Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

MODELING OF PARTICLES FILTRATION AT THE POROUS MEDIUM OUTLET

Galaguz Yu.P. 1 Safina G.L. 1
1 Moscow State University of Civil Engineering (national research university)
The study of filtration of fluid with solid particles in a porous medium is an integral problem in underground hydromechanics, in the design of tunnels, hydraulic structures, underground storage of radioactive waste. As the suspension flows through the porous rock, a part of the solid particles get stuck in the pores and form a deposit. The mechanical-geometric mechanism of particle capture: solid particles pass freely through large pores larger than the diameter of the particles and get stuck at the inlet of small pores with a cross section smaller than the particle sizes is considered. At that one particle blocking one small pore, one small pore can capture one solid particle. It is assumed that the retained particles can not be knocked out of the pore by other particles or a fluid flow. The model of deep bed filtration of a monodisperse suspension in a homogeneous porous medium with variable porosity and permeability is considered. The mathematical model of filtration consists of two first-order partial differential equations determining the motion of solid particles in a porous medium. The concentrations of suspended and retained particles are unknown. The first equation is related to the mass balance of particles, the second determines the growth rate of the deposit. The proportionality coefficient between the growth rate of the deposit and the suspended particles concentration is called the filtration coefficient. At the outlet of the porous medium, asymptotic solutions of the concentrations of suspended and retained particles of 1, 2, and 3 orders of magnitude are constructed. The calculations show that the high order asymptotics are very close to the numerical solution.
filtration filtration
porous medium
concentration front
filtration coefficient
asymptotic

Фильтрация жидкости с твердыми примесями в пористой среде – важная задача подземной гидромеханики, актуальная при строительстве туннелей, гидротехнических сооружений, подземных хранилищ радиоактивных отходов [1–3]. Фильтрация суспензии в пористой среде описывает транспортировку и осаждение твердых частиц на скелете пористой среды. Образование осадка существенно меняет пористость, проницаемость и прочность пористой среды [4].

При движении потока суспензии в пористой среде имеется множество различных механизмов образования осадка: силы Ван-дер-Ваальса, электростатическое взаимодействие, адсорбция, гидродинамические силы и т.п. Если распределения размеров пор и взвешенных частиц пересекаются, то определяющим является механико-геометрический механизм захвата частиц: твердые частицы свободно проходят через большие поры, размеры которых превосходят диаметр частиц, и застревают на входе малых пор с поперечным сечением меньше размеров частиц [5]. Рассматривается физическая модель одиночного запирания пор и захвата частиц: одна частица может блокировать одну малую пору, одна малая пора может захватить одну твердую частицу. Предполагается, что осажденная частица не может быть выбита из поры другими частицами или потоком жидкости.

Математическая модель фильтрации суспензии включает уравнение баланса масс взвешенных и осажденных частиц и кинетическое уравнение роста осадка [6]. Основные характеристики пористой среды – пористость и проницаемость, меняются в процессе фильтрации. Взвешенные частицы движутся с переменной скоростью, зависящей от величины осадка. В кинетическом уравнении коэффициент пропорциональности между скоростью роста осадка и концентрацией взвешенных частиц называется коэффициентом фильтрации. Коэффициент фильтрации является убывающей функцией концентрации осадка. Если коэффициент фильтрации достигает нуля, то он называется блокирующим. Корень коэффициента фильтрации соответствует максимальному значению концентрации осадка, при которой все малые поры блокированы частицами [7].

Цель исследования: построение асимптотики задачи фильтрации на выходе пористой среды, сравнение асимптотической модели различных порядков с численным решением, проведение анализа экспериментальных данных и нахождение временных интервалов применимости полученных результатов.

Материалы и методы исследования

Математическая модель одномерной задачи фильтрации монодисперсной суспензии в пористой среде с переменной пористостью и проницаемостью описывается квазилинейной гиперболической системой уравнений

gal01.wmf, (1)

gal02.wmf. (2)

Здесь С(x, t); S(x, t) – объемные концентрации взвешенных и осажденных частиц, Λ(S) – коэффициент фильтрации, функции g(S), f(S), Λ(S) гладкие и положительные при S ≥ 0.

Система уравнений (1), (2) рассматривается в области gal04.wmf.

Краевые условия для системы (1), (2) ставятся на входе пористой среды x = 0 и в начальный момент времени t = 0:

gal05.wmf; (3)

gal06.wmf; (4)

gal07.wmf. (5)

При проведении лабораторных исследований в полую пористую среду (условия 4, 5) впрыскивается суспензия постоянной концентрации (условие 3), и измеряется концентрация взвешенных частиц C на выходе пористой среды x = 1. Для сравнения теоретических расчетов с экспериментом наиболее важна асимптотика решения gal08.wmf.

Взвешенные частицы переносятся потоком несущей жидкости со скоростью gal09.wmf и постепенно заполняют пористую среду. Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц – подвижная двухфазная граница G движется с постоянной скоростью gal10.wmf.

В плоскости x, t фронт концентраций является отрезком прямой линии gal11a.wmf gal11b.wmf, который делит область W на две подобласти

gal12.wmf.

В области Ω0 решение нулевое: C = 0; S = 0; в области ΩS решение положительно: C > 0; S > 0. Решение C(x, t) разрывно на фронте концентраций G; решение S(x, t) непрерывно в W.

Точное решение задачи (1)–(5) на фронте концентраций имеет вид [8]

gal13.wmf (6)

Предположим, что в окрестности точки S = 0 функции s(S), f(S), Λ(S) можно представить в виде

gal14.wmf; (7)

gal15.wmf; (8)

gal16.wmf. (9)

В области ΩS вблизи фронта концентраций асимптотическое решение задачи строится в виде рядов по степеням малого параметра t – αx:

gal17.wmf (10)

gal18.wmf (11)

Здесь главный член асимптотики взвешенных частиц задан формулой (6):

gal19.wmf.

Подставляем разложения (10), (11) в уравнение (1) и приравниваем к нулю выражения при одинаковых степенях (t – αx). Получаем уравнения

gal20.wmf (12)

gal21.wmf (13)

gal22.wmf (14)

Подстановка (10), (11) в уравнение (2) дает алгебраические соотношения

gal23.wmf; (15)

gal24.wmf; (16)

gal25.wmf. (17)

Единственность решений ci(x) дифференциальных уравнений (12)–(14) определяется граничными условиями, которые следуют из (3):

gal26.wmf. (18)

Старшие члены асимптотики определяются из уравнений (12), (13), (15), (16). Получаем асимптотические разложения

gal27.wmf (19)

gal28.wmf (20)

Здесь gal29.wmf, gal30.wmf, gal31.wmf являются константами.

Следующие члены асимптотики не могут быть выписаны в общем виде из-за громоздкости выражений. Однако их можно вычислить для конкретных коэффициентов уравнений (1), (2) при x = 1.

Результаты исследования и их обсуждение

Коэффициенты, полученные Z. You на основе лабораторных экспериментов для частиц трех размеров [8], собраны в таблицу.

Коэффициенты уравнений, полученные в ходе лабораторных исследований

Тип

Радиус частицы, мк

Коэффициенты уравнений

 

r1 = 1,5675

gal32.wmf

1

gal33.wmf

 

gal34.wmf

 

r1 = 2,179

gal35.wmf

2

gal36.wmf

 

gal37.wmf

 

r3 = 3,168

gal38.wmf

3

gal39.wmf

 

gal40.wmf

Анализ коэффициентов фильтрации показал, что функция gal41.wmf убывает до точки минимума S0 = 1,95, а затем возрастает. Точное решение на входе пористой среды при x = 0 [9]

gal42.wmf (21)

позволяет определить момент достижения концентрации S0: t0 = 19,6. С учетом времени Δt = 1 движения фронта концентраций от входа пористой среды к выходу получаем временной интервал применимости экспериментальных данных для частиц типа 1 при x = 1: 0 ≤ t ≤ 20,6.

Коэффициенты фильтрации Λ2(S), Λ3(S) убывают до нуля, следовательно, экспериментальные данные для частиц 2 и 3 типов применимы при 1 ≤ t < ∞.

Численный расчет решения выполнен методом конечных разностей по явной разностной схеме с шагами, согласованными на фронте концентраций t = αx: hx = 0,001; ht = αhx аналогично [10]. Расчет асимптотики концентрации взвешенных и осажденных частиц 1, 2 и 3 типа на выходе пористой среды x = 1 до третьего порядка произведен при помощи программного комплекса Wolfram Mathematics:

gal43.wmf

gal44.wmf

gal45.wmf

gal46.wmf

gal47.wmf

gal48.wmf

На рис. 1–3 изображены графики численного решения и асимптотики 1, 2 и 3-го порядков концентраций взвешенных и осажденных частиц отдельно для частиц 1, 2 и 3-го типов.

gal1a.tif gal1b.tif

Рис. 1. Тип 1 а) укрупненный вид gal49.wmf, б) укрупненный вид gal50.wmf

gal2a.tif gal2b.tif

Рис. 2. Тип 2 a) укрупненный вид gal51.wmf, б) укрупненный вид gal52.wmf

gal3a.tif gal3b.tif

Рис. 3. Тип 3 a) укрупненный вид gal53.wmf, б) укрупненный вид gal54.wmf

На рис. 1–3 показано, что асимптотики быстро приближаются к численному решению с возрастанием их порядка. Разница между численным решением и асимптотикой третьего порядка составляет менее 2 % на всем временном интервале.

Заключение

Анализ экспериментальных данных показал, что модель фильтрации (1)–(5) применима для частиц 1 типа в ограниченном временном интервале 0 ≤ t ≤ 20,6; для частиц 2 и 3 типов временной интервал неограничен.

Для задачи фильтрации в пористой среде с переменными пористостью и проницаемостью члены асимптотики 2 и 3 порядков не могут быть выписаны в общем виде из-за громоздких выражений. Однако для конкретных значений параметров на выходе пористой среды асимптотические формулы принимают компактный вид и могут использоваться для приближенного вычисления решения.

Для задачи фильтрации монодисперсной суспензии на выходе из пористой среды построены асимптотические решения различных порядков. Показано, что с увеличением числа членов асимптотика становится ближе к решению. Наилучшее приближение дает асимптотическое решение 3 порядка.