Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЧАСТИЦ НА ВЫХОДЕ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ

Галагуз Ю.П. 1 Сафина Г.Л. 1
1 Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет
Исследование фильтрации жидкости с твердыми частицами в пористой среде является неотъемлемой задачей в подземной гидромеханике, при проектировании туннелей, гидротехнических сооружений, подземных хранилищ радиоактивных отходов. При прохождении потока суспензии через пористую горную породу часть твердых частиц застревает в порах и образует осадок. В работе рассматривается механико-геометрический механизм захвата частиц: твердые частицы свободно проходят через большие поры, размеры которых превосходят диаметр частиц, и застревают на входе малых пор с поперечным сечением, меньше размеров частиц, причем одна частица может блокировать одну малую пору, одна малая пора может захватить одну твердую частицу. Предполагается, что осажденная частица не может быть выбита из поры другими частицами или потоком жидкости. Рассматривается модель фильтрации монодисперсной суспензии в однородной пористой среде с переменными пористостью и проницаемостью. Математическая модель фильтрации состоит из двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, описывающих движение твердых частиц в пористой среде. Неизвестными служат концентрации взвешенных и осажденных частиц. Первое уравнение связано с законом сохранения массы частиц, второе задает скорость роста осадка. Коэффициент пропорциональности между скоростью роста осадка и концентрацией взвешенных частиц называется коэффициентом фильтрации. На выходе пористой среды построены асимптотические решения концентраций взвешенных и осажденных частиц 1, 2 и 3-го порядков. Вычисления показывают, что асимптотика высокого порядка очень близка численному решению.
фильтрация
пористая среда
фронт концентраций
коэффициент фильтрации
асимптотика
1. Li S., Liu R., Zhang Q., Zhang X. Protection against water or mud inrush in tunnels by grouting: a review. Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering. 2016. vol. 8. Р. 753–766.
2. Tsuji M., Kobayashi S., Mikake S., Sato T., Matsui H. Post-Grouting Experiences for Reducing Groundwater Inflow at 500 m Depth of the Mizunami Underground Research Laboratory, Japan. Procedia Engineering. 2017. vol. 191. Р. 543–550.
3. Yoon J., Mohtar C.S.El. Groutability of Granular Soils Using Bentonite Grout Based on Filtration Model. Transport in Porous Media. 2014. vol. 102. no. 3. Р. 365–385.
4. Civan F. Reservoir Formation Damage: Fundamentals, Modeling, Assessment and Mitigation. Amsterdam: Gulf Professional Publishing. 2016. 1044 p.
5. Santos A., Bedrikovetsky P., Fontoura S. Analytical micro model for size exclusion: Pore blocking and permeability reduction. Journal of Membrane Science. 2008. vol. 308. Р. 115–127.
6. You Z., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Exact solution for long-term size exclusion suspension-colloidal transport in porous media. Abstract and Applied Analysis. 2013. ID 680693.
7. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Asymptotic solution for deep bed filtration with small deposit. Procedia Engineering. 2015. vol. 111. Р. 491–494.
8. You Z., Osipov Y., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Asymptotic model for deep bed filtration. Chemical Engineering Journal. 2014. vol. 258. Р. 374–385.
9. Vyazmina E.A., Bedrikovetskii P.G., Polyanin A.D. New classes of exact solutions to nonlinear sets of equations in the theory of filtration and convective mass transfer. Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007. vol. 41. no 5. Р. 556–564.
10. Galaguz Y.P., Safina G.L. Modeling of fine migration in a porous medium. MATEC Web of Conferences. 2016. vol. 86. ID 03003.

Фильтрация жидкости с твердыми примесями в пористой среде – важная задача подземной гидромеханики, актуальная при строительстве туннелей, гидротехнических сооружений, подземных хранилищ радиоактивных отходов [1–3]. Фильтрация суспензии в пористой среде описывает транспортировку и осаждение твердых частиц на скелете пористой среды. Образование осадка существенно меняет пористость, проницаемость и прочность пористой среды [4].

При движении потока суспензии в пористой среде имеется множество различных механизмов образования осадка: силы Ван-дер-Ваальса, электростатическое взаимодействие, адсорбция, гидродинамические силы и т.п. Если распределения размеров пор и взвешенных частиц пересекаются, то определяющим является механико-геометрический механизм захвата частиц: твердые частицы свободно проходят через большие поры, размеры которых превосходят диаметр частиц, и застревают на входе малых пор с поперечным сечением меньше размеров частиц [5]. Рассматривается физическая модель одиночного запирания пор и захвата частиц: одна частица может блокировать одну малую пору, одна малая пора может захватить одну твердую частицу. Предполагается, что осажденная частица не может быть выбита из поры другими частицами или потоком жидкости.

Математическая модель фильтрации суспензии включает уравнение баланса масс взвешенных и осажденных частиц и кинетическое уравнение роста осадка [6]. Основные характеристики пористой среды – пористость и проницаемость, меняются в процессе фильтрации. Взвешенные частицы движутся с переменной скоростью, зависящей от величины осадка. В кинетическом уравнении коэффициент пропорциональности между скоростью роста осадка и концентрацией взвешенных частиц называется коэффициентом фильтрации. Коэффициент фильтрации является убывающей функцией концентрации осадка. Если коэффициент фильтрации достигает нуля, то он называется блокирующим. Корень коэффициента фильтрации соответствует максимальному значению концентрации осадка, при которой все малые поры блокированы частицами [7].

Цель исследования: построение асимптотики задачи фильтрации на выходе пористой среды, сравнение асимптотической модели различных порядков с численным решением, проведение анализа экспериментальных данных и нахождение временных интервалов применимости полученных результатов.

Материалы и методы исследования

Математическая модель одномерной задачи фильтрации монодисперсной суспензии в пористой среде с переменной пористостью и проницаемостью описывается квазилинейной гиперболической системой уравнений

gal01.wmf, (1)

gal02.wmf. (2)

Здесь С(x, t); S(x, t) – объемные концентрации взвешенных и осажденных частиц, Λ(S) – коэффициент фильтрации, функции g(S), f(S), Λ(S) гладкие и положительные при S ≥ 0.

Система уравнений (1), (2) рассматривается в области gal04.wmf.

Краевые условия для системы (1), (2) ставятся на входе пористой среды x = 0 и в начальный момент времени t = 0:

gal05.wmf; (3)

gal06.wmf; (4)

gal07.wmf. (5)

При проведении лабораторных исследований в полую пористую среду (условия 4, 5) впрыскивается суспензия постоянной концентрации (условие 3), и измеряется концентрация взвешенных частиц C на выходе пористой среды x = 1. Для сравнения теоретических расчетов с экспериментом наиболее важна асимптотика решения gal08.wmf.

Взвешенные частицы переносятся потоком несущей жидкости со скоростью gal09.wmf и постепенно заполняют пористую среду. Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц – подвижная двухфазная граница G движется с постоянной скоростью gal10.wmf.

В плоскости x, t фронт концентраций является отрезком прямой линии gal11a.wmf gal11b.wmf, который делит область W на две подобласти

gal12.wmf.

В области Ω0 решение нулевое: C = 0; S = 0; в области ΩS решение положительно: C > 0; S > 0. Решение C(x, t) разрывно на фронте концентраций G; решение S(x, t) непрерывно в W.

Точное решение задачи (1)–(5) на фронте концентраций имеет вид [8]

gal13.wmf (6)

Предположим, что в окрестности точки S = 0 функции s(S), f(S), Λ(S) можно представить в виде

gal14.wmf; (7)

gal15.wmf; (8)

gal16.wmf. (9)

В области ΩS вблизи фронта концентраций асимптотическое решение задачи строится в виде рядов по степеням малого параметра t – αx:

gal17.wmf (10)

gal18.wmf (11)

Здесь главный член асимптотики взвешенных частиц задан формулой (6):

gal19.wmf.

Подставляем разложения (10), (11) в уравнение (1) и приравниваем к нулю выражения при одинаковых степенях (t – αx). Получаем уравнения

gal20.wmf (12)

gal21.wmf (13)

gal22.wmf (14)

Подстановка (10), (11) в уравнение (2) дает алгебраические соотношения

gal23.wmf; (15)

gal24.wmf; (16)

gal25.wmf. (17)

Единственность решений ci(x) дифференциальных уравнений (12)–(14) определяется граничными условиями, которые следуют из (3):

gal26.wmf. (18)

Старшие члены асимптотики определяются из уравнений (12), (13), (15), (16). Получаем асимптотические разложения

gal27.wmf (19)

gal28.wmf (20)

Здесь gal29.wmf, gal30.wmf, gal31.wmf являются константами.

Следующие члены асимптотики не могут быть выписаны в общем виде из-за громоздкости выражений. Однако их можно вычислить для конкретных коэффициентов уравнений (1), (2) при x = 1.

Результаты исследования и их обсуждение

Коэффициенты, полученные Z. You на основе лабораторных экспериментов для частиц трех размеров [8], собраны в таблицу.

Коэффициенты уравнений, полученные в ходе лабораторных исследований

Тип

Радиус частицы, мк

Коэффициенты уравнений

 

r1 = 1,5675

gal32.wmf

1

gal33.wmf

 

gal34.wmf

 

r1 = 2,179

gal35.wmf

2

gal36.wmf

 

gal37.wmf

 

r3 = 3,168

gal38.wmf

3

gal39.wmf

 

gal40.wmf

Анализ коэффициентов фильтрации показал, что функция gal41.wmf убывает до точки минимума S0 = 1,95, а затем возрастает. Точное решение на входе пористой среды при x = 0 [9]

gal42.wmf (21)

позволяет определить момент достижения концентрации S0: t0 = 19,6. С учетом времени Δt = 1 движения фронта концентраций от входа пористой среды к выходу получаем временной интервал применимости экспериментальных данных для частиц типа 1 при x = 1: 0 ≤ t ≤ 20,6.

Коэффициенты фильтрации Λ2(S), Λ3(S) убывают до нуля, следовательно, экспериментальные данные для частиц 2 и 3 типов применимы при 1 ≤ t < ∞.

Численный расчет решения выполнен методом конечных разностей по явной разностной схеме с шагами, согласованными на фронте концентраций t = αx: hx = 0,001; ht = αhx аналогично [10]. Расчет асимптотики концентрации взвешенных и осажденных частиц 1, 2 и 3 типа на выходе пористой среды x = 1 до третьего порядка произведен при помощи программного комплекса Wolfram Mathematics:

gal43.wmf

gal44.wmf

gal45.wmf

gal46.wmf

gal47.wmf

gal48.wmf

На рис. 1–3 изображены графики численного решения и асимптотики 1, 2 и 3-го порядков концентраций взвешенных и осажденных частиц отдельно для частиц 1, 2 и 3-го типов.

gal1a.tif gal1b.tif

Рис. 1. Тип 1 а) укрупненный вид gal49.wmf, б) укрупненный вид gal50.wmf

gal2a.tif gal2b.tif

Рис. 2. Тип 2 a) укрупненный вид gal51.wmf, б) укрупненный вид gal52.wmf

gal3a.tif gal3b.tif

Рис. 3. Тип 3 a) укрупненный вид gal53.wmf, б) укрупненный вид gal54.wmf

На рис. 1–3 показано, что асимптотики быстро приближаются к численному решению с возрастанием их порядка. Разница между численным решением и асимптотикой третьего порядка составляет менее 2 % на всем временном интервале.

Заключение

Анализ экспериментальных данных показал, что модель фильтрации (1)–(5) применима для частиц 1 типа в ограниченном временном интервале 0 ≤ t ≤ 20,6; для частиц 2 и 3 типов временной интервал неограничен.

Для задачи фильтрации в пористой среде с переменными пористостью и проницаемостью члены асимптотики 2 и 3 порядков не могут быть выписаны в общем виде из-за громоздких выражений. Однако для конкретных значений параметров на выходе пористой среды асимптотические формулы принимают компактный вид и могут использоваться для приближенного вычисления решения.

Для задачи фильтрации монодисперсной суспензии на выходе из пористой среды построены асимптотические решения различных порядков. Показано, что с увеличением числа членов асимптотика становится ближе к решению. Наилучшее приближение дает асимптотическое решение 3 порядка.


Библиографическая ссылка

Галагуз Ю.П., Сафина Г.Л. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЧАСТИЦ НА ВЫХОДЕ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ // Современные наукоемкие технологии. – 2018. – № 9. – С. 45-50;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=37157 (дата обращения: 29.11.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074