроме стандартного одномерного уравнения Вольтера включает интегральные уравнения Вольтера большей размерности (двумерное, трехмерное и т.д.). Для стационарных систем ядра этих уравнений являются разностными, т.е. их значения зависят от разности аргументов. Непараметрическая идентификация моделей, использующих ряды Вольтера, заключается в построении оценок для импульсных переходных функций (ИПФ), зависящих от двух и более аргументов, что, естественно, делает алгоритмы идентификации существенно сложнее по сравнению с одномерным случаем. В работе рассматривается один подход к идентификации двумерной ИПФ, использующий смешанные производные второго порядка от выходного сигнала системы, когда на ее вход подается серия прямоугольных импульсов разной амплитуды в разные моменты времени. Как известно, задача дифференцирования является некорректно поставленной задачей. Поэтому принципиальной проблемой реализации этого подхода является устойчивое вычисление смешанных производных второго порядка по зашумленным данным. Для преодоления этой проблемы в работе предлагается использовать двумерный сглаживающий кубический (бикубический) сплайн (сокращено СБС). Построение СБС для идентификации двумерной ИПФ обуславливает две задачи: задание и реализация разнотипных краевых условий на границе прямоугольной области, в которой определяется СБС; оценивание оптимальных значений двух параметров сглаживания из-за разной «гладкости» ИПФ по разным двум аргументам. В работе предлагается приемлемое решение этих двух задач. Выполненный вычислительный эксперимент показал хорошую точность предлагаемого алгоритма вычисления смешанных производных при искажении исходных данных шумами различного уровня.
задача идентификации нелинейных систем
ряды Вольтера
сглаживающие бикубические сплайны
задание краевых условий
выбор двух параметров сглаживания
1. Сидоров Д.Н. Методы анализа интегральных динамических моделей: теория и приложения. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2013. 293 с.
2. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтера I рода: теория и численные методы. Новосибирск: Наука, 1999. 193 с.
3. Солодуша С.В. Численное моделирование динамики теплообмена модифицированным квадратичным полиномом Вольтерры // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18. № 2. С. 84–94.
4. Солодуша С.В. К численному решению одного класса систем полиномиальных уравнений Вольтера I рода // Сибирский журнал вычислительной математики. 2018. № 1. С. 117–126.
5. Солодуша С.В. Амплитуды тестовых сигналов для построения интегральных моделей динамики объектов тепло- и электроэнергетики // Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (CAD/CAM/PDM-2017): материалы XVII-й Междунар. научно-практической конференции. М.: ООО «Аналитик», 2017. С. 322–326.
6. Воскобойников Ю.Е., Боева В.А. Новый устойчивый алгоритм непараметрической идентификации технических систем // Современные наукоемкие технологии. 2019. № 5. С. 25–29.
7. Воскобойников Ю.Е., Боева В.А. Дескриптивное сглаживание сигнала в одном алгоритме непараметрической идентификации технических систем // Современные наукоемкие технологии. 2020. № 7. С. 24–28.
8. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 345 с.
9. Wang Y. Smoothing Splines Methods and Applications. Ser. Monographs on Statistics and Applied Probability v. 121. A Chapman & Hall book. 2011. 347 p.
10. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. Новосибирск: Наука, 1984. 238 с.

Два последних десятилетия ведутся интенсивные научные исследования методов идентификации нелинейных динамических систем, представленных различными математическими моделями. Весьма перспективной в этом отношении является интегральная модель «вход-выход», состоящая из нескольких уравнений Вольтера, ядра которых образованы из соответствующих слагаемых ряда Вольтера [1, 2]. Один из подходов к идентификации квадратичного ядра (двумерной импульсной переходной функции (ИПФ)) [3, 4] требует вычисления смешанной производной второго порядка от двумерного выходного сигнал fкв(t, τ) идентифицируемой системы при подаче на ее вход серии прямоугольных импульсов разной амплитуды в разные моменты времени [5]. Следовательно, необходимо по измеренным в дискретные моменты времени (ti, τj) зашумленным значениям missing image file missing image file missing image file вычислить смешанную производную missing image file.

Как известно, задача дифференцирования даже функции одной переменной является некорректно поставленной задачей, когда небольшие ошибки измерения значений функции вызывают существенные ошибки в производной. В работах [6, 7] для устойчивого вычисления первой производной использовались одномерные сглаживающие кубические сплайны (СКС). При соответствующем задании краевых условий и выборе параметра сглаживания (из условия минимума СКО сглаживания) удается с приемлемой точностью построить оценку для ИПФ линейной стационарной системы. Для устойчивого вычисления смешанной производной второго порядка missing image file в данной работе предлагается также использоваться сглаживающий сплайн, но уже бикубический, т.е. являющийся функцией двух переменных, который будем обозначать как СБС (сглаживающий бикубический сплайн). Однако построение такого сплайна существенно сложнее построения одномерного СКС. Во-первых, краевые условия задаются уже не в двух точках, а на четырех прямых, являющихся границами прямоугольной области построения СБС. Во-вторых, из-за разной «гладкости» функции fкв(t, τ) по разным переменным t, τ необходимо выбрать уже два параметра сглаживания αt, ατ (по каждой переменной сплайна) из условия минимума СКО сглаживания. Эти два момента обусловили две основные задачи, которые решаются в данной работе:

- разработка алгоритма, позволяющего строить сглаживающий бикубический сплайн с большим числом комбинаций краевых условий на разных границах области построения сплайна;

- выбор двух параметров сглаживания (по каждой переменной сплайна) из условия минимума СКО сглаживания на основе проверки статистических гипотез об оптимальности того или иного параметра сглаживания.

Материалы и методы исследования

Предположим, что регистрируемый в узлах прямоугольной сетки missing image file missing image file missing image file, зашумленный сигнал missing image file допускает представление:

missing image file

missing image file (1)

где ηi,j – случайный шум измерения с нулевым средним и дисперсией missing image file. Заметим, что узлы как ti, так и τj могут иметь не одинаковый и не равный шаг. Требуется по исходным данным missing image file вычислить смешанные производные сглаживающего сплайна. Простой, но достаточно эффективный алгоритм вычисления частных производных СБС (при заданных параметрах сглаживания αt, ατ) можно получить, обобщая методику построения самого СБС работы [7]. Предлагаемый алгоритм вычисления частных производных СБС можно представить следующими шагами.

Шаг 1. Для каждого фиксированного значения аргумента τj и заданного параметра сглаживания αt строится одномерный СКС missing image file по зашумленным значениям missing image file missing image file (т.е. СКС строится по переменной t). Напомним, что каждый из Nτ построенных CKC на отрезке missing image file представляет собой полином третьей степени вида [8, 9]:

missing image file (2)

и на всем интервале missing image file имеет вторую непрерывную производную. Так как при построении сплайна находятся коэффициенты сплайна missing image file, то вычисление частной производной от сплайна missing image file по переменной t можно осуществить по формуле

missing image file (3)

Очевидно, что при t = ti, из формулы (3) получаем

missing image file.

Шаг 2. Для каждого фиксированного значения аргумента ti при заданном параметре сглаживания ατ строится одномерный СКС missing image file по значениям частной производной missing image file (т.е. СКС строится по переменной τ). Каждый из Nt построенных CKC на отрезке missing image file представляет собой полином третьей степени вида

missing image file (4)

и на всем интервале missing image file имеет вторую непрерывную производную. Для вычисления смешанной производной второго порядка выполним дифференцирование (4) по переменной τ. Получаем

missing image file. (5)

Таким образом, построен алгоритм вычисления смешанной производной с высокой вычислительной эффективностью – число вычислительных операций можно выразить формулой: C∙Nt∙Nτ, где C – константа, не зависящая от Nt, Nτ (для одномерного СКС значение C не превышает 60 [8]).

Напомним, что для однозначного вычисления коэффициентов одномерного СКС missing image file необходимо задать так называемые краевые условия на левой и правой границе отрезка (для определенности обозначим эти границы как t1 и tN), на котором строится СКС [8, 9]. Так как многие алгоритмы непараметрической идентификации используют значения производных от построенных сплайнов, то целесообразно в качестве краевых условий принимать значения первых производных, т.е. условия

missing image file. (6)

Алгоритм построения СКС с такими условиями был изложен в работе [7]. К сожалению, в ряде случаев информация о точных значениях missing image file первой производной отсутствует, и в этом случае обращаются к естественным краевым условиям вида [6]:

missing image file, (7)

которые могут значительно увеличить ошибку идентификации по сравнению с условиями (6) [7]. Задание краевых условий при построении двумерного сплайна существенно усложняется из-за необходимости задавать сочетания разных типов краевых условий не в двух точках, а на четырех прямых, являющихся границами прямоугольной области, в которой строится СБС. Поэтому в разработанном пакете прикладных программ (используемого при решении практических задач идентификации) предусмотрена возможность задавать любые комбинации из краевых условий (6), (7) на этих четырех границах. Пример такого задания будет приведен ниже в описании выполненного вычислительного эксперимента.

Ранее при изложении алгоритма вычисления смешанной производной предполагалось, что параметры сглаживания αt, ατ определены. Необходимость введения двух параметров сглаживания была обусловлена разной степенью «гладкости» дифференцируемой функции по переменным t, τ, и эта разница может быть весьма значительной. Как же определить приемлемые значения (исходя из минимума ошибки дифференцирования) этих параметров? Очевидно, что нахождение значений этих параметров является более сложной задачей, чем выбор параметра сглаживания в одномерном СКС, где находится только один параметр. Для выбора двух параметров αt, ατ предлагается следующий подход, основанный на проверке статистических гипотез об оптимальности параметра сглаживания [10], который использовался в работах [6, 7] для выбора одного параметра сглаживания.

Первоначально рассмотрим выбор параметра αt. Введём статистику

missing image file, (8)

где missing image file – невязка i, j-ого измерения, missing image file – СКС с параметром сглаживания αt, построенный по переменной t при фиксированном значении missing image file. В качестве параметра сглаживания αt принимается значение missing image file, для которого выполняется неравенство

missing image file (9)

где величины missing image file – квантили χ2-распределения с missing image file степенями свободы уровней missing image file соответственно. Величина β определяет вероятность ошибки первого рода при проверке гипотезы об оптимальности (величина среднеквадратической ошибки сглаживания) оценки missing image file и, как правило, β = 0.05. Если N > 30, то для вычисления квантилей χ2-распределения при β = 0.05 можно использовать простые формулы

missing image file (10)

Вычисление missing image file сводится к решению нелинейного уравнения

missing image file (11)

итерационными алгоритмами. В качестве missing image file принимается очередное приближённо решение missing image file уравнения (11), которое удовлетворяет неравенству (9).

Для выбора параметра ατ введём статистику

missing image file, (12)

где missing image file – невязка i, j-ого измерения, missing image file – СКС с параметром сглаживания ατ, построенный по переменной τ при фиксированном значении missing image file. В качестве параметра сглаживания ατ принимается значение missing image file, для которого выполняется неравенство

missing image file. (13)

Эффективность предложенного подхода к выбору двух параметров сглаживания СБС будет показана ниже на результатах выполненного вычислительного эксперимента.

Результаты исследования и их обсуждение

В качестве «точной» смешанной производной missing image file была принята функция двух аргументов, показанная на рис. 1, а. Проинтегрировав missing image file по переменным t, τ, получаем «точную» функцию fкв(t, τ), показанную на рис. 1, б. Для перехода к временным осям оцифровку осей τ1, t нужно умножить на шаг по времени 0,04, а оцифровку осей τ2, τ – на шаг 0,15 с.

missing image file missing image file

а) б)

Рис. 1. Точные функции missing image file и fкв(t, τ)

Зашумленные значения missing image file генерировались в соответствии с (1) и искажались нормально распределённым шумом с относительным уровнем 0,04, при этом missing image file. При построении СБС в точках missing image file задавались краевые условия missing image file, на остальных трех границах области построения сплайна missing image file, missing image file, missing image file задавались вторые нулевые производные (из-за предполагаемого отсутствия априорной информации о значениях первой производной).

missing image file

а) б)

Рис. 2. Выбор параметров сглаживания missing image file, missing image file

На рис. 2, а, приведены зависимости от параметра сглаживания αt: относительной ошибки сглаживания (сплошная кривая)

missing image file; (14)

статистика missing image file на рисунке показана точечной кривой; штрихами нанесены квантили missing image file. Последние три величины для приемлемого масштаба отображения на рисунке поделены на величину missing image file. На рис. 2, б, нанесены аналогичные характеристики missing image file, missing image file параметра сглаживания ατ сплайна missing image file, который строится по переменной τ при фиксированных значениях ti. Как следует из (9), (13), в качестве параметров missing image file, missing image file принимаются значения, для которых значения статистик missing image file missing image file находятся между штриховыми прямыми (квантили (10)). Анализ этих графиков позволяет сделать вывод, что предложенный подход к выбору двух параметров сглаживания позволяет: а) вычислить значения missing image file, missing image file из области минимума соответствующих относительных ошибок сглаживания (рис. 2); б) определить разные missing image file, missing image file в зависимости от «гладкости» функции fкв(t, τ) по переменным t, τ. Принятая в эксперименте функция fкв(t, τ) по переменной τ более гладкая, и поэтому значение missing image file примерно на два порядка больше missing image file и это уменьшает ошибку дифференцирования по этой переменной. Относительная ошибка вычисленной missing image file составила 0,127. Для сравнения была определена наименьшая относительная ошибка вычисления смешанной производной равная 0,109 (в вычислительном эксперименте это можно осуществить), что позволяет сделать вывод о приемлемой для практики точности вычисления смешанной производной второго порядка по зашумленным данным. Для относительного уровня шума 0,10 эти ошибки составили 0,205 и 0,188 соответственно. Это позволяет делать вывод о хорошей устойчивости алгоритма к шумам измерения исходных данных.

Заключение

Предложенный подход позволяет с приемлемой точностью вычислить смешанную производную второго порядка, дает возможность задавать разные типы краевых условий (исходя из имеющейся априорной информации), а также учитывать (за счет выбора двух параметров сглаживания) разную гладкость дифференцируемой функции по отдельным переменным. Алгоритм дифференцирования на основе сглаживающего бикубического сплайна может работать с различными шагами дискретизации, как по каждой переменной, так и с разным шагом дискретизации «внутри» каждой переменной, что особенно ценно при обработке реальных экспериментальных данных.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-38-90041.


Библиографическая ссылка

Воскобойников Ю.Е., Боева В.А. УСТОЙЧИВЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В ЗАДАЧАХ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ // Современные наукоемкие технологии. – 2021. – № 4. – С. 25-29;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=38610 (дата обращения: 18.05.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074