Когда вид связи между параметрами x и y неизвестен, наиболее распространённым случаем, является задание этой связи в виде некоторой таблицы (табл. 1).

Таблица 1

Эти значения – либо экспериментальные данные, либо результаты расчётов. На практике могут понадобиться значения величины y и в других точках, отличных от узлов xi. Однако получить эти значения можно лишь путём очень сложных расчётов или проведением дорогостоящих экспериментов.

С точки зрения экономии времени и средств необходимо использовать табличные данные для приближённого вычисления искомого параметра y при любом значении параметра x (из некоторой области), поскольку точная связь не известна. Этой цели служит задача о точечной аппроксимации – интерполяции. Она состоит в нахождении функции , проходящей через заданные точки (узлы интерполяции).

На практике, в качестве интерполяционных многочленов часто используются сплайны третьей степени, имеющие на отрезке [a, b] непрерывную, по крайней мере, первую производную. Такие сплайны называются кубическими и обозначаются .

Пусть на отрезке [a, b] заданы значения некоторой функции , . Интерполяционным кубическим сплайном называется сплайн вида:

,

,

удовлетворяющий условиям:

а) функция непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно;

б) , ;

в) .

В результате применения метода к данным таблицы, получается системы линейных алгебраических уравнений, имеющая трёхдиагональную матрицу с диагональным преобладанием. Такие матрицы являются неособенными. Поэтому решение системы существует и притом единственное. Для нахождения неизвестных используется метод прогонки.

Решение задачи построения кубического сплайна осуществлялось в системе Mathcad 13.

В качестве примера выбраны данные:

, .

В результате реализации получен сплайн, изображённый на рис. 1 вместе с исходными данными. Построенный сплайн проходит через узлы интерполяции.

Рис. 1

Кубическая сплайн-функция обладает наименьшей (в некотором смысле) кривизной среди всех дважды непрерывно дифференцируемых функций на данном отрезке [a, b] с заданными значениями в узлах интерполяции.