Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

STABILIZATION SYSTEM SYNTHESIS OF THE TEMPERATURE FIELD IN THE GLASS HEAT TREATMENT

Koval V.A. 1 Samarskiy A.A. 1 Solomin M.A. 1 Stepanov M.F. 1 Torgashova O.Yu. 1
1 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
The article is devoted to the stabilization problem solution of the temperature field for a thermal treatment facility for glassware. The technical implementation of installation for annealing glassware has many features. The installation is cylindrical. The temperature value depends on the axial coordinate. Heating is carried out by a sectional heater, i.e. the regulator is discrete in space. The installation is controlled according to the law produced by the microprocessor device, i.e. the control is discrete in time. The mathematical model is constructed for a spatially two-dimensional distributed system - a device for the thermal processing of glassware, taking into account the propagation of heat in the chamber wall and in the chamber itself. The spectral representation of the plant is obtained in the form of an infinite system of differential equations. The control law is synthesized to ensure stabilization with a given accuracy of the temperature field of the heat treatment unit for glassware. A closed-system analysis is performed in Matlab. The results show that the specified accuracy requirements are met.
Keywords. distributed system
heat equation
cylindrical coordinate system
spectral characteristic
synthesis
analysis

Основным отличием оптического стекла от технического является его высокая оптическая однородность, которая достигается при тонком отжиге [1–3]. Тонкий отжиг проводится по строго заданному режиму и ослабляет напряжения в заготовках до требуемого минимально необходимого значения.

Техническая реализация установки для отжига стеклоизделий обладает рядом особенностей. Установка представляет собой цилиндрическую печь. Требуется решить задачу стабилизации температуры внутри печи на заданном радиусе. Величина температуры зависит от текущей координаты по длине. Нагрев печи осуществляется секционным нагревателем, регулятор в этом случае является дискретным по пространству. Управление установкой производится по закону, вырабатываемому микропроцессорным устройством, то есть является дискретным по времени. Величина управляющего воздействия вычисляется по результатам измерений температуры в нескольких точках пространства внутри печи, таким образом, для решения задачи синтеза требуется восстановить температурное поле объекта управления при неполном измерении.

Описание объекта и постановка задачи управления

Рассмотрим нагревательную камеру технологической установки для отжига стеклоизделий (рис. 1). Нагревательная камера представляет собой цилиндрическую трубу, границы которой находятся в пределах kov01.wmf, kov02.wmf. На радиусе r = r* расположены датчики температуры.

Поскольку в установке присутствует теплоизолированная технологическая зона, будем считать, что отрицательным температурным градиентом на выходе камеры можно пренебречь. Учитывая это, будем считать, что производная по пространственной координате от температуры на выходе камеры равна нулю.

kov1.tif

Рис. 1. Схема установки отжига стеклоизделий: 1 – корпус нагревательной камеры; 2 – секционный нагреватель; 3 – нагревательная камера; 4 – корпус камеры; 5 – термопары; 6 – теплоизоляция

Таблица 1

Технические данные установки отжига стеклоизделий

п/п

Наименование

Ед. измерения

Значение

1

Мощность, потребляемая от сети

Вт

15×103

2

Радиус камеры R

м

0,038

3

Длина камеры L

м

1,020

4

Время t0

c

100

5

Средняя мощность нагрева на метр нагревателя W0

Вт/м

10×103

 

Технические данные установки для отжига стеклоизделий приводятся в табл. 1.

При построении математической модели нагревательной камеры будем учитывать распространение тепла в стенке камеры 4 и в самой камере 3. За температуру стенки нагревательной камеры будем принимать среднюю по ее сечению величину температуры в силу высокой теплопроводности материала - стали.

С учетом сделанных допущений уравнения распространения тепла внутри нагревательной камеры и в стенке камеры можно записать в виде

kov03.wmf (1)

kov04.wmf (2)

с начальными условиями

kov05.wmf (3)

и граничными условиями

kov06.wmf (4)

где Θ – температура воздуха внутри нагревательной камеры, град; ΘR – температура стенки камеры, град; Θ0 – температура среды на входе и выходе нагревательной камеры, град, Θ0 > 0; с – удельная теплоемкость воздуха внутри камеры, Дж/(кг×град); cR – удельная теплоемкость материала стенки нагревательной камеры, Дж/(кг×град); γ – плотность воздуха, кг/м3; γR – плотность материала стенки нагревательной камеры, кг/м3; λ– коэффициент теплопроводности воздуха, Вт/(м×град); λR – коэффициент теплопроводности материала стенки нагревательной камеры, Вт/(м×град); kR – коэффициент теплоотдачи от стенки камеры к воздушной среде внутри камеры, Вт/(м2×град); D – внутренний диаметр камеры, м; DR – внешний диаметр камеры, м; δR – толщина стенки камеры, м; t – время, c; r, z – пространственные переменные по радиусу и длине соответственно, м; R – радиус камеры, м; L – длина камеры, м; WR(z, t) – мощность подогрева на 1 м нагревателя, Вт/м.

Управляющим воздействием является поток тепла, исходящий от нагревательных элементов, равномерно распределенных вдоль оси установки. Будем считать управлением мощность подогрева на 1 м нагревателя WR(z, t), которая представляется в виде

kov07.wmf (5)

где ΔL – длина секции нагревателя, м; N – число секций; kov08.wmf kov09.wmf – здесь и далее единичная ступенчатая функция.

Отметим, что в рассматриваемой задаче управление осуществляется с помощью пяти секций, то есть N = 5.

Для представления математической модели объекта управления (1)-(5) в безразмерной форме введем переменные

kov10.wmf (6)

Представим температуру воздуха внутри камеры υ(ρ, ξ, τ) и температуру стенки камеры υR(ξ, τ) в виде суммы двух составляющих

kov11.wmf (7)

где kov12.wmf – постоянная составляющая температуры внутри камеры и стенки камеры; υΔ(ρ, ξ, τ), υ(ξ, τ) – функции, описывающие отклонение от величины постоянной составляющей для температуры внутри камеры и температуры стенки соответственно.

С учетом выражений (7) и обозначений безразмерных переменных (6) уравнения объекта могут быть записаны в отклонениях от постоянной составляющей:

kov13.wmf (8)

kov14.wmf (9)

где kov15.wmf, kov16.wmf, kov17.wmf, kov18.wmf, kov19.wmf – безразмерные коэффициенты, с начальными условиями

kov20.wmf (10)

и граничными условиями

kov21.wmf (11)

Функция kov22.wmf представляется в виде

kov23.wmf (12)

Уравнения (8), (9) с соответствующими начальными и граничными условиями (10), (11), а также выражением (12) для управляющего воздействия представляют собой математическую модель в отклонениях нагревательной установки.

Рассмотрим задачу синтеза регулятора для решения задачи поддержания температуры на относительном радиусе ρ* = 0,6 внутри камеры в соответствии с законом, представленным на рис. 2.

Максимальное значение функции υΔзад(0,3) = 1 соответствует Θзад = 370 °С. Минимальное значение υΔзад(0) = υΔзадд(1) = 0 соответствует Θзад = 20 °С. В силу (7) для вычисления параметров безразмерной модели следует принять Θ0 = 350 °С.

Будем считать, что измерение температуры осуществляется в точках ρ* = 0,6, ξ* = {0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}. Требуемые значения температуры в этих точках υΔзад(0,75; 1,00; 0,80; 0,60; 0,35}.

Представление модели объекта в спектральной форме

Математическая модель объекта управления (8)-(12) может быть представлена в форме пространства состояний на основе спектрального метода [4].

Спектральная характеристика функции υΔ(ρ, ξ, τ) по пространственным переменным ρ, ξ будет иметь вид

kov24.wmf (13)

kov25.wmf (14)

где функции kov26.wmf являются ортонормированными на интервале kov27.wmf и определяются выражением

kov28.wmf (15)

kov29.wmf – нормирующий множитель, вычисляемый по выражению

kov30.wmf (16)

kov31.wmf – функции Бесселя первого рода нулевого порядка; kov32.wmf – положительные корни уравнения kov33.wmf

В качестве kov34.wmf примем систему

kov35.wmf (17)

при выборе которой удовлетворяются граничные условия по переменной ξ.

Спектральную характеристику функции υ(ξ, τ) представим в виде

kov36.wmf. (18)

kov2.wmf

Рис. 2. График закона распределения температуры в зависимости от пространственной координаты на заданном радиусе ρ* = 0,6

Спектральная характеристика управляющего воздействия находится из условия представления каждого пространственного μ-го импульса мощности, выделяемой на μ-м участке нагревателя, рядом Фурье по выбранной ортонормированной системе функций на интервале kov37.wmf. При этом полагаем kov38.wmf при kov39.wmf, kov40.wmf. Таким образом,

kov41.wmf (19)

Число секций, определяемое технологическими особенностями объекта управления, в общем случае может быть достаточно большой величиной. Амплитудное значение каждой h2-й моды управления от n2 управляющих импульсов находится как сумма амплитудных значений пространственных мод данной частоты от n2 управляющих импульсов:

kov42.wmf (20)

Выражение (20) может быть представлено в матричной форме

kov43.wmf (21)

где kov44.wmf – вектор амплитуд мод управления, kov45.wmf – вектор амплитуд управляющих импульсов мощности на единицу длины нагревателя, P – как правило, неособенная матрица преобразования. Следовательно, можно на основании (21) получить аналитическое выражение для амплитуд управляющих импульсов мощности на единицу длины индуктора

kov46.wmf. (22)

Спектральное представление объекта (8)-(12) имеет вид

kov47.wmf (23)

Таблица 2

Теплофизические и геометрические параметры нагревательной установки

п/п

Параметр

Единица измерения

Значение

п/п

Параметр

Единица измерения

Значение

1

c

Дж/(кг×град)

1,026×103

7

kR

Вт/(м2×град)

20,0

2

cR

Дж/(кг×град)

0,475×103

8

D

м

0,076

3

g

кг/м3

0,746

9

DR

м

0,080

4

γR

кг/м3

7,750×103

10

δR

м

0,002

5

l

Вт/(м×град)

3,930×10-2

11

R

м

0,038

6

λR

Вт/(м×град)

31,2

12

L

м

1,020

 

Представим объект управления (23) в векторно-матричной форме с учетом внешнего возмущения - отклонения температуры стенки камеры от заданной:

kov48.wmf (24)

где kov49.wmf – вектор состояний; kov50.wmf – вектор управлений; kov51.wmf – вектор внешних возмущений; A, B, G – бесконечномерные числовые матрицы с блоками, соответствующими разбиению вектора состояний на составляющие kov52.wmf:

kov53.wmf (25)

Значения параметров, необходимых для получения числовой реализации матриц (25), приведены в табл. 2.

Синтез регулятора

Дополним (24) уравнением выходов

kov54.wmf (26)

где kov55.wmf – вектор измеряемых переменных; D – матрица, составленная из элементов ортонормированной системы разложения, вычисленных для фиксированных значений пространственных координат из открытого интервала kov56.wmf.

Следуя процедуре синтеза, представленной в [5], для периода дискретности h = 0,0128, соответствующего значению 1,2826 c, получим цифровой регулятор вида

kov57.wmf (27)

с матрицами

kov58.wmf

kov59.wmf

kov60.wmf

kov61.wmf

kov3.wmf

Рис. 3. Отклонение регулируемой переменной от заданных значений в точках ρ* = 0,6, ξi* = {0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}

Анализ системы управления

Анализ системы, замкнутой найденным регулятором, выполнен в Matlab. При этом полагается, что при τ = 64,13 датчики регистрируют уменьшение температуры в печи на 10 град. Результаты анализа замкнутой системы представлены на рис. 3, 4. При решении задачи требование к температуре υΔзад(0,75; 1,00; 0,80; 0,60; 0,35} в точках ρ* = 0,6, ξ* = {0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9} выполняется. Ошибка стабилизации в указанных точках приведена на рис. 3. Графики изменения удельной мощности на каждой из секций представлены на рис. 4.

Результаты анализа свидетельствуют о том, что качество переходных процессов отвечает заданным требованиям.

Анализ результатов показывает, что в переходных процессах отсутствует перерегулирование, а ошибка регулирования составляет менее 5 % от установившегося значения. Таким образом, заданные требования к точности выполняются.

kov4.wmf

Рис. 4. Удельная мощность, вырабатываемая на секциях нагревательной установки

Заключение

В работе получено спектральное представление модели объекта управления – установки термической обработки стеклоизделий; синтезирован регулятор, обеспечивающий стабилизацию с заданной точностью температурного поля внутри нагревательной камеры.