Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

THE USE OF SELF-SIMILARITY FOR THE SOLUTION OF NON-LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEM ON TEMPERATURE PROCESSES

Efimova G.F. 1
1 Branch Ufa State Aviation Technical University
The main work area is studying of temperature effects arising when viscous fluid flows in a porous medium in dynamic pressure fields. The attempt of heat conductivity accounting resulted in need of the second order differential equations with variable coefficients solution. Example of such process is the oil filtration in natural layers. The possible simplifications for pressure profile allowing receiving analytical solutions of a task taking into account heat conductivity are considered. One of possible simplifications is application of stationary states with self-similarity use serial change method. Analytical problem solving about change of temperature at oscillating motion of fluid in the horizontal heat isolated porous core is received, which shows that oscillating motion of fluid in a porous medium leads to its monotonic warming up. Temperature effects on the received dependences calculations results are well coordinated with experiment and can be used at further development of the barothermic effect theory.
temperature
heat conductivity
viscous fluid
pressure
porous medium
self-similarity

Многие прикладные задачи, с которыми сталкиваются инженеры, физики и специалисты по прикладной математике, не поддаются точному решению. Нелинейность уравнений движения, переменные коэффициенты, нелинейность граничных условий на известных или неизвестных границах сложной формы – причины, затрудняющие точное решение, в частности, температурных задач.

Рассмотрим процесс движения вязкой жидкости в пористой среде в нестационарных полях давления. Система уравнений, описывающих температурные процессы, в этом случае, имеет вид

efimova01.wmf (1)

efimova02.wmf (2)

efimova03.wmf (3)

Если рассматривается движение жидкости с данным полем скорости [1], то уравнение (1) несколько видоизменяется. В наиболее простом случае, когда скорость фильтрации

efimova04.wmf

где efimova05.wmf – истинная скорость i-й компоненты, является только функцией времени и не зависит от пространственных координат, из (3) получим

efimova06.wmf (4)

Для линеаризованного уравнения состояния баротропной жидкости

efimova07.wmf (5)

При постоянных misi уравнение неразрывности преобразуется к виду

efimova08.wmf (6)

Подставив efimova09.wmf из уравнения (6) в (1), получим

efimova10.wmf (7)

Для горизонтального движения жидкости efimova11.wmf. Полагая для простоты движение однокомпонентным, подставим grad P из (2) в (7):

efimova12.wmf (8)

Последнее слагаемое учитывает эффект диссипации кинетической энергии жидкости, поскольку выражение efimova13.wmf описывает силу трения, а его произведение на efimova14.wmf – мощность силы трения.

Рассмотрим задачу об изменении температуры при колебательном движении жидкости в горизонтальном теплоизолированном пористом стержне. Будем считать температуры скелета пористой среды и насыщающей жидкости одинаковыми. Начальную температуру стержня примем за начало отсчета температуры. Математическая постановка задачи в этом случае имеет вид

efimova15.wmf x > 0, t > 0; (9)

efimova16.wmf efimova17.wmf (10)

efimova18.wmf (11)

где x1 – граница зоны температурных возмущений.

Рассмотрим возможные упрощения для распределения давления, позволяющие получить аналитические решения задачи с учетом теплопроводности. Одним из возможных упрощений является применение метода последовательной смены стационарных состояний с использованием автомодельности [4, 6]. Распределение давления в этом случае описывается в виде зависимости с подвижной правой границей:

efimova19.wmf efimova20.wmf (12)

После введения автомодельной переменной efimova21.wmf зависимость (12) преобразуется к виду

efimova22.wmf (13)

где efimova23.wmf – единичная функция; efimova24.wmf – функция Хевисайда,

а задача (9)–(11) приобретает следующий вид:

efimova25.wmf 0 < z < 1; (14)

efimova26.wmf efimova27.wmf (15)

Решение задачи (14), (15) представляется в виде

efimova28.wmf (16)

При a = 0 с использованием выражения для d-функции в виде

efimova29.wmf (17)

получим

efimova30.wmf 0 < z < 1. (18)

Можно убедиться, что выражение (18) является точным решением задачи (9)–(11) для случая a = 0 [2].

После подстановки (13) в (16) получим следующее выражение для расчета температуры:

efimova31.wmf (19)

0 < z < 1; efimova32.wmf

Рассмотрим случай фильтрации, когда u(t) является произвольной функцией от времени

efimova33.wmf (20)

efimova34.wmf (21)

Построим фундаментальное решение уравнения (20) при ε = 0 и η = 0

efimova35.wmf t > t′, –∞ < x < ∞, efimova36.wmf (22)

Пусть efimova37.wmf

Тогда задача (22) сведется к следующей задаче:

efimova38.wmf efimova39.wmf

Решение задачи (22) имеет вид

efimova40.wmf

Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, получим решение задачи (22) в виде

efimova41.wmf (23)

Введем стандартизирующую функцию

efimova42.wmf (24)

Тогда при T0(x) = 0

efimova43.wmf (25)

При a > 0 с учетом того, что efimova44.wmf, получим из (25)

efimova45.wmf (26)

Для периодического движения жидкости с заданным полем скорости распределение давления описывается следующим выражением:

efimova46.wmf (27)

Для этого случая получим из (26)

efimova47.wmf (28)

где efimova48.wmf efimova49.wmf

После усреднения по периоду efimova50.wmf из (28) следует

efimova51.wmf (29)

Из полученного выражения видно, что колебательное движение жидкости в пористой среде приводит к ее монотонному разогреву. Необходимо отметить, что результаты расчетов температурных эффектов по полученным зависимостям удовлетворительно согласуются с экспериментом [3, 5]. Увеличение температуры происходит не только за счет эффекта Джоуля – Томсона, который по своей природе необратим, но и за счет обратимого адиабатического эффекта. Однако явление нарастания температуры со временем не противоречит обратимости адиабатического эффекта. Его природу легко понять, имея в виду, что жидкость или газ всегда движутся в сторону уменьшения давления. Отмеченная закономерность может быть использована для осуществления нагрева пористых сред.

Обозначения

Т – температура; a – температуропроводность; λ – теплопроводность; ε – коэффициент Джоуля – Томсона; η – адиабатический коэффициент; α – коэффициент термического расширения жидкости; efimova52.wmf – скорость фильтрации объем; mi – пористость; k – проницаемость среды; μi – динамический коэффициент вязкости i-й компоненты; cж – объемная теплоемкость жидкости; cп – объемная теплоемкость насыщенной пористой среды; ρi – плотность i-й компоненты; si – насыщенность i-й компоненты; u – конвективная скорость; t – время; κ – коэффициент пьезопроводности.