Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

ПРИМЕНЕНИЕ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПРОЦЕССАХ

Ефимова Г.Ф. 1
1 Филиал ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет»
Основным направлением работы является изучение температурных эффектов, возникающих при движении вязкой жидкости в пористой среде в нестационарных полях давления. Попытка учета теплопроводности приводила к необходимости решения дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Примером такого процесса является фильтрация нефти в природных пластах. Рассматриваются возможные упрощения для распределения давления, позволяющие получить аналитические решения задачи с учетом теплопроводности. Одним из возможных упрощений является применение метода последовательной смены стационарных состояний с использованием автомодельности. Получены аналитические решения задач об изменении температуры при колебательном движении жидкости в горизонтальном теплоизолированном пористом стержне, которые показывают, что колебательное движение жидкости в пористой среде приводит к ее монотонному разогреву. Результаты расчетов температурных эффектов по полученным зависимостям удовлетворительно согласуются с экспериментом и могут быть использованы при дальнейшей разработке теории баротермического эффекта.
температура
теплопроводность
вязкая жидкость
давление
пористая среда
автомодельность
1. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. – М.: Недра. 1984. – С. 211.
2. Ефимова Г.Ф., Шмелёва Н.Г. О применении интегрального представления при решении краевых задач // Прикладная физика и математика. Прикладная математика. – М.: Научтехлитиздат, 2014. – № 2. – С. 57–64.
3. Филиппов А.И. Скважинная термометрия переходных процессов. – Саратов: Саратов. гос. ун-т, 1989. – С. 116.
4. Чарный И.А. Метод последовательной смены стационарных состояний и его приложения к задачам нестационарной фильтрации жидкостей и газов // Известия АН СССР. – 1949. – № 3. – С. 323–342.
5. Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта. – М.: Недра, 1965. – С. 236.
6. Filippov, A.I., Efimova, G.F. The Theory of Barothermic Effect in Liquids with Due Regard for the Heat Conductiviti in the One-Dimensional Case // High Temperature. – 1997. – Vol. 35, № 4. – P. 549–552.

Многие прикладные задачи, с которыми сталкиваются инженеры, физики и специалисты по прикладной математике, не поддаются точному решению. Нелинейность уравнений движения, переменные коэффициенты, нелинейность граничных условий на известных или неизвестных границах сложной формы – причины, затрудняющие точное решение, в частности, температурных задач.

Рассмотрим процесс движения вязкой жидкости в пористой среде в нестационарных полях давления. Система уравнений, описывающих температурные процессы, в этом случае, имеет вид

efimova01.wmf (1)

efimova02.wmf (2)

efimova03.wmf (3)

Если рассматривается движение жидкости с данным полем скорости [1], то уравнение (1) несколько видоизменяется. В наиболее простом случае, когда скорость фильтрации

efimova04.wmf

где efimova05.wmf – истинная скорость i-й компоненты, является только функцией времени и не зависит от пространственных координат, из (3) получим

efimova06.wmf (4)

Для линеаризованного уравнения состояния баротропной жидкости

efimova07.wmf (5)

При постоянных misi уравнение неразрывности преобразуется к виду

efimova08.wmf (6)

Подставив efimova09.wmf из уравнения (6) в (1), получим

efimova10.wmf (7)

Для горизонтального движения жидкости efimova11.wmf. Полагая для простоты движение однокомпонентным, подставим grad P из (2) в (7):

efimova12.wmf (8)

Последнее слагаемое учитывает эффект диссипации кинетической энергии жидкости, поскольку выражение efimova13.wmf описывает силу трения, а его произведение на efimova14.wmf – мощность силы трения.

Рассмотрим задачу об изменении температуры при колебательном движении жидкости в горизонтальном теплоизолированном пористом стержне. Будем считать температуры скелета пористой среды и насыщающей жидкости одинаковыми. Начальную температуру стержня примем за начало отсчета температуры. Математическая постановка задачи в этом случае имеет вид

efimova15.wmf x > 0, t > 0; (9)

efimova16.wmf efimova17.wmf (10)

efimova18.wmf (11)

где x1 – граница зоны температурных возмущений.

Рассмотрим возможные упрощения для распределения давления, позволяющие получить аналитические решения задачи с учетом теплопроводности. Одним из возможных упрощений является применение метода последовательной смены стационарных состояний с использованием автомодельности [4, 6]. Распределение давления в этом случае описывается в виде зависимости с подвижной правой границей:

efimova19.wmf efimova20.wmf (12)

После введения автомодельной переменной efimova21.wmf зависимость (12) преобразуется к виду

efimova22.wmf (13)

где efimova23.wmf – единичная функция; efimova24.wmf – функция Хевисайда,

а задача (9)–(11) приобретает следующий вид:

efimova25.wmf 0 < z < 1; (14)

efimova26.wmf efimova27.wmf (15)

Решение задачи (14), (15) представляется в виде

efimova28.wmf (16)

При a = 0 с использованием выражения для d-функции в виде

efimova29.wmf (17)

получим

efimova30.wmf 0 < z < 1. (18)

Можно убедиться, что выражение (18) является точным решением задачи (9)–(11) для случая a = 0 [2].

После подстановки (13) в (16) получим следующее выражение для расчета температуры:

efimova31.wmf (19)

0 < z < 1; efimova32.wmf

Рассмотрим случай фильтрации, когда u(t) является произвольной функцией от времени

efimova33.wmf (20)

efimova34.wmf (21)

Построим фундаментальное решение уравнения (20) при ε = 0 и η = 0

efimova35.wmf t > t′, –∞ < x < ∞, efimova36.wmf (22)

Пусть efimova37.wmf

Тогда задача (22) сведется к следующей задаче:

efimova38.wmf efimova39.wmf

Решение задачи (22) имеет вид

efimova40.wmf

Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, получим решение задачи (22) в виде

efimova41.wmf (23)

Введем стандартизирующую функцию

efimova42.wmf (24)

Тогда при T0(x) = 0

efimova43.wmf (25)

При a > 0 с учетом того, что efimova44.wmf, получим из (25)

efimova45.wmf (26)

Для периодического движения жидкости с заданным полем скорости распределение давления описывается следующим выражением:

efimova46.wmf (27)

Для этого случая получим из (26)

efimova47.wmf (28)

где efimova48.wmf efimova49.wmf

После усреднения по периоду efimova50.wmf из (28) следует

efimova51.wmf (29)

Из полученного выражения видно, что колебательное движение жидкости в пористой среде приводит к ее монотонному разогреву. Необходимо отметить, что результаты расчетов температурных эффектов по полученным зависимостям удовлетворительно согласуются с экспериментом [3, 5]. Увеличение температуры происходит не только за счет эффекта Джоуля – Томсона, который по своей природе необратим, но и за счет обратимого адиабатического эффекта. Однако явление нарастания температуры со временем не противоречит обратимости адиабатического эффекта. Его природу легко понять, имея в виду, что жидкость или газ всегда движутся в сторону уменьшения давления. Отмеченная закономерность может быть использована для осуществления нагрева пористых сред.

Обозначения

Т – температура; a – температуропроводность; λ – теплопроводность; ε – коэффициент Джоуля – Томсона; η – адиабатический коэффициент; α – коэффициент термического расширения жидкости; efimova52.wmf – скорость фильтрации объем; mi – пористость; k – проницаемость среды; μi – динамический коэффициент вязкости i-й компоненты; cж – объемная теплоемкость жидкости; cп – объемная теплоемкость насыщенной пористой среды; ρi – плотность i-й компоненты; si – насыщенность i-й компоненты; u – конвективная скорость; t – время; κ – коэффициент пьезопроводности.


Библиографическая ссылка

Ефимова Г.Ф. ПРИМЕНЕНИЕ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПРОЦЕССАХ // Современные наукоемкие технологии. – 2016. – № 6-1. – С. 28-32;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=35972 (дата обращения: 01.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074