Научный журнал

Современные наукоемкие технологии

ISSN 1812-7320

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,940

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Водахова В.А. 1 Яхутлова М.Р. 1 Тлимахова Р.Г. 1

---

1 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова

Важным этапом в развитии теории краевых задач стали нелокальные задачи нового типа, названные краевыми задачами со смещением [6]. Они являются существенным обобщением задачи Трикоми, содержат широкий класс корректных самосопряженных задач и имеют многомерные аналоги. Следует отметить, что большинство работ посвящено исследованию краевых задач для линейных уравнений смешанного типа с одной линией вырождения, и лишь малая часть их [7, 9] посвящена изучению локальных и нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения. Для уравнения смешанного типа с перпендикулярными линиями вырождения исследована нелокальная задача, когда на эллиптической части границы области задано условие Дирихле, а на гиперболических частях нелокальные условия, поточечно связывающие значения решения на характеристиках. При ограничениях неравенственного типа на известные функции доказана теорема единственности. Вопрос существования решения задачи редуцирован к вопросу разрешимости системы сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши, явное решение которой выписано.

Статья в формате PDF

0 KB

нелокальная задача

регулярное решение

задача Коши

уравнение Фредгольма

сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши

1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 448 с.

2. Водахова В.А., Нахушева Ф.М., Гучаева З.Х. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для уравнения Бицадзе – Лыкова. Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1–2. – С. 222–227.

3. Водахова В.А., Шамеева К.А. Задача со смещением для системы уравнений первого порядка Лыкова. Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2013. – № 2(52). – С. 3–7.

4. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. – 1978. – Т. 14, № 1. – С. 50–65.

5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Физматгиз, 1962. – 511 с.

6. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука, 2006. – 287 с.

7. Репин О.А., Кумыкова С.К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». – 2011. – № 4(25). – С. 25–36.

8. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». – 2013. – № 1(30). – С. 150–158.

9. Салахитдинов М.С., Ташмирзаев Ю.У. Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения. – Ташкент: ФАН, 1977.

10. Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков М.Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные // Доклады национальной академии наук Украины. – 1997. – № 12. – С. 47–54.

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это обусловлено как непосредственными связями уравнений смешанного типа с проблемами теории сингулярных интегральных уравнений, теорией интегральных преобразований и специальных функций, так и прикладными задачами околозвуковой газовой динамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, магнитной гидродинамики, математической биологии и в других областях.

Цель исследования

Актуальным продолжением этих исследований является постановка и доказательство однозначной разрешимости задачи со смещением для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с перпендикулярными линиями параболического вырождения.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение смешанного типа

(1)

в конечной односвязной области D плоскости переменных , ограниченной жордановой кривой А с концами в точках А(1,0), B(0,1), расположенной в первом квадранте x > 0, y > 0, и характеристиками BC: y – x = 1, CD: x + y = 0, DA: x – y = 1 уравнения (1).

Обозначим через – гиперболические части смешанной области D, а через – эллиптическую часть, – интервал 0 < x < 1 (0 < y < 1) прямой y = 0 (x = 0).

Задача. Найти регулярное в области D решение U(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

(2)

(3)

(4)

где φ(x, y), ai(t), bi(t), ci(t), – заданные непрерывные функции, причем

, ,

где h > 0.

Под регулярным в области D решением уравнения (1) будет пониматься функция U(x, y) из класса удовлетворяющая уравнению (1) и такая, что могут обращаться в бесконечность порядка ниже единицы на концах интервалов .

Задача (1)–(4) относится к классу краевых задач со смещением [6], исследованием которых для уравнений смешанного типа с одной и двумя линиями вырождения занимались многие авторы [1–10]. Подробная библиография работ содержится в [1, 6].

Единственность решения задачи. Положим,

, ; (5)

, . (6)

Решение задачи Коши (5) в области D1 для уравнения (1) имеет вид

(7)

решение задачи (6) в области D2

(8)

Удовлетворяя (7), (8) условиям (3), (4) с учетом

,

будем иметь

(9)

(10)

где 1(0) и 2(0) определяются из (3), (4):

Соотношение между τi(t) и vi(t) из гиперболических частей D1 и D2 смешанной области D (9), (10) можно переписать в виде:

, (11)

где при i = 1, t = x, при i = 2, t = y;

Теорема. В области D не может существовать более одного решения задачи (1)–(4), если выполнены условия:

, (12)

, (13)

. (14)

Действительно, интегрируя тождество

по области D3, получим соотношение

. (15)

Полагая ; , докажем, что

где .

Действительно, пусть выполняется условие (14) теоремы единственности. Тогда (11) перепишем в виде

где

Рассмотрим

Принимая во внимание, что

,

,

будем иметь

Последнее в результате интегрирования по частям примет вид:

Легко видеть, что Таким образом, при выполнении условий (12), (13) теоремы единственности будет выполняться

Отсюда следует единственность решения задачи.

Существование решения задачи. В области D3 рассмотрим задачу Холмгрена

решение которой задается формулой [9]:

(16)

где n – внутренняя нормаль.

В случае, когда σ совпадает с дугой нормального контура х2 + y2 = 1, функция

где

является функцией Грина задачи Холмгрена для решения уравнения (1) в области D3.

Полагая в (16) сначала y = 0, а затем x = 0, получаем

, (17)

где

Равенства (17) являются функциональными соотношениями, принесенными из эллиптической части D3 смешанной области D на Ji. Соотношения из гиперболических частей смешанной области имеют вид (11).

Исключая τi(t) из (11), (17), для определения неизвестных функций vi(t) получим систему интегральных уравнений:

, (18)

где

Система (18) путем замены неизвестных функций

c учетом тождеств

и замены переменных

,

приводится к виду

, (19)

где

,

,

,

Решения системы (19) существуют и в требуемом классе функций и определяются формулами [5, 9]:

После определения неизвестных функций ρi(y) находятся v1(x) и v2(x). По найденным vi(x) определяются τi(t) из (11) и решение задачи (1)–(4) как решение задачи Холмгрена в D3 и решение задач Коши в D1 и D2.

Библиографическая ссылка