Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ ФУНКЦИЙ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ

Алешин И.Ю. 1 Сычева А.В 1 Агишева Д.К. 1 Матвеева Т.А. 1
1 Волжский политехнический институт
1. Практическое руководство по сплайнам. Де Бор К. – М.: Радио и связь, 1985.
2. Методы сплайн-функций. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. – М.: Наука. 1980 г.
3. Теория сплайнов и её приложения. Альберг Дж., Нилсон Э., Уолш Дж. – М.: Мир, 1972.

Когда вид связи между параметрами x и y неизвестен, наиболее распространённым случаем, является задание этой связи в виде некоторой таблицы (табл. 1).

Таблица 1

x

x1

x2

xn

y

y1

y2

yn

Эти значения – либо экспериментальные данные, либо результаты расчётов. На практике могут понадобиться значения величины y и в других точках, отличных от узлов xi. Однако получить эти значения можно лишь путём очень сложных расчётов или проведением дорогостоящих экспериментов.

С точки зрения экономии времени и средств необходимо использовать табличные данные для приближённого вычисления искомого параметра y при любом значении параметра x (из некоторой области), поскольку точная связь не известна. Этой цели служит задача о точечной аппроксимации – интерполяции. Она состоит в нахождении функции matm50.wmf, проходящей через заданные точки (узлы интерполяции).

На практике, в качестве интерполяционных многочленов часто используются сплайны третьей степени, имеющие на отрезке [a, b] непрерывную, по крайней мере, первую производную. Такие сплайны называются кубическими и обозначаются matm51.wmf.

Пусть на отрезке [a, b] заданы значения некоторой функции matm52.wmf, matm53.wmf. Интерполяционным кубическим сплайном называется сплайн вида:

matm54.wmf,

matm55.wmf,

удовлетворяющий условиям:

а) функция matm56.wmf непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно;

б) matm57.wmf, matm58.wmf;

в) matm59.wmf.

В результате применения метода к данным таблицы, получается системы линейных алгебраических уравнений, имеющая трёхдиагональную матрицу с диагональным преобладанием. Такие матрицы являются неособенными. Поэтому решение системы существует и притом единственное. Для нахождения неизвестных используется метод прогонки.

Решение задачи построения кубического сплайна осуществлялось в системе Mathcad 13.

В качестве примера выбраны данные:

ales1.wmf, ales2.wmf.

В результате реализации получен сплайн, изображённый на рис. 1 вместе с исходными данными. Построенный сплайн проходит через узлы интерполяции.

matmet2.tif

Рис. 1

Кубическая сплайн-функция обладает наименьшей (в некотором смысле) кривизной среди всех дважды непрерывно дифференцируемых функций на данном отрезке [a, b] с заданными значениями в узлах интерполяции.


Библиографическая ссылка

Алешин И.Ю., Сычева А.В, Агишева Д.К., Матвеева Т.А. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ ФУНКЦИЙ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5-2. – С. 188-189;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=34060 (дата обращения: 22.02.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674