Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это обусловлено как непосредственными связями уравнений смешанного типа с проблемами теории сингулярных интегральных уравнений, теорией интегральных преобразований и специальных функций, так и прикладными задачами околозвуковой газовой динамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, магнитной гидродинамики, математической биологии и в других областях.
Цель исследования
Актуальным продолжением этих исследований является постановка и доказательство однозначной разрешимости задачи со смещением для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с перпендикулярными линиями параболического вырождения.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнение смешанного типа
(1)
в конечной односвязной области D плоскости переменных 
, ограниченной жордановой кривой А с концами в точках А(1,0), B(0,1), расположенной в первом квадранте x > 0, y > 0, и характеристиками BC: y – x = 1, CD: x + y = 0, DA: x – y = 1 уравнения (1).
Обозначим через 
– гиперболические части смешанной области D, а через
– эллиптическую часть, 
– интервал 0 < x < 1 (0 < y < 1) прямой y = 0 (x = 0).
Задача. Найти регулярное в области D решение U(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:
(2)
(3)
(4)
где φ(x, y), ai(t), bi(t), ci(t), – заданные непрерывные функции, причем
, 
,
где h > 0.
Под регулярным в области D решением уравнения (1) будет пониматься функция U(x, y) из класса 
удовлетворяющая уравнению (1) и такая, что 
могут обращаться в бесконечность порядка ниже единицы на концах интервалов 
.
Задача (1)–(4) относится к классу краевых задач со смещением [6], исследованием которых для уравнений смешанного типа с одной и двумя линиями вырождения занимались многие авторы [1–10]. Подробная библиография работ содержится в [1, 6].
Единственность решения задачи. Положим,
, 
; (5)
, 
. (6)
Решение задачи Коши (5) в области D1 для уравнения (1) имеет вид
(7)
решение задачи (6) в области D2
(8)
Удовлетворяя (7), (8) условиям (3), (4) с учетом
,
будем иметь
(9)
(10)
где 1(0) и 2(0) определяются из (3), (4):
Соотношение между τi(t) и vi(t) из гиперболических частей D1 и D2 смешанной области D (9), (10) можно переписать в виде:
, (11)
где при i = 1, t = x, при i = 2, t = y;
Теорема. В области D не может существовать более одного решения задачи (1)–(4), если выполнены условия:
, (12)
, (13)
. (14)
Действительно, интегрируя тождество
по области D3, получим соотношение
. (15)
Полагая 
; 
, докажем, что
где 
.
Действительно, пусть выполняется условие (14) теоремы единственности. Тогда (11) перепишем в виде
где
Рассмотрим
Принимая во внимание, что
,
,
будем иметь
Последнее в результате интегрирования по частям примет вид:
Легко видеть, что 
Таким образом, при выполнении условий (12), (13) теоремы единственности будет выполняться 
Отсюда следует единственность решения задачи.
Существование решения задачи. В области D3 рассмотрим задачу Холмгрена
решение которой задается формулой [9]:
(16)
где n – внутренняя нормаль.
В случае, когда σ совпадает с дугой нормального контура х2 + y2 = 1, функция
где
является функцией Грина задачи Холмгрена для решения уравнения (1) в области D3.
Полагая в (16) сначала y = 0, а затем x = 0, получаем
, (17)
где
Равенства (17) являются функциональными соотношениями, принесенными из эллиптической части D3 смешанной области D на Ji. Соотношения из гиперболических частей смешанной области имеют вид (11).
Исключая τi(t) из (11), (17), для определения неизвестных функций vi(t) получим систему интегральных уравнений:
, (18)
где
Система (18) путем замены неизвестных функций
c учетом тождеств
и замены переменных
, 
приводится к виду
, (19)
где
,
,
,
Решения системы (19) существуют и в требуемом классе функций и определяются формулами [5, 9]:
После определения неизвестных функций ρi(y) находятся v1(x) и v2(x). По найденным vi(x) определяются τi(t) из (11) и решение задачи (1)–(4) как решение задачи Холмгрена в D3 и решение задач Коши в D1 и D2.