Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,007

NUMERICAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF PROPAGATION OF NON-STATIONARY ELASTIC WAVES STRESSES IN REINFORCED ROUND HOLE

Musaev V.K. 1
1 MESI
1194 KB
Discusses some of the issues of numerical determination of stress waves supported in a round hole. For the solution of two-dimensional planar dynamic problem of elasticity theory with initial and boundary conditions using the method of finite elements in the movement. The problem is solved by the method of end-to-end account, without allocation of breaks. The basic correlations of the finite element method is obtained using the principle of possible displacements. Based on the finite element method in the movements of the developed algorithm and software package for solving wave problems of elasticity theory. Software complex allows to solve complex problems in unsteady effects on complex objects. Contains the mapping of the grid voltages with the results of the analytical solution.
mathematical modeling
contour voltage
supported by a round hole
the Heaviside function
the dynamic theory of elasticity
displacement
velocity
displacement
acceleration
finite element method
finite elements of the first order
the contour of the end element
principle of virtual displacements
the homogeneous algorithm
complex programs
anchor point
an explicit two-layer scheme
1. Gernet K., Kruze-Paskal D. Neustanovivshayasya reaktsiya nakhodyashchegosya v uprugoy srede krugovogo tsilindra proizvolnoy tolshchiny na deystvie ploskoy volny rasshireniya // Prikladnaya mekhanika. Trudy amerikanskogo obshchestva inzhenerov-mekhanikov. – Ser. E. – 1966. – T. 33, № 3. – pp. 48–60.
2. Musaev V.K. Chislennoe reshenie volnovykh zadach teorii uprugosti i plastichnosti // Vestnik Rossiyskogo universiteta druzhby narodov. Seriya prikladnaya matematika i informatika. – 1997. – № 1. – pp. 87–110.
3. Musaev V.K. O razrusheniyakh v slozhnykh deformiruemykh telakh vyzvannykh impulsnymi vozdeystviyami // Vestnik Rossiyskogo universiteta druzhby narodov. Seriya problemy kompleksnoy bezopasnosti. – 2006. – № 1. – pp. 36–42.
4. Musaev V.K. Ob otsenke dostovernosti i tochnosti chislennogo resheniya nestatsionarnykh dinamicheskikh zadach // Vestnik Rossiyskogo universiteta druzhby narodov. Seriya problemy kompleksnoy bezopasnosti. – 2007. – № 3. – pp. 48–60.
5. Musaev V.K. Chislennoe, analiticheskoe i eksperi­mentalnoe reshenie zadachi o kontsentratsii nestatsionarnykh dinamicheskikh napryazheniy v svobodnom kruglom otverstii // Vestnik Rossiyskogo universiteta druzhby narodov. Seriya problemy kompleksnoy bezopasnosti. – 2008. – № 4. – pp. 67–71.
6. Musaev V.K. Otsenka dostovernosti i tochnosti rezultatov vychislitelnogo eksperimenta pri reshenii zadach nestatsionarnoy volnovoy teorii uprugosti // Nauchnyy zhurnal problem kompleksnoy bezopasnosti. – 2009. – № 1. – pp. 55–80.
7. Musaev V.K. Matematicheskoe modelirovanie interferentsii nestatsionarnykh uprugikh voln napryazheniy v vide treugolnogo impulsa ot svobodnoy poverkhnosti plastinki / V.K. Musaev, S.V. Sitnik, A.A. Tarasenko, V.G. Sitnik, M.V. Zyubina // Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya. – 2014. – № 4. – URL: www.science-education.ru/118-14118 (data obrashcheniya: 21.09.2014).
8. Musaev V.K. Matematicheskoe modelirovanie otrazheniya nestatsionarnykh uprugikh voln napryazheniy v vide treugolnogo impulsa ot svobodnoy poverkhnosti plastinki / V.K. Musaev, S.V. Sitnik, A.A. Tarasenko, V.G. Sitnik, M.V. Zyubina // Fundamentalnye issledovaniya. – 2014. – № 9 (chast 7). – pp. 1466–1470; URL: www.rae.ru/fs/?section= content&op=show_article&article_id=10004353 (data obrashcheniya: 21.09.2014).
9. Musaev V.K. O dostovernosti kompyuternogo modeli­rovaniya nestatsionarnykh uprugikh voln napryazheniy v deformiruemykh telakh slozhnoy formy // Mezhdunarodnyy zhurnal prikladnykh i fundamental’nykh issledovaniy. – 2014. – № 11 – pp. 10–14.
10. Musaev V.K. Matematicheskoe modelirovanie napry­azhennogo sostoyaniya tekhnicheskikh obektov s pomoshchyu volnovoy teorii seysmicheskoy bezopasnosti // Problemy bezopasnosti rossiyskogo obshchestva. – 2014. – № 3–4. – pp. 206–218.

Постановка задачи при упругих волновых воздействиях

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями – используем метод конечных элементов в перемещениях. Постановки, численные методы, технология программных комплексов и анализ результатов решения нестационарных динамических задач для областей сложной формы рассмотрены в работах [1–10].

Разработка методики и алгоритма

Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Для решения линейных дифференциальных уравнений используем метод конечных элементов в перемещениях.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

musa2.wmf, musa3.wmf, musa4.wmf,(1)

где musa5.wmf – диагональная матрица инерции; musa6.wmf – матрица жесткости; musa7.wmf – вектор узловых упругих перемещений; musa8.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; musa9.wmf – вектор узловых упругих ускорений; musa10.wmf – вектор внешних узловых упругих сил.

Интегрируя по временной координате соотношение (1) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

musa11.wmf,

musa12.wmf. (2)

Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложения определенных условий на отношение шагов по временной координате musa13.wmf и по пространственным координатам, а именно

musa14.wmf musa15.wmf, (3)

где musa16.wmf – длина стороны конечного элемента.

Устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках исследуем с помощью численного эксперимента. Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных динамических воздействиях на уникальные сооружения. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.

В работах [2–10] приведена информация о численном моделировании волн напряжений.

Определение нестационарных упругих волн напряжений в подкрепленном круглом отверстии

Рассматривается задача о воздействии плоской продольной упругой волны на подкрепленное круглое отверстие. Начальные условия приняты нулевыми. В сечении на расстоянии 1,6H (рис. 1) при musa17.wmfmusa18.wmf скорость упругого перемещения musa19.wmf изменяется линейно от 0 до musa20.wmf а при musa21.wmfmusa22.wmf Внутренний контур подкрепленного отверстия musa23.wmf предполагается свободным от нагрузок при musa24.wmf.

mus1.tif

Рис. 1. Постановка задачи для подкрепленного круглого отверстия

На границе подкрепления и среды EFGH приняты условия непрерывности перемещений. Граничные условия для контура IJKL при musa25.wmf musa26.wmf Отраженные волны от контура IJKL не доходят до исследуемых точек при musa27.wmf. Расчеты проведены при следующих исходных данных:

Н = 0,2 м; musa28.wmf0,186∙105 с; musa29.wmf0,72∙105 МПа (0,72∙106 кгс/см2); musa30.wmf0,3; musa31.wmf0,275∙104 кг/м3 (0,275∙10-5 кгс∙с2/см4); musa32.wmf5364 м/с; musa33.wmf0,407∙105 с; musa34.wmf0,36∙104 МПа (0,36∙105 кгс/см2); musa35.wmf0,36; musa36.wmf0,122∙104 кг/м3 (0,122∙10-5 кгс∙с2/см4); musa37.wmf1841 м/с; musa38.wmf–0,1 МПа (–1 кгс/см2) (musa39.wmf – подкрепление; musa41.wmf – среда).

Исследуемая расчетная область имеет 1536 узловых точек. Внутренний контур подкрепления аппроксимирован 28 узловыми точками. По толщине подкрепление аппроксимировано двумя узловыми точками.

mus2.tif

Рис. 2. Изменение упругого контурного напряжения musa42.wmf в точке 1 во времени musa44.wmf на внутреннем контуре подкрепленного круглого отверстия при воздействии плоской продольной упругой волны типа функции Хевисайда

mus3.tif

Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения musa45.wmf в точке 1 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa46.wmf

mus4.tif

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения musa47.wmf в точке 2 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa48.wmf

mus5.tif

Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения musa49.wmf в точке 3 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa50.wmf

mus6.tif

Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения musa51.wmf в точке 4 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa52.wmf

mus7.tif

Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения musa53.wmf в точке 5 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa54.wmf

mus8.tif

Рис. 8. Изменение упругого контурного напряжения musa55.wmf в точке 6 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa56.wmf

mus9.tif

Рис. 9. Изменение упругого контурного напряжения musa57.wmf в точке 7 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa58.wmf

mus10.tif

Рис. 10. Изменение упругого контурного напряжения musa59.wmf в точке 8 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa60.wmf

mus11.tif

Рис. 11. Изменение упругого контурного напряжения musa61.wmf в точке 9 на контуре подкрепленного круглого отверстия во времени musa62.wmf

На рис. 2 показано изменение контурного напряжения musa63.wmf в точке 1 во времени musa64.wmf (musa65.wmf 1 – результаты аналитического решения [1]; 2 – результаты численного решения, полученные методом конечных элементов [2, 4 и 6]. Расхождение для максимального упругого контурного напряжения составляет 12 %. Результаты исследований показаны на рис. 3–11 в виде графиков изменения контурных напряжений musa67.wmf (musa68.wmf) в точках 1–9 во времени musa69.wmf при воздействии функции Хевисайда. Максимальной величины сжимающее контурное напряжение достигает в точке 1 почти за два прохода фронтом продольной волны диаметра среднего контура подкрепленного круглого отверстия и равно musa70.wmf = – 13,6.

Вывод

Сравнение с результатами аналитического метода показало их хорошее совпадение, что позволяет сделать заключение о физической достоверности результатов численного решения волновых задач.