Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ РЕАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

Култышев С.Ю. 1 Култышева Л.М. 1
1 ФГБОУ ВО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
В статье рассматривается задача нахождения параметров математической модели реального процесса по результатам измерений состояний этого процесса. Получена теорема о приближенном решении этой задачи в случае, когда модель имеет вид дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, а измерения состояний процесса производятся в дискретные моменты времени в дискретных точках трехмерного пространства. Сформулирована задача идентификации, дано доказательство теоремы о существовании приближенного решения задачи идентификации. Задача идентификации сводится к решению системы уравнений в пространстве искомых параметров при условии однозначной разрешимости этой системы. Эта теорема может быть использована при идентификации различных математических моделей, имеющих вид уравнений в частных производных второго порядка, и допускает обобщение на уравнения более высокого порядка. Приводятся примеры практического решения задачи идентификации для математических моделей распространения тепла в однородном стержне, вынужденных колебаний тяжелого стержня, распределения электрического напряжения в проводе конечной длины и малых вынужденных колебаний плоской мембраны.
задача идентификации
математическая модель
уравнения в частных производных второго порядка
1. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. – М.: Машиностроение, 1979. – 216 с.
2. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. – М.: Высшая школа, 1970. – 712 с.
3. Мацевитый Ю.М., Мултановский А.В. Идентификация в задачах теплопроводности. – Киев: Наукова думка, 1982. – 240 с.
4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1966. – 724 с.
5. Шаталов Ю С. Интегральные представления постоянных коэффициентов теплопереноса (учебное пособие). – Уфа: Уфимский авиационный институт, 1992. – 81 с.
6. Шаталов Ю.С. Функционально-интегральные уравнения теплофизических характеристик. – М.: Наука, 1996. – 304 с.

Пусть Rn – пространство n-мерных векторов, компонентами которых являются действительные числа. Через kult01.wmf обозначим функцию четырех переменных, характеризующую состояние реального процесса, где

kult02a.wmf

kult02b.wmf.

Пусть эволюция состояний этого процесса описывается дифференциальным уравнением

kult03a.wmf (1)

где

kult04a.wmf –

непрерывная функция многих переменных, ω – вектор искомых параметров, kult05.wmf. Пусть известны в результате измерений kult06.wmf, где

kult07a.wmf;

kult08.wmf – достаточно малые положительные числа.

Задача идентификации: [1, 3] по известным kult09.wmf найти ω, при котором выполняется равенство (1) для всех

kult10.wmf.

Введем обозначения:

kult11.wmf

kult12.wmf

kult13.wmf

kult14.wmf

kult15.wmf

kult16.wmf

kult17.wmf

kult18.wmf

kult19.wmf

Пусть kult20.wmf тогда справедлива

Теорема 1. Если в системе

kult21.wmf

kult22.wmf

kult23.wmf

kult24.wmf, (2)

найдется подсистема из n уравнений, которая имеет единственное решение kult25.wmf, то задача идентификации имеет приближенное решение kult26.wmf.

Доказательство. В силу принятых обозначений справедливы приближенные равенства:

kult27.wmf

kult28.wmf

kult29.wmf

kult30.wmf

kult31.wmf

kult32.wmf

kult33.wmf

Следовательно, искомое ω удовлетворяет приближенно системе (2) и найденной ее подсистеме. Но эта подсистема имеет единственное решение kult35.wmf, следовательно kult36.wmf, то есть задача идентификации имеет приближенное решение kult37.wmf. Эту теорему иллюстрируют следующие примеры.

Пример 1. Рассмотрим однородный стержень, боковая поверхность которого теплоизолирована, а концы поддерживаются при постоянной температуре. Распространение тепла в таком стержне описывается уравнением теплопроводности [2, 4, 5]:

kult38.wmf

Положим l = 1, T = 1, Δx = 0,01, Δt = 0,01, a = ω = 1.

Тогда x0 = 0, x1 = 0, x2 = 0,02, t0 = 0, t1 = 0,01, t2 = 0,02.

Решение этого уравнения при a = 1 с краевыми условиями

kult40.wmf

имеет вид

kult41.wmf.

В результате измерений известны

kult42.wmf

kult43.wmf

Далее

kult44.wmf

Система (2), составленная для этого примера, имеет в своем составе подсистему (уравнение)

kult45.wmf,

где ω = a.

Отсюда

kult46.wmf= 0,96078

и далее kult47.wmf.

Следовательно, искомое a имеет приближенное значение kult48.wmf.

Пример 2. Рассмотрим тяжелый, но легкорастяжимый стержень, длина которого в нерастянутом состоянии равна l. Подвесим его за конец x = 0, а другой конец x = l оставим свободным. Обозначим через u(x, t) смещение сечения с абсциссой x в момент времени t. Уравнение вынужденных продольных колебаний этого стержня имеет вид [2, 6]:

kult49.wmf

где g – ускорение свободного падения. Пусть

kult50.wmf,

kult51.wmf

kult52.wmf

Решение этого уравнения при a = 1, g = 9,8 с краевыми условиями

kult53.wmf

kult54.wmf

имеет вид

kult55.wmfkult56.wmf,

где π = 3,14.

Измерения состояния этого процесса имеют вид

kult57.wmf kult58.wmf.

Рассмотрим подсистему системы (2) для этого примера вида

kult59.wmf

где

kult60.wmf

kult61.wmf

kult62.wmf

Решая эту подсистему относительно ω = {a, g}, получаем единственное решение kult63.wmf, где kult64.wmf Таким образом

kult65.wmf

kult66.wmf

Пример 3. Рассмотрим провод длины l = 1, направив ось x вдоль провода. Напряжение вдоль провода обозначим через u(x, t), где t – время, kult67.wmf T = 1. Согласно [2] распределение напряжений описывается телеграфным уравнением

kult68.wmf

kult69.wmf

где a, b, c – постоянные коэффициенты. Решение этого уравнения при a = 1, kult70.wmf c = 1 и краевых условиях

kult71.wmf

имеет вид

kult72.wmf (3)

Положим,

kult73.wmf kult74.wmf

Тогда в результате измерений получим kult75.wmf kult76.wmf kult77.wmf по формуле (3).

Рассмотрим подсистему системы (2) для этого примера вида

kult78.wmf

где

kult79.wmf

kult80.wmf

kult81.wmf

kult82.wmf.

В результате решения этой подсистемы (линейной алгебраической системы) получаем единственное решение:

kult83.wmf.

Таким образом, kult84.wmf.

Пример 4. Рассмотрим квадратную мембрану размерами a×b, где a = 1, b = 1, закрепленную по краям на плоскости kult85.wmf на отрезке времени kult86.wmf. Согласно [1] малые колебания этой мембраны описываются волновым уравнением

kult87.wmf

где c – скорость распространения волны, T – натяжение мембраны, Z(t, x, y) – давление на мембрану, u(t, x, y) – смещение от положения равновесия. Краевые и начальные условия имеют вид

kult88.wmf

Пусть

kult89.wmf,

и пусть c = 1, T = 1. Тогда решение этой краевой задачи имеет вид

kult90.wmf.

Возьмем

kult91.wmf

тогда

kult92.wmf

kult93.wmf

Возьмем подсистему системы (2) для этого примера вида

kult94.wmf

Решая эту систему относительно {c, T}, а эта система линейная алгебраическая (с ненулевым определителем) относительно величин kult95.wmf, получаем kult96.wmf kult97.wmf То есть решение задачи идентификации для этого примера имеет вид

kult98.wmf.

Пример закончен.

Заключение

Полученная теорема позволяет эффективно решать поставленную задачу идентификации (особенно в случае, когда математическая модель линейно зависит от искомых параметров), поскольку решаемая подсистема имеет меньшую размерность, чем исходная система уравнений относительно упомянутых параметров. Эти результаты могут быть распространены на случай, когда измерения состояния моделируемого процесса производятся косвенно, то есть описываются функционалами или операторами более общего вида, нежели значения в дискретных точках трехмерного пространства в дискретные моменты времени, и для моделей более общего вида [5, 6].

Статья написана при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-01-00338).


Библиографическая ссылка

Култышев С.Ю., Култышева Л.М. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ РЕАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ // Современные наукоемкие технологии. – 2016. – № 12-3. – С. 501-506;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=36517 (дата обращения: 20.07.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674