При разборе завалов леса валочно-пакетирующей машиной часто возникают режимы аварийного торможения стрелы манипулятора при подъеме или опускании горизонтально расположенного дерева, вследствие чего происходят колебания масс динамической системы значительных амплитуд. На рис.1 представлена расчетная схема системы «ВПМ – предмет труда – дерево» для исследования данного режима работы.
Рис. 1. Расчетная схема динамической системы «ВПМ – предмет труда – дерево». Принятые обозначения: J1, J2, J3 – приведенные моменты инерции относительно оси, проходящей через т.K, соответственно ВПМ, манипулятора с ЗСУ и дерева; ?1, ?2 и ?3 – угловые координаты соответственно масс с моментами инерции J1, J2 и J3; с12 – угловая жесткость манипулятора; с23 – угловая жёсткость дерева; G – сила тяжести ВПМ; Gд – сила тяжести дерева; Р – усилие на штоках гидроцилиндров привода стрелы; r – плечо силы Р
Кинетическая энергия системы
Потенциальная энергия системы
В соответствии с уравнением Лагранжа IIрода имеем
(1)
Здесь Mд=P?r; MС1=G?l1; MС2=Gд?l2, l2 – расстояние от центра тяжести дерева до оси поворота ВПМ (т.К).
Умножим уравнение (1) системы (1) на J2, уравнение (2) на J1, уравнение (2) на J3, а уравнение (3) на J2 и соответственно вычтем из первых вторые:
или, преобразуя, получим
(2)
(3)
Выразим из уравнения (2) 
и 
Значения 
и 
подставим в уравнение (3):
Преобразуя, получим
Или окончательно
, (4)
где 
Введя новую переменную
получим однородное уравнение
(5)
Его характеристическое уравнение имеет вид
(6)
Решением уравнения (5) будет
где
Пример. Исходные данные ВПМ ЛП-19А при L=5м; J1=37500кг?м2; с12=12500?103Н?м; с23=1125?103; J2=43000кг?м2; J3=247570кг?м2; Gд=20465Н; hТ=12м.
1.Находим коэффициенты дифференциального уравнения
A=654,798с–2;B=11597,45с–4.
2.Определяем частоты колебаний
k1=25,23с–1; k2=4,27с–1.
3.Для нахождения постоянных интегрирования задаемся начальными условиями.
Для режима торможения динамической системы при подъеме дерева стрелой
При этих начальных условиях выражения для определения постоянных имеют вид
С1=С3=0;
Примем 
и tT=0,15c.
С2=0,000432рад; С4= –0,000432рад.
Определяем максимальную деформацию упругой связи «с12» и добавочный динамический момент
На рис.2 представлен график изменения деформации упругой связи «с12».
Из графика видно, что
то есть
Рассмотрим нагруженность силовой установки ВПМ в режиме разгона (торможения) при подъеме дерева стрелой (рис.3).
Кинетическая энергия системы
Потенциальная энергия системы
Рис. 2. График изменения деформации упругой связи «с12» в режиме торможения системы
а б
Рис. 3. Расчетная схема динамической системы при подъеме дерева стрелой: а – исходная; б – эквивалентная. Принятые обозначения: J1 – приведённый момент инерции кривошипно-шатунного механизма, маховика и сцепления; J2, J3 – приведенные к коленчатому валу моменты инерции соответственно манипулятора с ЗСУ и дерева; ?1, ?2, ?3 – обобщенные угловые координаты масс соответственно с моментами инерции J1, J2, J3; с12 – крутильная жесткость коленчатого вала, гидропередачи и манипулятора; с23 – приведенная крутильная жесткость дерева; МД – приведенный крутильный момент гидропривода; Мс – приведенный момент сопротивления; Р – усилие на штоке (штоках) гидроприводов подъема (опускания) стрелы; r – плечо силы Р; Gд – сила тяжести дерева
В выражении кинетической энергии
где iП – передаточное число 
.
В соответствии с уравнением Лагранжа IIрода имеем следующую систему уравнений:
(7)
Произведя действия как и вп.1, получим аналогичное дифференциальное уравнение:
(8)
где коэффициенты А, В подобны коэффициентам уравнения (4).
Коэффициент С будет следующий:
Решение уравнения (8) и частотное выражение будут также подобны решению уравнения (4).
Пример.
L=5м; V=2,0 м3; hТ=1,2м; J1=4,05кг?м2; 
iп=785; с12=30,7Н?м; 
J2=0,083кг?м2; 
J2=0,402кг?м2; с23=1,825Н?м.
1.Определяем коэффициенты дифференциального уравнения (4):
Соответственно, частоты колебаний нагрузки на силовую установку будут равны
k1=19,98с–1; k2=2,17с–1.
2.Определяем постоянные интегрирования С1…С4.
В соответствии с режимом работы принимаем начальные условия:
Примем 
и tp=0,15с.
Тогда С2= –0,265рад; С4=0,265рад.
3.Находим динамическую нагрузку на силовую установку ВПМ:
–деформация упругой связи с12
θ1max=0,529рад (рис.4);
Рис. 4. График изменения деформации упругой связи «с12» при разгоне динамической системы (
, tp=0,15с)
–динамический добавочный момент на коленчатый вал
–статический момент, приведенный к коленчатому валу
Отбираемая мощность от силовой установки на привод гидронасоса
4.Определяем снижение частоты вращения коленчатого вала по формуле (1)
где nном – номинальная частота вращения коленчатого вала; MΣ – суммарный момент.
В данном случае
MΣ=579,208+16,240=595,348Н?м.
Таким образом
Режим аварийного торможения стрелы манипулятора при подъеме (опускании) горизонтально расположенного дерева сопровождается добавочной динамической нагрузкой на машину. Невысокие значения коэффициентов динамичности определяются большим статистическим моментом в этом случае. При этом снижение частоты вращения коленчатого вала двигателя происходит в пределах допустимых значений.
Представленные математические модели динамических систем «ВПМ – предмет труда – дерево» и «Силовая установка – предмет труда – дерево» позволяют определить соответственно динамическую нагрузку на манипулятор и динамический момент на коленчатом валу двигателя на стадии разработки конструкторской документации.