Для решения задачи о представлении основных классов возможных структурных состояний локальной транзитивной области в структурированном 3D пространстве будем исходить из следующего.
1. Транзитивная область 3D пространства – результат локального проявления вполне определенных структурных элементов 3D ячейки одного из подпространств гиперпространства [1-7].
2. Структурное состояние транзитивной области может быть обусловлено как кристаллическими компонентами r подструктуры R3 гиперструктуры R4, так и ее возможными фрактальными компонентами f [8-18].
3. Кристаллическая компонента r модулярной структуры R3 в структурированном (ячеистом) 3D пространстве может быть определена как с помощью дискретной группы трансляций {ti}, так и с помощью непрерывной группы трансляций {τi} (i = 1, 2, 3) [8-10, 19-26].
4. Фрактальная компонента f структуры R3 в структурированном 3D пространстве может быть определена i-модулярная гибридная структура (в общем случае i = 1, 2, 3) с помощью соответствующих своих генераторов (точечных, линейчатых, поверхностных или их возможных комбинаций) [27-32].
Многообразие вариантов сочетания кристаллической и фрактальной компонент возможных структурных состояний определяется количеством разновидностей определенных подструктур R3 структуры R4.
Число разновидностей 1D подструктур R11r и R11f в соответствующих R4 структурах может быть определено по формулам:
R44r = (P4i=2 Cii-1) R11r = 24 R11r
R43r1f = (Π3i=2 Ci+1i-1) R11r + (Π3i=2 Cii-1) R11f = 18 R11r + 6 R11f
R42r2f = (Π3i=2 Ci+1i) R11r + (Π3i=2 Ci+1i) R11f = 12 R11r + 12 R11f
R41r3f = (Π3i=2 Cii-1) R11r + (Π3i=2 Ci+1i-1) R11f = 6 R11r + 18 R11f
R44f = (P4i=2 Cii-1) R11f = 24 R11f
Аналогично, количество разновидностей 2D и 3D подструктур в соответствующих R4 структурах может быть определено по следующим формулам:
R44r = (Π3i=2 Cii-1) R22r = 6 R22r
R43r1f = (Π3i=2 C3i) R22r + (Π3i=2 C3i) R21r1f = 3 R22r + 3 R21r1f
R42r2f = (Π3i=2 Cii) R22r + (Π3i=2 Ci+13) R21r1f + (Π3i=2 Cii) R22f = R22r + 4 R21r1f + R22f
R41r3f = (Π3i=2 C3i) R21r1f + (Π3i=2 C3i) R22f = 3 R21r1f + 3 R22f
R44f = (Π3i=2 Cii-1) R22f = 6 R22f
и
R44r = (P4i=3 C4i) R33r = 4 R33r
R43r1f = (Π3i=2 Cii) R33r + (Π3i=2 C3i) R32r1f = R33r + 3 R32r1f
R42r2f = (Π3i=2 C2i-1) R32r1f + (Π3i=2 C2i-1) R31r2f = 2 R32r1f + 2 R31r2f
R41r3f = (Π3i=2 C3i) R31r2f + (Π3i=2 Cii) R33f = 3 R31r2f + R33f
R44f = (P4i=3 C4i) R11f = 4 R33f
В соответствии с результатами последнего разложения гипотетической R4 структуры на R3 подструктуры проанализируем их вероятные структурные состояния с учетом кристаллической и фрактальной компонент или их возможных сочетаний (табл. 1).
Таблица 1
Возможные структурные состояния R3 подструктур соответствующей R4 структуры
|
Возможное структурное состояние R4 структуры |
Возможные структурные состояния четырех R3 подструктур |
|
R44r (r1, r2, r3, r4) |
R33r: (r1, r2, r3), (r1, r2, r4), (r1, r3, r4) и (r2, r3, r4) |
|
R43r1f (r1, r2, r3, f) |
R33r (r1, r2, r3), R32r1f: (r1, r2, f), (r1, r3, f) и (r2, r3, f) |
|
R42r2f (r1, r2, f1, f2) |
R32r1f: (r1, r2, f1) и (r1, r2, f2), R31r2f: (r1, f1, f2) и (r2, f1, f2) |
|
R41r3f (r, f1, f2, f3) |
R33f: (f1, f2, f3), R31r2f: (r, f1, f2), (r, f1, f3) и (r, f2, f3) |
|
R44f (f1, f2, f3, f4) |
R33f: (f1, f2, f3), (f1, f2, f4), (f1, f3, f4) и (f2, f3, f4) |
Примечание. r – кристаллическая, а f – фрактальная компоненты структурного состояния.
С учетом характера элементов группы трансляций ячеистого 4D пространства, а также возможных топологических размерностей модулей фрактальных структур получены основные классы вероятных структурных состояний локальной транзитивной области структурированного 3D пространства (табл. 2).
Таблица 2
Основные классы структурных состояний локальной транзитивной области структурированного 3D пространства
|
Структурное состояние |
Классы структурных состояний |
Условное обозначение класса |
|
|
Разновидности |
Наименование |
||
|
(r1 r2 r3) |
(t1 t2 t3) |
Точечный |
P |
|
(t1 t2 τ3) (t1 τ2 t3) (τ1 t2 t3) (t1 τ2 τ3) (τ1 t2 τ3) (τ1 τ2 t3) |
Точечно-линейчатые |
PL |
|
|
(τ1 τ2 τ3) |
Линейчатый |
L |
|
|
(r1 r2 f) |
(t1 t2 f) |
Точечный фрактальный |
PF |
|
(t1 τ2 f) (τ1 t2 f) |
Точечно-линейчатые фрактальные |
PLF |
|
|
(τ1 τ2 f) |
Линейчатый фрактальный |
LF |
|
|
(r1 f2 f3) |
(t1 f2 f3) |
Точечный фрактальный гибридный |
PFG |
|
(τ1 f2 f3) |
Линейчатый фрактальный гибридный |
LFG |
|
|
(f1 f2 f3) |
(f1 f2 f3) |
Фрактальный гибридный |
FG |
Примечание. r и f – кристаллическая и фрактальная компоненты структурного состояния; t и t – дискретная и непрерывная трансляции как виды реализации генератора кристаллической компоненты.
Условные изображения ячеек для девяти классов структурных состояний локальной транзитивной области структурированного 3D пространства, названия которых использованы в табл.2, приведены на ри-
сунке.
Условные изображения ячеек и обозначения разных классов структурных состояний локальной транзитивной области структурированного 3D пространства (символы: P – точечный, L – линейчатый, F – фрактальный, G- гибридный)
Необходимо отметить, что класс фрактальных гибридных структурных состояний FG в зависимости от вида генератора фрактала в свою очередь состоит из следующих подклассов: фрактальный точечный гибридный (FGр), фрактальный точечно-линейчатый гибридный (FGpl), фрактальный линейчатый гибридный (FGl) и фрактальный точечно-поверхностный гибридный (FGps) [ ].
По своим индивидуальным геометрико-топологическим характеристикам и размерности транзитивные области разных классов существенно отличаются между собой. Очевидным образом это проявляется в локальных размерностях транзитивной области 3D пространства с разными классами структурными состояниями и разновидностями R3 структур. Если принять во внимание следующее: DimL R33r = Σ3i DimL R1ri , DimL R1t = 0, DimL R1t = 1, DimL R1f = DimL Gen R1f , то локальные размерности транзитивных областей 3D пространства со всеми возможными структурными состояниями могут быть определены (табл. 3).
Таблица 3
Локальные размерности транзитивных областей ячеистого 3D пространства
|
Структура |
Класс и вид |
Структурное состояние |
Локальная размерность, DimL |
|
R33r |
P – R33t |
(t1 t2 t3) |
0 |
|
PL – R32t1τ |
(t1 t2 t) |
1 |
|
|
PL – R31t2τ |
(t τ1 τ2) |
2 |
|
|
L – R33τ |
(τ1 τ2 τ3) |
3 |
|
|
R32r1f |
PF – R32r1f |
(t1 t2 f) |
DimGenf |
|
PLF – R31r1τ1f |
(t t f) |
1 + DimGenf |
|
|
LF – R32τ1f |
(τ1 τ2 f) |
2 + DimGenf |
|
|
R31r2f |
PFG – R31t2f |
(t f1 f2) |
DimGenf1 + DimGenf2 |
|
LFG – R31τ2f |
(t f1 f2) |
1 + DimGenf1 + DimGenf1 |
|
|
R33f |
FG – R33f |
(f1 f2 f3) |
DimGenf1 + DimGenf2 + DimGenf3 |
Следует отметить, что глобальная размерность структур только с кристаллической компонентой состояния DimGR33r= 3. Однако, если присутствует хотя бы одна фрактальная компонента состояния структуры, то тогда глобальная размерность ее DimG R33r < 3.
Таким образом, проанализированы основные классы структурных состояний локальной транзитивной области в структурированном 3D пространстве, представлено символьное описание состояний структур R3 и определены их локальные и глобальные размерности. Полученные данные о вероятных структурных состояниях без фрактальной составляющей использованы при интерпретации некоторых особенностей строения модулярных R33r структур на основе структурного типа шпинели [33-42]. Данные о структурных состояниях с фрактальной составляющей в 3D пространстве рассматривались как возможные аппроксиманты конфигураций межфазных границ и распределения фаз в объеме антифрикционных композиционных материалов и покрытий в процессе их формирования и последующего трибовоздейстия [43-47], химически активных материалов и анодных покрытий [48-50].
Результаты работы получены при поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на проведение НИОКР, шифр заявки N6.8604.2013.