Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу теоретической и прикладной важности, является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными и привлекает к себе внимание многих исследователей, интересующихся как самой теорией, так и ее приложениями. В частности, многие математические модели тепло- и массообмена в средах, окруженных пористой средой, сводятся к краевым задачам для уравнений смешанного типа.
Одним из важнейших классов уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа. Исследованием локальных и нелокальных краевых задач для нагруженных и ненагруженных уравнений занимались авторы
[2 – 10]. Подробная библиография работ содержится в [6, 7].
Цель исследования: доказать существование и единственность решения нелокальной задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.
Постановка задачи.
Рассмотрим уравнение
(1)
где 
в конечной области Ω, плоскости переменных x и y, ограниченных отрезками AA0, A0B0, B0B прямых x = 0, x = l,
y = h соответственно и характеристиками AC: x + y = 0, BC: x – y = l уравнения (1).
Обозначим через 
и 
.
Задача. Найти функцию
,
удовлетворяющую уравнению (1) в 
и условиям
(2)
(3)
(4)
где 
заданные функции, непрерывные в замыкании области их задания, причем 
.
Доказательство существования и единственности решения задачи.
Пусть 
и 
, где 
. Переходя в уравнении (1) к пределу при 
получим функциональное соотношение между 
, принесенное из области Ω1 на AB
(5)
В области Ω2 решение задачи Коши для уравнения (1) при 
имеет вид [1]
.
Удовлетворяя последнее условию (4) при 
, получим функциональное соотношение, принесенное из области Ω2 на линию АВ
(6)
Исключая 
из (5) и (6), получим следующую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка
(7)
(8)
Задача (7) и (8) решается обычным методом вариации произвольных постоянных. По найденному t(x) определяется n(x) из соотношения (6) и решение задачи (1) – (4) в области Ω2 как решение задачи Коши.
После определения t(x) в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и 
, решение которой имеет вид [2]
(9)
где
Функция Грина 
– представляется через фундаментальные решения, имеющие вид [2], [3]
где
функция Бесселя, f(t) и j(t) – функции Эйри.
Удовлетворяя (9) условию (3), получим интегральное уравнение Вольтера второго рода относительно функции 
:
где ядро 
– выражается через известные функции, которое безусловно и однозначно разрешимо.
Пусть теперь 
. В этом случае решение уравнения (1) непрерывное в 
с непрерывными производными до второго порядка включительно в Ω2 дается формулой [3]
(10)
где 
– функции Бесселя нулевого и первого порядков.
Удовлетворяя (10) условию (4), получим
(11)
где 
.
Уравнение (11) является уравнением Вольтерра второго рода относительно функции 
и его решение можно выписать с помощью резольвенты 
ядра в виде
Подставляя значение функции u(x) в (5), получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно t(x):
,
где q(x), F(x) – выражаются через известные функции
,
,
Интегрируя уравнение трижды от 0 до x с учетом (8), будем иметь
После определения t(x) в области Ω1 снова приходим к задаче (1), (2), 
решение которой дается формулой (9). В области Ω2 решение задачи определяется по формуле (10). Следовательно, решение задачи однозначно определяется в областях Ω1 и Ω2.