Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

A PROBLEM WITH DISPLACEMENTS EQUATION FOR MOISTURE AV LYKOVA

Kumykova S.K. 1 Ezaova A.G. 1 Guchaeva Z.Kh. 1
1 Kabardino-Balkarian State University named after Kh.M. Berbekov
The present work is devoted to research the question of solvability of a nonlocal problem with shift for a degenerate hyperbolic equation in the characteristic triangle when you know the value of the decision on the line of degeneracy and fractional derivative or Riemann integral – Liouville on the values of the solution on one of the characteristics of point-wise linked to the value with the value derived from solutions the line of degeneracy. Determined intervals Change the order of the operator of fractional integro-differentiation, in which the solution of the problem exists and is unique, by the reduction of the solvability of the issue to the Volterra equation of the second kind. Found intervals operator orders for which either there is more than one solution to the problem, or an infinite number of solutions by reduction of the solvability of the issue to the solvability of integro-differential equations of the n-th order. Installed effect influence coefficients of lower derivatives in the equation on the solvability of the problem. Thus, the simple or mixed solvability on the whole real axis. We investigated the differential properties of the solution.
moisture transfer equation
fractional integration operator
the operator of fractional differentiation
Volterra equation
Cauchy problem
the problem with displacement

Теория краевых задач для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными, что объясняется как теоретической значимостью результатов, так и наличием их практических приложений в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в математической биологии и других областях. В работах многих авторов для вырождающихся гиперболических и смешанных уравнений исследовались нелокальные задачи, когда на гиперболической части границы области задано условие, поточечно связывающее значения дробных производных от искомого решения на характеристиках определенного порядка, зависящего от порядка вырождения уравнения [2–5, 7, 8, 10]. Работ в которых исследованы задачи со смещением в случае, когда в краевые условия на характеристической части границы области входят дробные производные и интегралы любого порядка, независящие от порядка вырождения уравнения, сравнительно мало. Данная работа продолжает эти исследования.

Анализ литературы по гиперболическим уравнениям переноса влаги в пористых средах показал, что наиболее адекватными реальной ситуации моделями являются математические модели, в основе которых лежит уравнение А.В. Лыкова с младшим членом, учитывающим движение почвенной влаги под действием гравитационных сил. Одномерный поток влаги в капиллярно-пористом теле поликапилярной структуры при определенных физических допущениях удовлетворяет уравнению А.В. Лыкова [6], которое простой заменой сводится к уравнению

y2Uxx – Uyy + aUx = 0. (1)

Уравнение (1) предложено А.В. Бицадзе [1] как пример уравнения, для которого при kumyk001.wmf корректна по Адамару задача Коши, несмотря на нарушение известного условия Геллерстедта, а А.М. Нахушевым [7] как пример уравнения, для которого при kumyk002.wmf задача Дарбу не является корректной и характеристики не являются равноправными как носители граничных данных.

Цель исследования – изучить влияние параметров уравнения влагопереноса (1) и порядков операторов дробного интегро-дифференцирования в краевом условии на однозначную и неоднозначную разрешимость задачи.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение влагопереноса А.В. Лыкова

y2Uxx – Uyy + aUx = 0, (1)

где a – действительная постоянная, причем kumyk003.wmf в области D, ограниченной характеристиками kumyk004.wmf kumyk005.wmf уравнения (1) и отрезком kumyk006.wmf прямой y = 0.

Задача. Найти регулярное в области D решение U(x, y) уравнения (1) из класса kumyk007.wmf, удовлетворяющее условиям

kumyk008.wmf kumyk009.wmf; (2)

kumyk010.wmf

kumyk011.wmf (3)

Здесь τ(x), A(x), B(x), C(x) – заданные непрерывные функции, причем A2(x) + B2(x) ≠ 0; α = const; kumyk012.wmf – оператор дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования [9]; θ0(x) – точка пересечения характеристики уравнения (1), выходящей из точки (x, 0) ∈ J с характеристикой AC.

Доказательство разрешимости задачи

Известно [1], что решение задачи Коши для уравнения (1) в области D при kumyk013.wmf представимо в виде

kumyk014.wmf (4)

где τ(x) = U(x,0); ν(x) = Uy(x, 0); kumyk015.wmf kumyk016.wmf Г(α) – гамма-функция Эйлера [9].

Удовлетворяя (4) условию (3), с учетом свойств операторов дробного интегрирования и дифференцирования, получим

kumyk017.wmf (5)

где kumyk018.wmf

Теорема 1. Пусть A(x), B(x), kumyk019.wmf kumyk020.wmf Тогда, если выполняется либо kumyk021.wmf, либо

kumyk022.wmf и kumyk023.wmf

где kumyk024.wmf, то решение задачи (1)–(3) существует и единственно.

Действительно, при выполнении условий теоремы 1 уравнение (5) примет вид

kumyk025.wmf (6)

где kumyk026.wmf причем при x > 0 f(x) может обращаться в бесконечность порядка не выше α.

Уравнение (6) при kumyk027.wmf A(x), B(x) ≠ 0 есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода. Известно [1], что методом последовательных приближений может быть построено единственное решение ν(x) уравнения (6) в классе функций непрерывно дифференцируемых на интервале J и могущих при x → 0 обращаться в бесконечность порядка не выше α, а при x = 1 – ограниченных.

При kumyk028.wmf и kumyk029.wmf уравнение (6) принимает вид

kumyk030.wmf (7)

Уравнение (7) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода при B(x), a(x) ≠ 0 и справедливы все заключения сделанные относительно уравнения (6).

Заметим, что в случае kumyk031.wmf нарушение условия kumyk032.wmf приводит, вообще говоря, к неединственности решения задачи (1)–(3).

В дальнейшем, под регулярным решением уравнения (1) в области D назовем любую функцию kumyk033.wmf удовлетворяющую уравнению (1) в области D и такую, что функция kumyk034.wmf в точке x = 0 и обращается в нуль порядка kumyk035.wmf, а ν1(x) – достаточное число раз дифференцируемая функция в некоторой окрестности (0, δ) точки x = 0 и ν1(0) ≠ 0.

Теорема 2. Если

kumyk036.wmf k = 0, 1, 2,… (8)

и выполнены условия

kumyk037.wmf

kumyk038.wmf (9)

kumyk039.wmf

kumyk040.wmf (10)

причем

kumyk041.wmf kumyk042.wmf

kumyk043.wmf kumyk044.wmf

ν1(0) ≠ 0. (11)

то задача (1)–(3) имеет более одного решения.

Ограничимся доказательством для случаев k = 0, k = 1. При k = 0 и выполнении условий (8) теоремы 2 установлено, что правая часть уравнения (6) kumyk045.wmf. При k = 0 и выполнении условий (10) теоремы из (6) получим интегро-дифференциальное уравнение относительно ν(x):

kumyk046.wmf (12)

где kumyk047.wmf

Для доказательства неединственности решения задачи достаточно показать, что однородное уравнение, соответствующее (12)

kumyk048.wmf (13)

имеет нетривиальное решение.

Введем новую неизвестную функцию

kumyk049.wmf (14)

Применив формулу обращения интегрального уравнения Абеля [1] к (14), получим

kumyk050.wmf

С учетом проделанных преобразований выражение (13) принимает вид

kumyk051.wmf (15)

Заметим, что из (14) с учетом условий (11) теоремы следует, что

kumyk052.wmf

Обозначив kumyk053.wmf, на основании φ(0) = с0 будем иметь

kumyk054.wmf

С учетом введенных обозначений при A(x) ≠ 0 уравнение (15) примет вид

kumyk055.wmf (16)

где kumyk056.wmf kumyk057.wmf

Методом последовательных приближений можно показать, что в классе функций

kumyk058.wmf,

где kumyk059.wmf уравнение (16) имеет нетривиальное решение. То есть решение задачи при k = 0 неединственно.

При f(x) ≠ 0 выражение (12) с учетом (14), а затем вводя новую функцию kumyk060.wmf вопрос существования решения задачи редуцируется к вопросу разрешимости уравнения Вольтерра второго рода

kumyk061.wmf (17)

где kumyk062.wmf

С учетом ранее проведенных исследований заметим, что правая часть уравнения (17) представима в виде

kumyk063.wmf

где kumyk064.wmf В этом классе функций уравнение (17) имеет нетривиальное решение ψ(x). По найденному ψ(x) определяется ν(x). Следовательно, задача (1)–(3) разрешима и ее решение задается формулой (4).

Аналогично проводятся исследования при k = 1. Из (6) при выполнении (10) получим следующее интегро-дифференциальное уравнение относительно ν(x):

kumyk065.wmf (18)

Для доказательства неединственности решения задачи покажем, что однородное уравнение, соответствующее уравнению (18), имеет нетривиальное решение.

Введем обозначение kumyk066.wmf, и, применяя формулу обращения интегрального уравнения Абеля, вычислениями, аналогичными предыдущим, будем иметь

kumyk067.wmf (19)

Непосредственным вычислением имеем

φ(0) = 0; kumyk068.wmf

Положим kumyk069.wmf и последовательно найдем

kumyk070.wmf с1 = const; kumyk071.wmf

Отсюда уравнение (19) при A(x) ≠ 0 примет вид

kumyk072.wmf (20)

где kumyk073.wmf

kumyk074.wmf

Уравнение (20) с непрерывным ядром kumyk075.wmf и правой частью kumyk076.wmf имеет непрерывное решение ψ(x) на kumyk077.wmf:

kumyk078.wmf

где R1(x, t, α) – резольвента ядра k(x, t).

Тем самым неединственность решения задачи при k = 1 доказана.

Докажем существование решения задачи при k = 1. С учетом ранее введенных обозначений и приведенных преобразований уравнение (18) примет вид

kumyk079.wmf (21)

где kumyk080.wmf

Правая часть уравнения (27) kumyk081.wmf В этом классе функций уравнение (21) имеет нетривиальное решение ψ(x). По найденному ψ(x) можно определить ν(x) и решение задачи (1)–(3) по формуле (4).

Теорема 3. Если

kumyk082.wmf

kumyk083.wmf A(x) ≠ 0;

где kumyk084.wmf; n – целая часть числа α, n = 1, 2, 3, …, то при

kumyk085.wmf

где kumyk086.wmf ν1(0) ≠ 0 задача (1)–(3) имеет более одного решения.

Доказательство. При выполнении условий теоремы (3) из (6) получим обыкновенное дифференциальное уравнение

kumyk087.wmf (22)

положив

kumyk088.wmf

kumyk089.wmf

Чтобы доказать неединственность решения задачи (1)–(3), достаточно показать, что однородное уравнение

kumyk090.wmf (23)

имеет нетривиальное решение.

Так как функция ν(x) в точке x = 0 обращается в нуль порядка kumyk091.wmf, а в некоторой окрестности точки x = 0 достаточное число раз дифференцируемая функция и ν1(0) ≠ 0, то

ν2(0) = 0; kumyk092.wmf ν(0) = (n – 1)!ν1 (0) = cn. (24)

Линейное дифференциальное уравнение (23) с начальными условиями (24) имеет непрерывное решение на kumyk093.wmf. Следовательно, неединственность решения задачи доказана.

Докажем теперь существование решения задачи (1)–(3) при kumyk094.wmf.

Перепишем уравнение (22) в виде

kumyk095.wmf kumyk096.wmf kumyk097.wmf (25)

Обозначим

kumyk098.wmf (26)

Принимая во внимание начальные условии (24), последовательно находим

kumyk099.wmf (27)

Подставляя (2), (27) в (25), получим уравнение Вольтерра второго рода:

kumyk100.wmf

kumyk101.wmf

kumyk102.wmf (28)

С учетом сделанных предположений относительно известных функций нетрудно заметить, что функции

kumyk103.wmf

и ядро

kumyk104.wmf

Следовательно, непрерывное решение уравнения (28) задается по формуле

kumyk105.wmf

где R(x, t, α) – резольвента ядра k(x, t). Найдя ψ(x), восстанавливаем функцию ν(x) и по формуле (4) решение задачи при kumyk106.wmf.