Научный журнал

Современные наукоемкие технологии

ISSN 1812-7320

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,279

• Авторы
• Файлы
• Литература

Алешин И.Ю. 1 Сычева А.В 1 Агишева Д.К. 1 Матвеева Т.А. 1

---

1 Волжский политехнический институт

Статья в формате PDF

1072 KB

1. Практическое руководство по сплайнам. Де Бор К. – М.: Радио и связь, 1985.

2. Методы сплайн-функций. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. – М.: Наука. 1980 г.

3. Теория сплайнов и её приложения. Альберг Дж., Нилсон Э., Уолш Дж. – М.: Мир, 1972.

Когда вид связи между параметрами x и y неизвестен, наиболее распространённым случаем, является задание этой связи в виде некоторой таблицы (табл. 1).

Таблица 1

Эти значения – либо экспериментальные данные, либо результаты расчётов. На практике могут понадобиться значения величины y и в других точках, отличных от узлов xi. Однако получить эти значения можно лишь путём очень сложных расчётов или проведением дорогостоящих экспериментов.

С точки зрения экономии времени и средств необходимо использовать табличные данные для приближённого вычисления искомого параметра y при любом значении параметра x (из некоторой области), поскольку точная связь не известна. Этой цели служит задача о точечной аппроксимации – интерполяции. Она состоит в нахождении функции , проходящей через заданные точки (узлы интерполяции).

На практике, в качестве интерполяционных многочленов часто используются сплайны третьей степени, имеющие на отрезке [a, b] непрерывную, по крайней мере, первую производную. Такие сплайны называются кубическими и обозначаются .

Пусть на отрезке [a, b] заданы значения некоторой функции , . Интерполяционным кубическим сплайном называется сплайн вида:

,

,

удовлетворяющий условиям:

а) функция непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно;

б) , ;

в) .

В результате применения метода к данным таблицы, получается системы линейных алгебраических уравнений, имеющая трёхдиагональную матрицу с диагональным преобладанием. Такие матрицы являются неособенными. Поэтому решение системы существует и притом единственное. Для нахождения неизвестных используется метод прогонки.

Решение задачи построения кубического сплайна осуществлялось в системе Mathcad 13.

В качестве примера выбраны данные:

, .

В результате реализации получен сплайн, изображённый на рис. 1 вместе с исходными данными. Построенный сплайн проходит через узлы интерполяции.

Рис. 1

Кубическая сплайн-функция обладает наименьшей (в некотором смысле) кривизной среди всех дважды непрерывно дифференцируемых функций на данном отрезке [a, b] с заданными значениями в узлах интерполяции.

Библиографическая ссылка