Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными, что объясняется как теоретической значимостью результатов, так и их приложениями в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в математической биологии и других областях.
В настоящее время теория уравнений смешанного типа развивается быстрыми темпами. Успехи современного естествознания требуют дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений в частных производных, что приводит к необходимости исследования локальных и нелокальных краевых задач, в том числе задач со смещением для уравнений смешанного и смешанно – составного типов.
Цель исследования: доказать существование и единственность решения задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного гиперболо – параболического типа.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
(1)
где 
, в конечной области D, ограниченной отрезками CD, OD, DC прямых 
и характеристиками 
уравнения (1) при 
.
Пусть 
, 
, 
– единичный интервал 
прямой 
.
Под регулярным решением уравнения (1) будем понимать функцию 
из класса 
, удовлетворяющую уравнению (1) в 
и такую, что 
на концах интервала J может обращаться в бесконечность порядка 
, где 
.
Задача. Найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям
(2)
(3)
(4)
где 
; 
– точка пересечения характеристики, выходящей из точки 
, с характеристикой AO; 
– оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, определяемый по формуле [10]
где 
, 
– гамма-функция.
Задача (1) – (4) относится к классу краевых задач со смещением [7], исследованием которых занимались многие авторы [1-9] для уравнений смешанного типа. Интерес к таким задачам обусловлен тем, что они существенно обобщают задачу Трикоми, содержат широкий класс корректных самосопряженных задач и имеют многомерные аналоги.
Пусть 
, 
. Тогда решение задачи Коши в области D– представимо в виде [7]
. (5)
Удовлетворив
,
где 
, 
,
условию (4), получим основное функциональное соотношение между 
и 
, принесенное из гиперболической части D– на J
,
где 
, или, что тоже самое,
. (6)
Для нахождения функционального соотношения между 
и 
, принесенного из D+ на J рассмотрим задачу: Найти регулярное решение уравнения (1) при 
, удовлетворяющее условиям (2)-(3), 
.
Известно [9], что решение этой задачи существует, единственно и дается формулой
,
где 
– функция Грина;
. (8)
Отсюда второе функциональное соотношение между 
и 
, принесенное из D+ на J имеет вид
или
, (9)
где
,
.
Знак 
означает, что в сумме отсутствует слагаемое, соответствующее значению n=0.
Подставляя 
из (6) в (9), получим уравнение относительно 
,
где
.
Отсюда, применив формулу обращения интегрального уравнения Абеля, после ряда преобразований получим
, (10)
где 
, 
– известные функции.
Уравнение (10) является интегральным уравнением Вольтера второго рода со слабой особенностью в ядре, которое однозначно и, безусловно, разрешимо в требуемом классе функций.
По найденному 
из (6) можно определить 
и решение задачи (1)-(4) в области D– по формуле (5), а в области D+ по формуле (7).