Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

IDENTIFICATION OF REAL PROCESS MODELS

Kultyshev S.Yu. 1 Kultysheva L.M. 1
1 Perm National Research Polytechnic University
The article deals with the problem of finding the parameters of a mathematical model of the actual process based on the results of measurements of the state of the process. We obtain a theorem on the approximate solution of this problem in the case where the model takes the form of a differential equation of the second order, and the measurement process able to produce at discrete times at discrete points of three-dimensional space. Identification problem is formulated, given the proof of the existence of an approximate solution of the problem of identification. The problem of identification is reduced to solving the system of equations in the space of the unknown parameters, provided the unique solvability of this system. This theorem can be used to identify different mathematical models of the form of partial differential equations of the second order, and can be generalized to the equation of higher order. Examples of practical solutions to the problem of identification of mathematical models of heat propagation in a homogeneous rod, displaced the heavy vibrations of a rod, the distribution of the electric voltage in the wire of finite length and small forced oscillations of flat membranes.
problem of identification
mathematical model
equations with partial derivative

Пусть Rn – пространство n-мерных векторов, компонентами которых являются действительные числа. Через kult01.wmf обозначим функцию четырех переменных, характеризующую состояние реального процесса, где

kult02a.wmf

kult02b.wmf.

Пусть эволюция состояний этого процесса описывается дифференциальным уравнением

kult03a.wmf (1)

где

kult04a.wmf –

непрерывная функция многих переменных, ω – вектор искомых параметров, kult05.wmf. Пусть известны в результате измерений kult06.wmf, где

kult07a.wmf;

kult08.wmf – достаточно малые положительные числа.

Задача идентификации: [1, 3] по известным kult09.wmf найти ω, при котором выполняется равенство (1) для всех

kult10.wmf.

Введем обозначения:

kult11.wmf

kult12.wmf

kult13.wmf

kult14.wmf

kult15.wmf

kult16.wmf

kult17.wmf

kult18.wmf

kult19.wmf

Пусть kult20.wmf тогда справедлива

Теорема 1. Если в системе

kult21.wmf

kult22.wmf

kult23.wmf

kult24.wmf, (2)

найдется подсистема из n уравнений, которая имеет единственное решение kult25.wmf, то задача идентификации имеет приближенное решение kult26.wmf.

Доказательство. В силу принятых обозначений справедливы приближенные равенства:

kult27.wmf

kult28.wmf

kult29.wmf

kult30.wmf

kult31.wmf

kult32.wmf

kult33.wmf

Следовательно, искомое ω удовлетворяет приближенно системе (2) и найденной ее подсистеме. Но эта подсистема имеет единственное решение kult35.wmf, следовательно kult36.wmf, то есть задача идентификации имеет приближенное решение kult37.wmf. Эту теорему иллюстрируют следующие примеры.

Пример 1. Рассмотрим однородный стержень, боковая поверхность которого теплоизолирована, а концы поддерживаются при постоянной температуре. Распространение тепла в таком стержне описывается уравнением теплопроводности [2, 4, 5]:

kult38.wmf

Положим l = 1, T = 1, Δx = 0,01, Δt = 0,01, a = ω = 1.

Тогда x0 = 0, x1 = 0, x2 = 0,02, t0 = 0, t1 = 0,01, t2 = 0,02.

Решение этого уравнения при a = 1 с краевыми условиями

kult40.wmf

имеет вид

kult41.wmf.

В результате измерений известны

kult42.wmf

kult43.wmf

Далее

kult44.wmf

Система (2), составленная для этого примера, имеет в своем составе подсистему (уравнение)

kult45.wmf,

где ω = a.

Отсюда

kult46.wmf= 0,96078

и далее kult47.wmf.

Следовательно, искомое a имеет приближенное значение kult48.wmf.

Пример 2. Рассмотрим тяжелый, но легкорастяжимый стержень, длина которого в нерастянутом состоянии равна l. Подвесим его за конец x = 0, а другой конец x = l оставим свободным. Обозначим через u(x, t) смещение сечения с абсциссой x в момент времени t. Уравнение вынужденных продольных колебаний этого стержня имеет вид [2, 6]:

kult49.wmf

где g – ускорение свободного падения. Пусть

kult50.wmf,

kult51.wmf

kult52.wmf

Решение этого уравнения при a = 1, g = 9,8 с краевыми условиями

kult53.wmf

kult54.wmf

имеет вид

kult55.wmfkult56.wmf,

где π = 3,14.

Измерения состояния этого процесса имеют вид

kult57.wmf kult58.wmf.

Рассмотрим подсистему системы (2) для этого примера вида

kult59.wmf

где

kult60.wmf

kult61.wmf

kult62.wmf

Решая эту подсистему относительно ω = {a, g}, получаем единственное решение kult63.wmf, где kult64.wmf Таким образом

kult65.wmf

kult66.wmf

Пример 3. Рассмотрим провод длины l = 1, направив ось x вдоль провода. Напряжение вдоль провода обозначим через u(x, t), где t – время, kult67.wmf T = 1. Согласно [2] распределение напряжений описывается телеграфным уравнением

kult68.wmf

kult69.wmf

где a, b, c – постоянные коэффициенты. Решение этого уравнения при a = 1, kult70.wmf c = 1 и краевых условиях

kult71.wmf

имеет вид

kult72.wmf (3)

Положим,

kult73.wmf kult74.wmf

Тогда в результате измерений получим kult75.wmf kult76.wmf kult77.wmf по формуле (3).

Рассмотрим подсистему системы (2) для этого примера вида

kult78.wmf

где

kult79.wmf

kult80.wmf

kult81.wmf

kult82.wmf.

В результате решения этой подсистемы (линейной алгебраической системы) получаем единственное решение:

kult83.wmf.

Таким образом, kult84.wmf.

Пример 4. Рассмотрим квадратную мембрану размерами a×b, где a = 1, b = 1, закрепленную по краям на плоскости kult85.wmf на отрезке времени kult86.wmf. Согласно [1] малые колебания этой мембраны описываются волновым уравнением

kult87.wmf

где c – скорость распространения волны, T – натяжение мембраны, Z(t, x, y) – давление на мембрану, u(t, x, y) – смещение от положения равновесия. Краевые и начальные условия имеют вид

kult88.wmf

Пусть

kult89.wmf,

и пусть c = 1, T = 1. Тогда решение этой краевой задачи имеет вид

kult90.wmf.

Возьмем

kult91.wmf

тогда

kult92.wmf

kult93.wmf

Возьмем подсистему системы (2) для этого примера вида

kult94.wmf

Решая эту систему относительно {c, T}, а эта система линейная алгебраическая (с ненулевым определителем) относительно величин kult95.wmf, получаем kult96.wmf kult97.wmf То есть решение задачи идентификации для этого примера имеет вид

kult98.wmf.

Пример закончен.

Заключение

Полученная теорема позволяет эффективно решать поставленную задачу идентификации (особенно в случае, когда математическая модель линейно зависит от искомых параметров), поскольку решаемая подсистема имеет меньшую размерность, чем исходная система уравнений относительно упомянутых параметров. Эти результаты могут быть распространены на случай, когда измерения состояния моделируемого процесса производятся косвенно, то есть описываются функционалами или операторами более общего вида, нежели значения в дискретных точках трехмерного пространства в дискретные моменты времени, и для моделей более общего вида [5, 6].

Статья написана при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-01-00338).