Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ДВУМЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ

Водахова В.А. 1 Яхутлова М.Р. 1 Тлимахова Р.Г. 1
1 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова
Важным этапом в развитии теории краевых задач стали нелокальные задачи нового типа, названные краевыми задачами со смещением [6]. Они являются существенным обобщением задачи Трикоми, содержат широкий класс корректных самосопряженных задач и имеют многомерные аналоги. Следует отметить, что большинство работ посвящено исследованию краевых задач для линейных уравнений смешанного типа с одной линией вырождения, и лишь малая часть их [7, 9] посвящена изучению локальных и нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения. Для уравнения смешанного типа с перпендикулярными линиями вырождения исследована нелокальная задача, когда на эллиптической части границы области задано условие Дирихле, а на гиперболических частях нелокальные условия, поточечно связывающие значения решения на характеристиках. При ограничениях неравенственного типа на известные функции доказана теорема единственности. Вопрос существования решения задачи редуцирован к вопросу разрешимости системы сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши, явное решение которой выписано.
нелокальная задача
регулярное решение
задача Коши
уравнение Фредгольма
сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 448 с.
2. Водахова В.А., Нахушева Ф.М., Гучаева З.Х. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для уравнения Бицадзе – Лыкова. Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1–2. – С. 222–227.
3. Водахова В.А., Шамеева К.А. Задача со смещением для системы уравнений первого порядка Лыкова. Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2013. – № 2(52). – С. 3–7.
4. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. – 1978. – Т. 14, № 1. – С. 50–65.
5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Физматгиз, 1962. – 511 с.
6. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука, 2006. – 287 с.
7. Репин О.А., Кумыкова С.К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». – 2011. – № 4(25). – С. 25–36.
8. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». – 2013. – № 1(30). – С. 150–158.
9. Салахитдинов М.С., Ташмирзаев Ю.У. Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения. – Ташкент: ФАН, 1977.
10. Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков М.Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные // Доклады национальной академии наук Украины. – 1997. – № 12. – С. 47–54.

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это обусловлено как непосредственными связями уравнений смешанного типа с проблемами теории сингулярных интегральных уравнений, теорией интегральных преобразований и специальных функций, так и прикладными задачами околозвуковой газовой динамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, магнитной гидродинамики, математической биологии и в других областях.

Цель исследования

Актуальным продолжением этих исследований является постановка и доказательство однозначной разрешимости задачи со смещением для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с перпендикулярными линиями параболического вырождения.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение смешанного типа

vod01.wmf (1)

в конечной односвязной области D плоскости переменных vod02.wmf, ограниченной жордановой кривой А с концами в точках А(1,0), B(0,1), расположенной в первом квадранте x > 0, y > 0, и характеристиками BC: y – x = 1, CD: x + y = 0, DA: x – y = 1 уравнения (1).

Обозначим через vod03.wmf vod04.wmf – гиперболические части смешанной области D, а черезvod05.wmf – эллиптическую часть, vod06.wmf – интервал 0 < x < 1 (0 < y < 1) прямой y = 0 (x = 0).

Задача. Найти регулярное в области D решение U(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

vod07.wmf (2)

vod08a.wmf

vod08b.wmf (3)

vod09a.wmf

vod09b.wmf (4)

где φ(x, y), ai(t), bi(t), ci(t), – заданные непрерывные функции, причем

vod10.wmf

vod11.wmf, vod12.wmf,

vod13.wmf где h > 0.

Под регулярным в области D решением уравнения (1) будет пониматься функция U(x, y) из класса vod14.wmf удовлетворяющая уравнению (1) и такая, что vod15.wmf vod16.wmf могут обращаться в бесконечность порядка ниже единицы на концах интервалов vod17.wmf.

Задача (1)–(4) относится к классу краевых задач со смещением [6], исследованием которых для уравнений смешанного типа с одной и двумя линиями вырождения занимались многие авторы [1–10]. Подробная библиография работ содержится в [1, 6].

Единственность решения задачи. Положим,

vod18.wmf, vod19.wmf; (5)

vod20.wmf, vod21.wmf. (6)

Решение задачи Коши (5) в области D1 для уравнения (1) имеет вид

vod22.wmf (7)

решение задачи (6) в области D2

vod23.wmf (8)

Удовлетворяя (7), (8) условиям (3), (4) с учетом

vod24.wmf,

будем иметь

vod25.wmf

vod26.wmf (9)

vod27.wmf

vod28.wmf (10)

где 1(0) и 2(0) определяются из (3), (4):

vod29.wmf

vod30.wmf

Соотношение между τi(t) и vi(t) из гиперболических частей D1 и D2 смешанной области D (9), (10) можно переписать в виде:

vod31a.wmf, (11)

где при i = 1, t = x, при i = 2, t = y;

vod33.wmf vod34.wmf

Теорема. В области D не может существовать более одного решения задачи (1)–(4), если выполнены условия:

vod35.wmf, (12)

vod36.wmf, (13)

vod37.wmf. (14)

Действительно, интегрируя тождество

vod38.wmf

по области D3, получим соотношение

vod39.wmf. (15)

Полагая vod40.wmf; vod41.wmf, докажем, что

vod42.wmf где vod43.wmf.

Действительно, пусть выполняется условие (14) теоремы единственности. Тогда (11) перепишем в виде

vod44.wmf

где

vod45.wmf

Рассмотрим

vod46.wmf

Принимая во внимание, что

vod47.wmf,

vod48.wmf,

будем иметь

vod49.wmf

Последнее в результате интегрирования по частям примет вид:

vod50.wmfvod51.wmf

Легко видеть, что vod52.wmf Таким образом, при выполнении условий (12), (13) теоремы единственности будет выполняться vod53.wmf

Отсюда следует единственность решения задачи.

Существование решения задачи. В области D3 рассмотрим задачу Холмгрена

vod54.wmf vod55.wmf vod56.wmf

решение которой задается формулой [9]:

vod57.wmfvod58.wmf (16)

где n – внутренняя нормаль.

В случае, когда σ совпадает с дугой нормального контура х2 + y2 = 1, функция

vod59.wmf

где

vod60.wmf

является функцией Грина задачи Холмгрена для решения уравнения (1) в области D3.

Полагая в (16) сначала y = 0, а затем x = 0, получаем

vod61.wmfvod62.wmf, (17)

где

vod63.wmf

Равенства (17) являются функциональными соотношениями, принесенными из эллиптической части D3 смешанной области D на Ji. Соотношения из гиперболических частей смешанной области имеют вид (11).

Исключая τi(t) из (11), (17), для определения неизвестных функций vi(t) получим систему интегральных уравнений:

vod64.wmf

vod65.wmf, (18)

где

vod66.wmf

vod67.wmf

Система (18) путем замены неизвестных функций

vod68a.wmf

vod68b.wmf

c учетом тождеств

vod69.wmf

vod70.wmf

и замены переменных

vod71.wmf, vod72.wmf

приводится к виду

vod73.wmf, (19)

где

vod74.wmf,

vod75.wmf,

vod76.wmf,

vod77.wmf

Решения системы (19) существуют и в требуемом классе функций и определяются формулами [5, 9]:

vod78.wmf

После определения неизвестных функций ρi(y) находятся v1(x) и v2(x). По найденным vi(x) определяются τi(t) из (11) и решение задачи (1)–(4) как решение задачи Холмгрена в D3 и решение задач Коши в D1 и D2.


Библиографическая ссылка

Водахова В.А., Яхутлова М.Р., Тлимахова Р.Г. НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ДВУМЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ // Современные наукоемкие технологии. – 2016. – № 2-3. – С. 416-420;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=35644 (дата обращения: 22.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074