Многие прикладные задачи, с которыми сталкиваются инженеры, физики и специалисты по прикладной математике, не поддаются точному решению. Нелинейность уравнений движения, переменные коэффициенты, нелинейность граничных условий на известных или неизвестных границах сложной формы – причины, затрудняющие точное решение, в частности, температурных задач.
Рассмотрим процесс движения вязкой жидкости в пористой среде в нестационарных полях давления. Система уравнений, описывающих температурные процессы, в этом случае, имеет вид
(1)
(2)
(3)
Если рассматривается движение жидкости с данным полем скорости [1], то уравнение (1) несколько видоизменяется. В наиболее простом случае, когда скорость фильтрации
где 
– истинная скорость i-й компоненты, является только функцией времени и не зависит от пространственных координат, из (3) получим
(4)
Для линеаризованного уравнения состояния баротропной жидкости
(5)
При постоянных misi уравнение неразрывности преобразуется к виду
(6)
Подставив 
из уравнения (6) в (1), получим
(7)
Для горизонтального движения жидкости 
. Полагая для простоты движение однокомпонентным, подставим grad P из (2) в (7):
(8)
Последнее слагаемое учитывает эффект диссипации кинетической энергии жидкости, поскольку выражение 
описывает силу трения, а его произведение на 
– мощность силы трения.
Рассмотрим задачу об изменении температуры при колебательном движении жидкости в горизонтальном теплоизолированном пористом стержне. Будем считать температуры скелета пористой среды и насыщающей жидкости одинаковыми. Начальную температуру стержня примем за начало отсчета температуры. Математическая постановка задачи в этом случае имеет вид
x > 0, t > 0; (9)
(10)
(11)
где x1 – граница зоны температурных возмущений.
Рассмотрим возможные упрощения для распределения давления, позволяющие получить аналитические решения задачи с учетом теплопроводности. Одним из возможных упрощений является применение метода последовательной смены стационарных состояний с использованием автомодельности [4, 6]. Распределение давления в этом случае описывается в виде зависимости с подвижной правой границей:
(12)
После введения автомодельной переменной 
зависимость (12) преобразуется к виду
(13)
где 
– единичная функция; 
– функция Хевисайда,
а задача (9)–(11) приобретает следующий вид:
0 < z < 1; (14)
(15)
Решение задачи (14), (15) представляется в виде
(16)
При a = 0 с использованием выражения для d-функции в виде
(17)
получим
0 < z < 1. (18)
Можно убедиться, что выражение (18) является точным решением задачи (9)–(11) для случая a = 0 [2].
После подстановки (13) в (16) получим следующее выражение для расчета температуры:
(19)
0 < z < 1; 
Рассмотрим случай фильтрации, когда u(t) является произвольной функцией от времени
(20)
(21)
Построим фундаментальное решение уравнения (20) при ε = 0 и η = 0
t > t′, –∞ < x < ∞, 
(22)
Пусть 
Тогда задача (22) сведется к следующей задаче:
Решение задачи (22) имеет вид
Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, получим решение задачи (22) в виде
(23)
Введем стандартизирующую функцию
(24)
Тогда при T0(x) = 0
(25)
При a > 0 с учетом того, что 
, получим из (25)
(26)
Для периодического движения жидкости с заданным полем скорости распределение давления описывается следующим выражением:
(27)
Для этого случая получим из (26)
(28)
где 
После усреднения по периоду 
из (28) следует
(29)
Из полученного выражения видно, что колебательное движение жидкости в пористой среде приводит к ее монотонному разогреву. Необходимо отметить, что результаты расчетов температурных эффектов по полученным зависимостям удовлетворительно согласуются с экспериментом [3, 5]. Увеличение температуры происходит не только за счет эффекта Джоуля – Томсона, который по своей природе необратим, но и за счет обратимого адиабатического эффекта. Однако явление нарастания температуры со временем не противоречит обратимости адиабатического эффекта. Его природу легко понять, имея в виду, что жидкость или газ всегда движутся в сторону уменьшения давления. Отмеченная закономерность может быть использована для осуществления нагрева пористых сред.
Обозначения
Т – температура; a – температуропроводность; λ – теплопроводность; ε – коэффициент Джоуля – Томсона; η – адиабатический коэффициент; α – коэффициент термического расширения жидкости; 
– скорость фильтрации объем; mi – пористость; k – проницаемость среды; μi – динамический коэффициент вязкости i-й компоненты; cж – объемная теплоемкость жидкости; cп – объемная теплоемкость насыщенной пористой среды; ρi – плотность i-й компоненты; si – насыщенность i-й компоненты; u – конвективная скорость; t – время; κ – коэффициент пьезопроводности.