Научный журнал

Современные наукоемкие технологии

ISSN 1812-7320

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,940

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Ефимова Г.Ф. 1

---

1 Филиал ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет»

Основным направлением работы является изучение температурных эффектов, возникающих при движении вязкой жидкости в пористой среде в нестационарных полях давления. Попытка учета теплопроводности приводила к необходимости решения дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Примером такого процесса является фильтрация нефти в природных пластах. Рассматриваются возможные упрощения для распределения давления, позволяющие получить аналитические решения задачи с учетом теплопроводности. Одним из возможных упрощений является применение метода последовательной смены стационарных состояний с использованием автомодельности. Получены аналитические решения задач об изменении температуры при колебательном движении жидкости в горизонтальном теплоизолированном пористом стержне, которые показывают, что колебательное движение жидкости в пористой среде приводит к ее монотонному разогреву. Результаты расчетов температурных эффектов по полученным зависимостям удовлетворительно согласуются с экспериментом и могут быть использованы при дальнейшей разработке теории баротермического эффекта.

Статья в формате PDF

0 KB

температура

теплопроводность

вязкая жидкость

давление

пористая среда

автомодельность

1. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. – М.: Недра. 1984. – С. 211.

2. Ефимова Г.Ф., Шмелёва Н.Г. О применении интегрального представления при решении краевых задач // Прикладная физика и математика. Прикладная математика. – М.: Научтехлитиздат, 2014. – № 2. – С. 57–64.

3. Филиппов А.И. Скважинная термометрия переходных процессов. – Саратов: Саратов. гос. ун-т, 1989. – С. 116.

4. Чарный И.А. Метод последовательной смены стационарных состояний и его приложения к задачам нестационарной фильтрации жидкостей и газов // Известия АН СССР. – 1949. – № 3. – С. 323–342.

5. Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта. – М.: Недра, 1965. – С. 236.

6. Filippov, A.I., Efimova, G.F. The Theory of Barothermic Effect in Liquids with Due Regard for the Heat Conductiviti in the One-Dimensional Case // High Temperature. – 1997. – Vol. 35, № 4. – P. 549–552.

Многие прикладные задачи, с которыми сталкиваются инженеры, физики и специалисты по прикладной математике, не поддаются точному решению. Нелинейность уравнений движения, переменные коэффициенты, нелинейность граничных условий на известных или неизвестных границах сложной формы – причины, затрудняющие точное решение, в частности, температурных задач.

Рассмотрим процесс движения вязкой жидкости в пористой среде в нестационарных полях давления. Система уравнений, описывающих температурные процессы, в этом случае, имеет вид

(1)

(2)

(3)

Если рассматривается движение жидкости с данным полем скорости [1], то уравнение (1) несколько видоизменяется. В наиболее простом случае, когда скорость фильтрации

где – истинная скорость i-й компоненты, является только функцией времени и не зависит от пространственных координат, из (3) получим

(4)

Для линеаризованного уравнения состояния баротропной жидкости

(5)

При постоянных misi уравнение неразрывности преобразуется к виду

(6)

Подставив из уравнения (6) в (1), получим

(7)

Для горизонтального движения жидкости . Полагая для простоты движение однокомпонентным, подставим grad P из (2) в (7):

(8)

Последнее слагаемое учитывает эффект диссипации кинетической энергии жидкости, поскольку выражение описывает силу трения, а его произведение на – мощность силы трения.

Рассмотрим задачу об изменении температуры при колебательном движении жидкости в горизонтальном теплоизолированном пористом стержне. Будем считать температуры скелета пористой среды и насыщающей жидкости одинаковыми. Начальную температуру стержня примем за начало отсчета температуры. Математическая постановка задачи в этом случае имеет вид

x > 0, t > 0; (9)

(10)

(11)

где x1 – граница зоны температурных возмущений.

Рассмотрим возможные упрощения для распределения давления, позволяющие получить аналитические решения задачи с учетом теплопроводности. Одним из возможных упрощений является применение метода последовательной смены стационарных состояний с использованием автомодельности [4, 6]. Распределение давления в этом случае описывается в виде зависимости с подвижной правой границей:

(12)

После введения автомодельной переменной зависимость (12) преобразуется к виду

(13)

где – единичная функция; – функция Хевисайда,

а задача (9)–(11) приобретает следующий вид:

0 < z < 1; (14)

(15)

Решение задачи (14), (15) представляется в виде

(16)

При a = 0 с использованием выражения для d-функции в виде

(17)

получим

0 < z < 1. (18)

Можно убедиться, что выражение (18) является точным решением задачи (9)–(11) для случая a = 0 [2].

После подстановки (13) в (16) получим следующее выражение для расчета температуры:

(19)

0 < z < 1;

Рассмотрим случай фильтрации, когда u(t) является произвольной функцией от времени

(20)

(21)

Построим фундаментальное решение уравнения (20) при ε = 0 и η = 0

t > t′, –∞ < x < ∞, (22)

Пусть

Тогда задача (22) сведется к следующей задаче:

Решение задачи (22) имеет вид

Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, получим решение задачи (22) в виде

(23)

Введем стандартизирующую функцию

(24)

Тогда при T0(x) = 0

(25)

При a > 0 с учетом того, что , получим из (25)

(26)

Для периодического движения жидкости с заданным полем скорости распределение давления описывается следующим выражением:

(27)

Для этого случая получим из (26)

(28)

где

После усреднения по периоду из (28) следует

(29)

Из полученного выражения видно, что колебательное движение жидкости в пористой среде приводит к ее монотонному разогреву. Необходимо отметить, что результаты расчетов температурных эффектов по полученным зависимостям удовлетворительно согласуются с экспериментом [3, 5]. Увеличение температуры происходит не только за счет эффекта Джоуля – Томсона, который по своей природе необратим, но и за счет обратимого адиабатического эффекта. Однако явление нарастания температуры со временем не противоречит обратимости адиабатического эффекта. Его природу легко понять, имея в виду, что жидкость или газ всегда движутся в сторону уменьшения давления. Отмеченная закономерность может быть использована для осуществления нагрева пористых сред.

Обозначения

Т – температура; a – температуропроводность; λ – теплопроводность; ε – коэффициент Джоуля – Томсона; η – адиабатический коэффициент; α – коэффициент термического расширения жидкости; – скорость фильтрации объем; m_i – пористость; k – проницаемость среды; μ_i – динамический коэффициент вязкости i-й компоненты; c_ж – объемная теплоемкость жидкости; c_п – объемная теплоемкость насыщенной пористой среды; ρ_i – плотность i-й компоненты; s_i – насыщенность i-й компоненты; u – конвективная скорость; t – время; κ – коэффициент пьезопроводности.

Библиографическая ссылка