Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

SYNTHESIS OF STABILIZING CONTROL IN THE GENERATION OF MULTI-BODY SYSTEMS PROGRAM MOTIONS

Polyanina A.S. 1
1 National Research Moscow State Construction University
One of the stages of multi-body systems control is controlling the motion of its individual links. The description of the dynamic model of such systems includes control functions that provide programmed motion of elements along given curves of various forms. In the problem of synthesis of walking robot controlled motion the motion of foot points along trajectories whose geometry contains straight sections is carried out. There are various approaches to determining the program motion along trajectories of this type. These include interpolation by trigonometric functions and the use of differential equations with fractional derivatives. Using the methods of the theory of Lyapunov functions we obtain relations on the parameters of the stabilizing control of program trajectories generator. A self-oscillating system is constructed and in its phase space the formation of stable limit cycles with motion sections close to rectilinear is observed. The numerical modeling of stabilization processes of trajectories in the space of each subsystem with different initial conditions is carried out. According to the synthesis relations for a sufficiently wide range of changes in the values of the control parameters, there are areas of stable system behavior in the vicinity of the regime. The self-oscillating systems obtained in this work can be used to generate vertical motion of the walking robot feet.
multi-body system
invariance
stability
limit cycle
control
walking robot

Появление многотельных систем (MBS) [1] сложной конструкции обуславливает разработку и модификацию методов управления их пространственным движением. Важной задачей является обеспечение асимптотической устойчивости програм- мных траекторий управляемого объекта.

В общем виде динамика MBS модели описывается уравнениями

poljn01.wmf

где poljn02.wmf – вектор обобщенных координат объекта управления (МBС модель), poljn03.wmf – вектор обобщенных координат генератора движения, первое уравнение системы описывает МBС модель, второе – генератор траекторий движения, третье – связи внутри МBС модели, четвертое – связи между генератором и МBС моделью.

Такие системы управления находят свое применение в решении задачи синтеза управляемого движения шагающими роботами. Их программное движение включает в себя траекторию движения точек корпуса и траекторию движения концевых точек шагающих движителей [2]. Кинематические характеристики перемещения, нахождение усилий в приводах под действием внешних нагрузок, инерционных сил определяют параметры управляющих воздействий для получения заданного движения пространственной многотельной системы.

В данной работе рассматриваются генераторы движения с решением в форме асимптотически устойчивых предельных циклов (рис. 1). Предложенный в работе подход опирается на теоремы В.И. Зубова о стабилизации систем в окрестности заданных многообразий и требует получения непрерывных гладких функций управления посредством метода функций Ляпунова.

poL1.tif

Рис. 1. Устойчивый предельный цикл

Для описания генераторов движения используются близкие к программной траектории аналитические функции, улучшающие качество управляемого движения звеньев объекта управления [3]. Особый интерес представляет исследование численного решения многотельных систем с такими генераторами при различных типах связей между МBС моделью и генератором движения [4].

Результаты проведенных исследований можно использовать при разработке антропоморфных роботов [2], при проектировании детектирующих устройств переходных процессов движения по траекториям.

Структура управления генератора предельных циклов

Рассмотрим задачу стабилизации двух нелинейно-связанных подсистем:

poljn04.wmf (1)

где poljn05.wmf, poljn06.wmf, poljn07.wmf, poljn08.wmf, poljn09.wmf, poljn10.wmf, poljn11.wmf при poljn12.wmf, poljn13.wmf

Требуется построить внутрисистемные управления poljn14.wmf, обеспечивающие существование ω – предельных множеств в подпространстве состояний poljn15.wmf, i = 1, 2, каждой из подсистем системы управления [5].

Вывод соотношений на параметры стабилизирующего управления

Будем искать управляющие функции poljn16.wmf в следующем виде:

poljn17.wmf

где i = 1, 2.

Рассмотрим две кривые poljn18.wmf, poljn19.wmf, где ϑ – гомеоморфизм poljn20.wmf, i = 1, 2.

Определим параметры внутрисистемных управлений poljn21.wmf, используя условие инвариантности данных кривых. Введем

poljn22.wmf – область в poljn23.wmf, тогда граница области в фазовом пространстве i-й подсистемы будет poljn24.wmf, где i = 1, 2.

Получим достаточные условия инвариантности кривых poljn25.wmf и poljn26.wmf из уравнений

poljn27.wmf (2)

poljn28.wmf (3)

где poljn29.wmf = poljn30.wmf, poljn31.wmf = poljn32.wmf,

poljn33.wmf – оператор векторного поля системы (1), где

poljn34.wmfpoljn35.wmf

poljn36.wmf

poljn37.wmfpoljn38.wmf

poljn39.wmf,

poljn40.wmf – вектор состояния системы (1).

Расчет параметров управления, обеспечивающих инвариантность кривой poljn41.wmf

Подставим функцию poljn42.wmf в уравнение инвариантности (2):

poljn43.wmf

Преобразуем полученные выражения, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые при степенях poljn44.wmf, poljn45.wmf, poljn46.wmf, poljn47.wmf poljn48.wmf poljn49.wmf poljn50.wmf где r = m, k, l:

poljn51.wmf

poljn52.wmf

poljn53.wmf

poljn54.wmf

poljn55.wmf

где poljn56.wmf, poljn57.wmf, poljn58.wmf, poljn59.wmf, poljn60.wmf, poljn61.wmf, poljn62.wmf. Оператор векторного поля системы равен нулю на кривой, определяемой уравнением

poljn63.wmf (4)

при условии poljn64.wmf, poljn65.wmf, poljn66.wmf, poljn67.wmf, poljn68.wmf, poljn69.wmf, poljn70.wmf, P1 = 1. Здесь poljn72.wmf, poljn73.wmf. Условие P1 = 1 выполняется при poljn74.wmf. Кривая (4) является poljn75.wmf.

Для обеспечения инвариантности только одной линии уровня poljn76.wmf = poljn77.wmf функции F1 полная производная системы обратится в ноль на кривой poljn78.wmf при выполнении следующих условий

poljn79.wmf, poljn80.wmf, poljn81.wmf,

poljn82.wmf, poljn83.wmf, poljn84.wmf,

где poljn85.wmf, poljn86.wmf, poljn87.wmf.

Повторив подобный расчет, установим, что существование подсистемы с инвариантной кривой poljn88.wmf приводит к инвариантности кривой poljn89.wmf у второй подсистемы при выполнении определенных условий на параметры управляющих функций.

Таким образом, коэффициенты внутрисистемных управлений poljn90.wmf будут определяться по формулам

poljn91.wmf

где i, j = 1, 2, j = i.

Кривые poljn92.wmf и poljn93.wmf являются ω – предельными множествами в подпространствах poljn94.wmf и poljn95.wmf соответственно.

Численное моделирование

Построенная в работе модель генератора движения относится к системам автоколебательного типа. В подпространстве каждой подсистемы наблюдается процесс стабилизации траекторий в окрестности инвариантного асимптотически устойчивого многообразия [6]. Выполнено численное моделирование такой системы в условиях параметрического изменения управляющего воздействия. Качественное исследование ее решения подтвердило действенность приведенной в работе методики аналитического конструирования генераторов движения.

Согласно соотношениям синтеза при достаточно широком диапазоне изменения значений коэффициентов управляющих функций показано существование областей устойчивого поведения системы в окрестности режима (рис. 2).

poL2a.tif poL2b.tif

poL2c.tif poL2d.tif

Рис. 2. Интегральные трубки в подпространствах poljn96.wmf и poljn97.wmf

По иллюстрациям численного моделирования можно определить время выхода интегральных кривых на режим устойчивых периодических колебаний.

В соответствующих подпространствах системы показано существование возможности одновременного выхода процессов на заданный режим.

Заключение

В работе получены стабилизирующие управления для генерации программных движений MBS модели. Предложенный подход позволяет решать задачу синтеза управляемого движения многотельных систем по предписанным траекториям. Методика интегрирования генераторов движения в динамику многотельных систем дает возможность реализовать перемещение звеньев объекта управления с помощью полученных генераторов предельных циклов.