Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

EIGENVALUES CALCULATION OF ORR-SOMMERFELD SPECTRAL PROBLEM

Kadchenko S.I. 1 Torshina O.A. 1 Ryazanova L.S. 1
1 Magnitogorsk state technical university of G.I. Nosov
It is known that difficulties appearing in the linear theory of viscous fluid flow stability are much interconnected with computational problems of finding eigenvalues of non-self-adjoint operators including Orr-Sommerfeld operator. The numerical calculation method of the first eigenvalues of discrete semibounded operators has been developed in the works of the article authors. This method has been called regularized tracks method (RT). The technique of this method usage for findingapproximate values of the first eigenvalues of Orr-Sommerfeld boundary-value problem is described in the article. This method (RT) cannot be used directly to solve Orr-Sommerfeld direct task. Consequently the auxiliary spectral task has been built where the array of eigenvalues coincide with the array of eigenvalues of Orr-Sommerfeld task. New regularized tracks estimations of discrete operator have been obtained. Formulae to calculate amendments to the theory of necessary order perturbation have been found. For conducting calculation experiments in mathematical package medium Maple the programs that allow to find approximate values of the first eigenvalues of Orr-Sommerfeld spectral task have been written. The choice of mathematical medium Maple has been made due to the necessity to make operations with real numbers with large mantissa.
spectral theory
numerical methods
eigenvalues
regularized traces
boundary value problems

В работах [1, 2] был обоснован метод вычисления первых собственных чисел дискретного оператора. Суть метода состоит в следующем. В сепарабельном гильбертовом пространстве kad01.wmf для оператора Т, являющегося дискретным и полуограниченным, зададим kad02.wmf – собственные числа, kad03.wmf – ортонормированные собственные функции. Предположим, P – ограниченный оператор в пространстве H, kad04.wmf – собственные числа kad05.wmf, kad06.wmf. Пусть для kad07.wmf выполняется kad08.wmf, а для kad09.wmf оператор kad10.wmf – ядерный. Тогда для нахождения kad11.wmf имеет место система [3]

kad12.wmf (1)

где kad13.wmf; kad14.wmf – круг комплексной плоскости с радиусом kad15.wmf; kad16.wmf – резольвента оператора T; kad17.wmf – поправки теории возмущений. В статье [4] была получена оценка чисел kad18.wmf

kad19.wmf. (2)

Для изучения упомянутых поправок kad20.wmf выведены формулы

kad21.wmf

kad22.wmf. (3)

Здесь kad23.wmf, а kad24.wmf.

Используя основную теорему о вычетах в случае полюса [5], найдем

kad25.wmf, (4)

где l – число совпадений kad26.wmf.

Формула (3) позволяет вычислять поправки теории возмущений kad27.wmf любого порядка. Производные, входящие в (4), можно вычислять с помощью универсального алгоритма численного дифференцирования.

Представим явно несколько поправок

kad28.wmf, kad29.wmf,

kad30.wmf

kad31.wmf,

kad32.wmf

kad33.wmf

kad34.wmf.

Цель исследования: разработать алгоритм нахождения методом регуляризованных следов собственных чисел прямой спектральной задачи. Сравнить полученные результаты вычисления собственных чисел методом РС с опубликованными примерами вычислений собственных чисел в научной литературе.

Материалы и методы исследования

Применим описанный метод в приложении к поставленной задаче

kad35.wmf, (7)

kad36.wmf (8)

где u(x) – скорость течения, β – комплексный параметр, λ – длина волнового возмущения, kad37.wmf – волновое число, R – число Рейнольдса,

kad38.wmf

Uo – относительная скорость верхней плоскости, Uc – скорость между неподвижными плоскостями в средней части промежутка между ними.

Рассмотрим оператор F

kad39.wmf,

который является обратным для оператора kad40.wmf и находится при решении краевой задачи

kad41.wmf

Умножим слева уравнение (7) на оператор F и рассмотрим вспомогательную спектральную задачу

kad42.wmf (9)

kad43.wmf. (10)

Здесь kad44.wmf,

kad45.wmf. Собственные функции задачи (7), (8) преобразуются к собственным функциям задачи (9), (10) с помощью kad46.wmf, собственные числа которых равны. Для оператора P выполняется следующая оценка

kad47.wmf, (11)

kad48.wmf

Собственные функции kad49.wmf самосопряженной спектральной задачи

kad50.wmf, (12)

kad51.wmf (13)

запишутся в виде

kad52.wmf,

где kad53.wmf. Константы kad54.wmf выбираются из условия нормировки kad55.wmf собственных функций. Числа qn являются корнями трансцендентного уравнения

kad56.wmf, (14)

а собственные числа мнимые и определяются по формулам

kad57.wmf. (15)

В этом случае

kad58.wmf

kad59.wmf (16)

kad60.wmf.

Отметим, что для задачи Орра – Зоммерфельда числа qn, собственные функции Ωn и Vkm не зависят от числа Рейнольдса любых kad61.wmf.

Лемма. Поправки теории возмущений kad62.wmf краевой задачи (9), (10) вычисляются по формуле

kad63.wmf,

где

kad64.wmf. (17)

Используя лемму и систему нелинейных уравнений (1) для приближенного нахождения первых собственных чисел kad65.wmf задачи Орра – Зоммерфельда (9), (10) можно представить в виде

kad66.wmf. (18)

Каждое уравнений (18) записано приближенно с абсолютными погрешностями [6] kad67.wmf, вычисляемыми по формулам

kad68.wmf. (19)

Здесь kad69.wmf. Для любых kad70.wmf величины kad71.wmf и kad72.wmf, входящие в систему нелинейных уравнений (18), не содержат [7] числа Рейнольдса R, следовательно, для различных R можно использовать их значения для вычисления собственных чисел. Нужно принимать во внимание, чтобы при нахождении собственных чисел зависящая от R абсолютная ошибка имела предусмотренные пределы.

Сведем определение решений означенной системы уравнений (18) к вычислению корней многочлена порядка n0

kad73.wmf. (20)

Здесь kad74.wmf, kad75.wmf, kad76.wmf, sk – правые части уравнений (18). Для этого используем формулы Ньютона и теорию симметрических многочленов [8]. При вычислении коэффициентов многочлена f(β) абсолютные погрешности находятся по формулам

kad77.wmf.

Сложив условную погрешность δu и безусловную погрешность δb, получим полную погрешность δp вычисления собственного числа β0. Безусловная погрешность δb вычисляется по формуле

kad78.wmf.

Она связана с точностью нахождения коэффициентов многочлена (20). Условная погрешность δu определяется формулой Ньютона

kad79.wmf.

Она равна разности между полученным решением и точным решением, взятой по модулю.

Количество собственных чисел n0, подлежащих определению при решении системы (1), должно быть минимальным и устанавливается неравенством kad80.wmf. Для задачи Орра – Зоммерфельда оно имеет вид

kad81.wmf.

При kad82.wmf из (15) получим kad83.wmf. Поэтому kad84.wmf, и тогда

kad85.wmf.

Для рассматриваемой задачи kad86.wmf, значит kad87.wmf.

Результаты исследования и их обсуждение

Применение предлагаемого метода для изучения течений с большими αR предусматривает нахождение kad88.wmf высокого порядка по формулам (3) и определение корней многочлена большой степени (20), что можно осуществить численно. При численной реализации описанного алгоритма необходимо производить операции с действительными числами с большой мантиссой, что позволяет сделать среда математического пакета Maple.

Результаты некоторых численных расчетов вычисления первых собственных чисел спектральной задачи (7), (8) kad89.wmf приведены в табл. 1, 2.

Таблица 1

Первые собственные числа R = 45, R = 65

n

α = 0,1; U0 = 1; Uc = 1

R = 45

R = 65

βn

δp

βn

δp

1

0,3555 – 8,7723 i

0,00016

0,3554 – 6,0741 i

0,00012

2

0,4884 – 17,9481 i

0,000043

0,4884 – 12,4256 i

0,000030

3

0,5264 – 35,0894 i

0,000023

0,5264 – 24,2924 i

0,000019

4

0,5512 – 53,0490 i

0,0000084

0,5512 – 36,7261 i

0,0000058

5

0,5580 – 78,9545 i

0,00000088

0,5580 – 54,6607 i

0,00000064

Таблица 2

Первые собственные числа R = 500, R = 1000

n

α = 0,1; U0 = 1; Uc = 0

R = 500

R = 1000

βn

δp

βn

δp

1

0,4977 –0,8322 i

0,000029

0,4471 – 0,4799 i

0,000022

2

0,5048 – 1,6019 i

0,0000066

0,5935 – 0,7748 i

0,0000035

3

0,4959 – 3,1523 i

0,0000043

0,4322 – 1,5743 i

0,0000023

Выводы

Проведенные многочисленные вычисления показывают высокую вычислительную эффективность нахождения значений первых собственных чисел оператора Орра – Зоммерфельда.