Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

СИНТЕЗ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ В ГЕНЕРАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ МНОГОТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Полянина А.С. 1
1 ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет»
Одним из этапов управления многотельными системами является управление движением ее отдельных звеньев. В описание динамической модели таких систем входят управляющие функции, обеспечивающие программное движение элементов вдоль заданных кривых различной формы. В задаче синтеза управляемого движения шагающего робота перемещение точек стоп осуществляется по траекториям, геометрия которых содержит прямолинейные участки. Существуют различные подходы в определении программного движения по траекториям такого вида. К ним относится интерполяция тригонометрическими функциями, использование дифференциальных уравнений с дробными производными. С использованием методов теории функций Ляпунова в работе получены соотношения на параметры стабилизирующего управления генератора программных траекторий. Построена система автоколебательного типа, в фазовом пространстве которой наблюдается формирование устойчивых предельных циклов с участками движения, близкими к прямолинейным. Проведено численное моделирование процессов стабилизации траекторий в пространстве каждой подсистемы при различных начальных условиях. Согласно соотношениям синтеза при достаточно широком диапазоне изменений значений параметров управления существуют области устойчивого поведения системы в окрестности режима. Полученные в работе системы автоколебательного типа можно использовать в генерации вертикального движения стоп шагающего робота.
многотельная система
инвариантность
устойчивость
предельный цикл
управление
шагающий робот
1. Shabana A. Dynamics of Multibody Systems. New York, NY, Cambridge University Press, 2013. 398 p. [Electronic resource]. URL: https://b-ok.cc/book/2291768/d3d99a (date of access: 11.01.2020).
2. Горобцов А.С., Андреев А.Е., Марков А.Е., Скориков А.В., Тарасов П.С. Особенности решения уравнений метода обратной задачи для синтеза устойчивого управляемого движения шагающих роботов // Труды СПИИРАН. 2019. № 18 (1). С. 85–122.
3. Gorobtsov A., Ryzhov E., Polyanina A. The Control System Structure for the Stable Biped Robot Motion. Proc. Int. Conf. of Creativity in Intelligent Technologies and Data Science. Vol. 754. Ser. Communications in Computer and Information Science (Germany: Springer International Publishing AG), 2017. P. 231–241.
4. Горобцов А.С., Тарасов П.С., Скориков А.В., Марков А.Е., Терехов С.Е. Актуальные задачи управления в динамике связанных систем тел // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Уфа, 19–24 августа 2019 г.). Уфа: Издательство Башкирского государственного университета, 2019. С. 451–452.
5. Gorobtsov A., Ryzhov E., Polyanina A. About formation of the stable modes of the movement of multilink mechanical systems. Vibroengineering Procedia. Vol. 8: proc. of 22nd International Conference on Vibroengineering (Moscow, Russia, 4–7 October 2016) / Publisher JVE International Ltd. Kaunas (Lithuania), 2016. P. 522–526.
6. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Изд-во Едиториал УРСС, 2004. 552 с.

Появление многотельных систем (MBS) [1] сложной конструкции обуславливает разработку и модификацию методов управления их пространственным движением. Важной задачей является обеспечение асимптотической устойчивости програм- мных траекторий управляемого объекта.

В общем виде динамика MBS модели описывается уравнениями

poljn01.wmf

где poljn02.wmf – вектор обобщенных координат объекта управления (МBС модель), poljn03.wmf – вектор обобщенных координат генератора движения, первое уравнение системы описывает МBС модель, второе – генератор траекторий движения, третье – связи внутри МBС модели, четвертое – связи между генератором и МBС моделью.

Такие системы управления находят свое применение в решении задачи синтеза управляемого движения шагающими роботами. Их программное движение включает в себя траекторию движения точек корпуса и траекторию движения концевых точек шагающих движителей [2]. Кинематические характеристики перемещения, нахождение усилий в приводах под действием внешних нагрузок, инерционных сил определяют параметры управляющих воздействий для получения заданного движения пространственной многотельной системы.

В данной работе рассматриваются генераторы движения с решением в форме асимптотически устойчивых предельных циклов (рис. 1). Предложенный в работе подход опирается на теоремы В.И. Зубова о стабилизации систем в окрестности заданных многообразий и требует получения непрерывных гладких функций управления посредством метода функций Ляпунова.

poL1.tif

Рис. 1. Устойчивый предельный цикл

Для описания генераторов движения используются близкие к программной траектории аналитические функции, улучшающие качество управляемого движения звеньев объекта управления [3]. Особый интерес представляет исследование численного решения многотельных систем с такими генераторами при различных типах связей между МBС моделью и генератором движения [4].

Результаты проведенных исследований можно использовать при разработке антропоморфных роботов [2], при проектировании детектирующих устройств переходных процессов движения по траекториям.

Структура управления генератора предельных циклов

Рассмотрим задачу стабилизации двух нелинейно-связанных подсистем:

poljn04.wmf (1)

где poljn05.wmf, poljn06.wmf, poljn07.wmf, poljn08.wmf, poljn09.wmf, poljn10.wmf, poljn11.wmf при poljn12.wmf, poljn13.wmf

Требуется построить внутрисистемные управления poljn14.wmf, обеспечивающие существование ω – предельных множеств в подпространстве состояний poljn15.wmf, i = 1, 2, каждой из подсистем системы управления [5].

Вывод соотношений на параметры стабилизирующего управления

Будем искать управляющие функции poljn16.wmf в следующем виде:

poljn17.wmf

где i = 1, 2.

Рассмотрим две кривые poljn18.wmf, poljn19.wmf, где ϑ – гомеоморфизм poljn20.wmf, i = 1, 2.

Определим параметры внутрисистемных управлений poljn21.wmf, используя условие инвариантности данных кривых. Введем

poljn22.wmf – область в poljn23.wmf, тогда граница области в фазовом пространстве i-й подсистемы будет poljn24.wmf, где i = 1, 2.

Получим достаточные условия инвариантности кривых poljn25.wmf и poljn26.wmf из уравнений

poljn27.wmf (2)

poljn28.wmf (3)

где poljn29.wmf = poljn30.wmf, poljn31.wmf = poljn32.wmf,

poljn33.wmf – оператор векторного поля системы (1), где

poljn34.wmfpoljn35.wmf

poljn36.wmf

poljn37.wmfpoljn38.wmf

poljn39.wmf,

poljn40.wmf – вектор состояния системы (1).

Расчет параметров управления, обеспечивающих инвариантность кривой poljn41.wmf

Подставим функцию poljn42.wmf в уравнение инвариантности (2):

poljn43.wmf

Преобразуем полученные выражения, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые при степенях poljn44.wmf, poljn45.wmf, poljn46.wmf, poljn47.wmf poljn48.wmf poljn49.wmf poljn50.wmf где r = m, k, l:

poljn51.wmf

poljn52.wmf

poljn53.wmf

poljn54.wmf

poljn55.wmf

где poljn56.wmf, poljn57.wmf, poljn58.wmf, poljn59.wmf, poljn60.wmf, poljn61.wmf, poljn62.wmf. Оператор векторного поля системы равен нулю на кривой, определяемой уравнением

poljn63.wmf (4)

при условии poljn64.wmf, poljn65.wmf, poljn66.wmf, poljn67.wmf, poljn68.wmf, poljn69.wmf, poljn70.wmf, P1 = 1. Здесь poljn72.wmf, poljn73.wmf. Условие P1 = 1 выполняется при poljn74.wmf. Кривая (4) является poljn75.wmf.

Для обеспечения инвариантности только одной линии уровня poljn76.wmf = poljn77.wmf функции F1 полная производная системы обратится в ноль на кривой poljn78.wmf при выполнении следующих условий

poljn79.wmf, poljn80.wmf, poljn81.wmf,

poljn82.wmf, poljn83.wmf, poljn84.wmf,

где poljn85.wmf, poljn86.wmf, poljn87.wmf.

Повторив подобный расчет, установим, что существование подсистемы с инвариантной кривой poljn88.wmf приводит к инвариантности кривой poljn89.wmf у второй подсистемы при выполнении определенных условий на параметры управляющих функций.

Таким образом, коэффициенты внутрисистемных управлений poljn90.wmf будут определяться по формулам

poljn91.wmf

где i, j = 1, 2, j = i.

Кривые poljn92.wmf и poljn93.wmf являются ω – предельными множествами в подпространствах poljn94.wmf и poljn95.wmf соответственно.

Численное моделирование

Построенная в работе модель генератора движения относится к системам автоколебательного типа. В подпространстве каждой подсистемы наблюдается процесс стабилизации траекторий в окрестности инвариантного асимптотически устойчивого многообразия [6]. Выполнено численное моделирование такой системы в условиях параметрического изменения управляющего воздействия. Качественное исследование ее решения подтвердило действенность приведенной в работе методики аналитического конструирования генераторов движения.

Согласно соотношениям синтеза при достаточно широком диапазоне изменения значений коэффициентов управляющих функций показано существование областей устойчивого поведения системы в окрестности режима (рис. 2).

poL2a.tif poL2b.tif

poL2c.tif poL2d.tif

Рис. 2. Интегральные трубки в подпространствах poljn96.wmf и poljn97.wmf

По иллюстрациям численного моделирования можно определить время выхода интегральных кривых на режим устойчивых периодических колебаний.

В соответствующих подпространствах системы показано существование возможности одновременного выхода процессов на заданный режим.

Заключение

В работе получены стабилизирующие управления для генерации программных движений MBS модели. Предложенный подход позволяет решать задачу синтеза управляемого движения многотельных систем по предписанным траекториям. Методика интегрирования генераторов движения в динамику многотельных систем дает возможность реализовать перемещение звеньев объекта управления с помощью полученных генераторов предельных циклов.


Библиографическая ссылка

Полянина А.С. СИНТЕЗ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ В ГЕНЕРАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ МНОГОТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ // Современные наукоемкие технологии. – 2020. – № 2. – С. 45-50;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=37913 (дата обращения: 21.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074