Пусть Rn – пространство n-мерных векторов, компонентами которых являются действительные числа. Через 
обозначим функцию четырех переменных, характеризующую состояние реального процесса, где
.
Пусть эволюция состояний этого процесса описывается дифференциальным уравнением
(1)
где
–
непрерывная функция многих переменных, ω – вектор искомых параметров, 
. Пусть известны в результате измерений 
, где
;
– достаточно малые положительные числа.
Задача идентификации: [1, 3] по известным 
найти ω, при котором выполняется равенство (1) для всех
.
Введем обозначения:
Пусть 
тогда справедлива
Теорема 1. Если в системе
, (2)
найдется подсистема из n уравнений, которая имеет единственное решение 
, то задача идентификации имеет приближенное решение 
.
Доказательство. В силу принятых обозначений справедливы приближенные равенства:
Следовательно, искомое ω удовлетворяет приближенно системе (2) и найденной ее подсистеме. Но эта подсистема имеет единственное решение 
, следовательно 
, то есть задача идентификации имеет приближенное решение 
. Эту теорему иллюстрируют следующие примеры.
Пример 1. Рассмотрим однородный стержень, боковая поверхность которого теплоизолирована, а концы поддерживаются при постоянной температуре. Распространение тепла в таком стержне описывается уравнением теплопроводности [2, 4, 5]:
Положим l = 1, T = 1, Δx = 0,01, Δt = 0,01, a = ω = 1.
Тогда x0 = 0, x1 = 0, x2 = 0,02, t0 = 0, t1 = 0,01, t2 = 0,02.
Решение этого уравнения при a = 1 с краевыми условиями
имеет вид
.
В результате измерений известны
Далее
Система (2), составленная для этого примера, имеет в своем составе подсистему (уравнение)
,
где ω = a.
Отсюда
= 0,96078
и далее 
.
Следовательно, искомое a имеет приближенное значение 
.
Пример 2. Рассмотрим тяжелый, но легкорастяжимый стержень, длина которого в нерастянутом состоянии равна l. Подвесим его за конец x = 0, а другой конец x = l оставим свободным. Обозначим через u(x, t) смещение сечения с абсциссой x в момент времени t. Уравнение вынужденных продольных колебаний этого стержня имеет вид [2, 6]:
где g – ускорение свободного падения. Пусть
,
Решение этого уравнения при a = 1, g = 9,8 с краевыми условиями
имеет вид
,
где π = 3,14.
Измерения состояния этого процесса имеют вид
.
Рассмотрим подсистему системы (2) для этого примера вида
где
Решая эту подсистему относительно ω = {a, g}, получаем единственное решение 
, где 
Таким образом
Пример 3. Рассмотрим провод длины l = 1, направив ось x вдоль провода. Напряжение вдоль провода обозначим через u(x, t), где t – время, 
T = 1. Согласно [2] распределение напряжений описывается телеграфным уравнением
где a, b, c – постоянные коэффициенты. Решение этого уравнения при a = 1, 
c = 1 и краевых условиях
имеет вид
(3)
Положим,
Тогда в результате измерений получим 
по формуле (3).
Рассмотрим подсистему системы (2) для этого примера вида
где
.
В результате решения этой подсистемы (линейной алгебраической системы) получаем единственное решение:
.
Таким образом, 
.
Пример 4. Рассмотрим квадратную мембрану размерами a×b, где a = 1, b = 1, закрепленную по краям на плоскости 
на отрезке времени 
. Согласно [1] малые колебания этой мембраны описываются волновым уравнением
где c – скорость распространения волны, T – натяжение мембраны, Z(t, x, y) – давление на мембрану, u(t, x, y) – смещение от положения равновесия. Краевые и начальные условия имеют вид
Пусть
,
и пусть c = 1, T = 1. Тогда решение этой краевой задачи имеет вид
.
Возьмем
тогда
Возьмем подсистему системы (2) для этого примера вида
Решая эту систему относительно {c, T}, а эта система линейная алгебраическая (с ненулевым определителем) относительно величин 
, получаем 
То есть решение задачи идентификации для этого примера имеет вид
.
Пример закончен.
Заключение
Полученная теорема позволяет эффективно решать поставленную задачу идентификации (особенно в случае, когда математическая модель линейно зависит от искомых параметров), поскольку решаемая подсистема имеет меньшую размерность, чем исходная система уравнений относительно упомянутых параметров. Эти результаты могут быть распространены на случай, когда измерения состояния моделируемого процесса производятся косвенно, то есть описываются функционалами или операторами более общего вида, нежели значения в дискретных точках трехмерного пространства в дискретные моменты времени, и для моделей более общего вида [5, 6].
Статья написана при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-01-00338).