Scientific journal

Modern high technologies

ISSN 1812-7320

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,940

Современный этап развития общества и, как следствие, эволюция научных подходов к изучению сложных больших систем, не поддающихся строгой формализации, характеризуется отказом от элементарного и ограниченного бинарного подхода и переходом к непрерывной (многозначной) логике, позволяющей объектам присутствовать в различных множествах с некоторой степенью принадлежности.

Таким образом, прогресс научного познания позволяет выполнить строгую математическую формализацию и использовать возможности аппарата принятия решений в нечетких условиях для исследования и управления процессами и системами при неопределённостях, обусловленных неполнотой и неточностью используемой исходной информации, данных о текущем состоянии системы и операторе ее перехода в следующее эволюционное состояние.

В настоящее время методология нечеткого моделирования находит применение в различных предметных областях: в образовании [1], медицине [2], экономике [3] и многих других. Целью настоящего исследования является разработка методологии и исследование модели выбора бизнес-системы в достаточно универсальной постановке.

Материалы и методы исследования

Рассмотрим задачу выбора бизнес-системы [3] в нечеткой постановке.

Пусть M, N и O – конечные четкие множества:

– список объектов для строительства;

– список бизнес-систем;

– список критериев (характеристик) для оценки надежности бизнес-систем.

Тогда нечеткая модель выбора бизнес-системы может быть определена как нечеткое реляционное уравнение

(1)

где

;

;

– искомое соответствие.

Очевидно, функция принадлежности практически может быть представлена в виде

(2)

Формулы для нахождения решения задачи (2) при использовании наиболее известных треугольных норм T и индуцированных этими нормами импликаторов I [4] приведены в табл. 1.

Таблица 1

Формулы для нахождения решения задачи

Представление прямой задачи (1) в виде (2) позволяет в простейшем случае при использовании стандартных треугольных норм и индуцированных ими импликаторов найти решения по одной из формул, приведенных в табл. 1.

Очевидно, выбор соответствующей импликации определяется спецификой решения прикладной задачи из исследуемой предметной области.

На рис. 1 приведены примеры графиков функций принадлежности и треугольной нормы, в виде логического произведения, и индуцированных ей двух импликаторов.

Рис. 2 иллюстрирует применение к аналогичным функциям принадлежности двух нечетких множеств треугольной нормы в виде алгебраического произведения.

На рис. 3 изображены рассматриваемые функции принадлежности, а также результаты применения к ним нормы в виде граничного произведения и соответствующих ему простейших импликаторов.

Рис. 1. Логическое произведение и индуцированные импликаторы

Рис. 2. Алгебраическое произведение и индуцированные импликаторы

Следует отметить, что при использовании логического произведения результат импликации остается слабо чувствительным к малым значениям функций принадлежности (в отличие от представленных на рис. 2 и 3), что может ограничить его применение в системах, например, обеспечения безопасности техногенных систем.

Решение обратной задачи принципиально сложнее, более того, множество решений может быть пусто. В этом случае решение обратной задачи можно свести к конечной проблеме оптимизации.

Пусть необходимо решить левую обратную задачу вида

В этом случае формулируется соответствующая экстремальная задача:

(3)

где – матричное представление наблюдаемого соответствия.

Решение этой задачи позволяет найти искомое нечеткое соответствие, которое в наивысшей степени отвечает условию минимизации критерия оптимизации – нормы отклонения расчетных величин от наблюдаемых.

Результаты исследования и их обсуждение

Пусть заданы [3]:

; ;

;

Решения прямой задачи (1) по формулам (2) при различных вариантах импликации представлены в табл. 2.

Таблица 2

Варианты решения прямой задачи

Рис. 3. Граничное произведение и индуцированные импликаторы

Семантическая интерпретация решения зависит от постановки задачи.

Например, при использовании T-нормы, в виде логического произведения Tm, получили решение (табл. 2): и в соответствии с [3] для объекта m2 следует рекомендовать бизнес-схему n2 и т.д. Очевидно, евклидовы расстояния от нечеткого множества до множеств и равны и составляют .

В данном случае экстремальная задача (3) сводится [5] к решению трёх задач:

(4)

В табл. 3 представлены решения обратной задачи (3) по формулам (4) для различных используемых треугольных нормах.

Таблица 3

Варианты решения обратной задачи

В таблице приведено также время поиска решения в среде Wolfram Mathematica при настройках метода оптимизации «по умолчанию» и достигнутое значение целевой функции.

В табл. 4 приведены аналогичные данные при индуцированных импликаторах.

Таблица 4

Решения обратной задачи при различных импликаторах

Сравнение решений по величине среднего евклидова расстояния δ_E от исходного (эталонного) соответствия представлено в табл. 5.

Таблица 5

Сравнение решений по точности приближения к эталону

Выводы

Разработанная методология исследования нечеткой модели выбора бизнес-системы является унифицированной и может служить базовой основой для анализа сложных трудноформализуемых систем в различных предметных областях при неопределенности, вызванной неполнотой и неточностью представления используемой информации. Практическая апробация разработки в среде пакета символьной математики подтверждает обоснованность используемых формальных предпосылок и полученных выводов.