Освоение месторождений в районах прибрежной зоны Северного Ледовитого океана невозможно без использования низкоорбитальных систем спутниковой связи (НССС). Так как высота орбиты не превышает 1500 км, то для организации бесперебойной связи необходима группировка, в состав которой входит не менее 60 спутников [1, 2]. По мере увеличения числа НССС, используемых компаниями при освоении недр Крайнего Севера, возрастает вероятность навязывания перехваченной и задержанной команды, предназначенной для управления необслуживаемым объектом добычи углеводородов. В результате этого может возникнуть экологическая катастрофа.
Для предотвращения навязывания ретрансляционной помехи и повышения помехозащищенности НССС в работах [3, 4] предлагается развертывать на борту спутников систему опознавания «свой – чужой». При этом для уменьшения времени, необходимого на вычисление статуса спутника, в работах [5, 6] был разработан протокол аутентификации, который был выполнен с использованием полиномиальных модулярных кодов (ПМК). Известно, что введение дополнительных оснований в ПМК позволяет проводить процедуры поиска и исправления ошибок, возникающих в процессе вычислений. Таким образом, использование ПМК позволит повысить отказоустойчивость системы опознавания, что является одной из наиболее важных задач. Однако применение известных алгоритмов обнаружения и коррекции ошибок в полиномиальных модулярных кодах может привести к снижению криптостойкости системы опознавания, так как контрольные остатки предоставляют дополнительную информацию о числе, представленном в ПМК. Поэтому разработка алгоритма поиска и коррекции ошибок в ПМК, в котором проверочные остатки представляли бы собой результат свертки, полученной с использованием информационных остатков, является актуальной задачей.
В основу работы системы опознавания спутника положен протокол аутентификации типа «запрос – ответ», обладающий нулевым разглашением сведений. В данном протоколе претендент с помощью ответа на поставленный вопрос должен доказать проверяющей стороне, что он относится к авторизованным абонентам. При этом его ответ должен зависеть как вопроса, так и от секретных сведений, которые известны только ему. Очевидно, что ошибки, которые могут возникнуть из-за отказа оборудования ответчика, расположенного на борту спутника, приведут к искажению ответа. В результате этого проверяющая сторона воспримет спутник как «чужой» и не предоставит ему сеанс связи. Поэтому целью работы является обеспечение возможности коррекции ошибочного ответа на «вопрос» запросчика на основе разработанного алгоритма поиска и коррекции ошибок в ПМК.
Материалы и методы исследования
Полиномиальные модулярные коды относятся к группе непозиционных кодов [7, 8]. В таких кодах полином Z(х), полученный из двоичного числа Z, заменяется кортежем остатков
, (1)
где 
, 
.
Из равенства (1) видно, что остатки получаются при делении многочлена Z(х) на основания, в качестве которых выбраны неприводимые многочлены pi(x), которые определяют рабочий диапазон ПМК
. (2)
Использование ПМК позволяет эффективно выполнять модульные операции вида
, (3)
, (4)
где 
; 
.
В работе [6] представлен протокол аутентификации с нулевым разглашением, который реализуется на основе ПМК. На его предварительном этапе определяются порождающий элемент g = x, значения секретного ключа спутника K, сеансового ключа для j-го сеанса S(j), дополнительного параметра проверки Т(j), из условия
, (5)
где 
– степень многочлена Р(х), определяемого равенством (2).
Учитывая разрядность оснований МПК, выбираются блоки 
, 
, 
, где 
. Это позволяет получить следующие результаты
, 
, 
, (6)
На первом этапе протокола ответчиком производится вычисление истинного статуса
. (7)
На втором этапе ответчиком производится определение «зашумленных» параметров. На основе сгенерированных чисел 
, где 
, получаются
, 
, 
. (8)
На третьем этапе ответчик получает значение «зашумленного» статуса борта
. (9)
На четвертом этапе запросчик генерирует случайное число-вопрос 
где 
, 
, 
, которое передается на борт спутника.
На пятом этапе ответчик, используя выражения (3) и (4), вычисляет ответы на вопрос
, 
, 
. (10)
Тогда ответный сигнал спутника имеет вид
.
На шестом этапе процесса аутентификации запросчик проверяет ответы
. (11)
Космический аппарат получит статус «свой», при выполнении выражения
.
Очевидно, что аутентификация спутника в первую очередь зависит от правильности ответов на вопросы запросчика, которые вычисляются на борту спутника. В рассмотренном протоколе ответы 
вычисляются по одному модулю 
. Значит, классические алгоритмы поиска и коррекции ошибок в модулярных кодах применять нельзя. Устранить данный недостаток позволяет разработанный алгоритм взвешенной свертки кода, в котором для коррекции ошибки в одном остатке вычисляются два контрольных остатка
(12)
где 
, – ответ на j-й вопрос.
Результаты исследования и их обсуждение
Пусть в ПМК выбраны модули 
, 
, 
. Тогда диапазон 
. Из условия (5) выбираем секретный ключ K = 31063, параметры S = 12002, T = 24001. Воспользуемся выражением (6) и представим их в двоичном коде, который разобьем на блоки по 5 бит.
K = 31063 = 1111001010101112 = 11110 01010 10111 = 3010 || 1010 ||2310 = K1 || K2 || K3.
S = 12002 = 010 1110 1110 00102 = 01011 10111 00010 = 1110 || 2310 ||210 = S1 || S2 || S3.
T = 24001 = 101 1101 1100 00012 = 10111 01110 00001 = 2310 || 1410 ||110 = T1 || T2 || T3.
1. Определение истинного статуса космического аппарата согласно (7)
,
,
.
2. Для определения «зашумленных» параметров воспользуемся равенствами (8). Тогда при выбранных 
получаем
,
,
.
3. Определение «зашумленного» статуса космического аппарата согласно (9)
,
,
.
4. Запросчик передает число-вопрос 
.
5. Ответчик определяет ответы на поставленный вопрос, используя выражения (10). Тогда для первого модуля имеем
, 
, 
.
Для второго основания ответы на вопрос будут определяться как
, 
, 
.
Для третьего основания ответы на вопрос будут определяться как
, 
, 
.
Ответчик осуществляет передачу двух статусов и ответов представленных ПМК.
6. Запросчик, используя выражение (11), определяет статус спутника
,
, 
.
Так как 
, то спутник получает статус «свой».
Рассмотрим реализацию алгоритма коррекции ошибок, определяемого равенствами (12). Для этого вычислим два контрольных остатка вопроса dj = (7, 4, 22). Получаем
Вычислим два контрольных остатка для секретного ключа Kj = (30, 10, 23). Получаем
Вычислим два контрольных остатка для параметра Sj = (11, 23, 2). Получаем
Вычислим два контрольных остатка для Tj = (23, 14, 1). Получаем
Аналогичным образом получаем
Тогда получаем значения ответов на вопрос d j = (7, 4, 22, 2,10).
, 
.
Вычислим контрольные остатки по значениям информационных вычетов. Тогда
В этом случае получаем синдром ошибки
, 
, 
, 
Так как синдром ошибки равен нулю, то это означает, что ответы не содержат ошибку. Пусть ошибка глубиной 
произошла при считывании зашумленного образа ключа. Значит, ошибочный остаток равен 
. Тогда
Вычислим контрольные остатки по значениям информационных вычетов. Тогда
Тогда синдром ошибки для первого ответа равен
, 
Так как синдромы ошибки совпали, то это свидетельствует о том, что ошибка произошла в первом остатке, а ее вектор 
. Тогда получаем
Ошибка исправлена.
Представленный в статье алгоритм позволяет корректировать ошибки в коде, состоящем из остатков по одному модулю. При этом для реализации приведенного примера кроме шести LUT-таблиц, реализующих вычисление ответа, потребуется дополнительно ввести 4 LUT-таблицы для вычисления двух контрольных остатков, две LUT-таблицы для вычисления синдрома ошибки и одну LUT-таблицу для хранения вектора ошибки. При использовании метода троированного резервирования потребуется 18 LUT-таблиц, реализующих вычисление ответа. Таким образом, разработанный алгоритм требует в 1,38 раза меньше схемных затрата, чем при использовании метода коррекции ошибок «2 из 3».
Выводы
В статье рассмотрен метод построения системы опознавания космического аппарата для низкоорбитальной группировки спутников, использующий полиномиальные модулярные коды. Показана актуальность коррекции искаженных ответов на вопросы запросчика, которые могут возникнуть из-за отказа оборудования ответчика, расположенного на борту. Для решения данной задачи был разработан алгоритм коррекции ошибок на основе свертки информационных остатков. Представленный пример показал эффективность разработанного алгоритма для кода, в котором все остатки получены по одному модулю, по обнаружению и коррекции однократной ошибки. При этом разработанный алгоритм при использовании трех информационных оснований ПМК требует в 1,38 раза меньше схемных затрат чем метод коррекции ошибок «2 из 3».