Научный журнал

Современные наукоемкие технологии

ISSN 1812-7320

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,940

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Абрегов М.Х. 1 Гучаева З.Х. 1

---

1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ

Исследован вопрос однозначной разрешимости аналога задачи Бицадзе-Самарского с дробной производной в краевом условии для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа. Путем редукции к уравнению Вольтера второго рода доказана однозначная и безусловная разрешимость задачи.

Статья в формате PDF

487 KB

задача Бицадзе-Самарского

оператор дробного дифференцирования

оператор дробного интегрирования

задача Коши

уравнение Вольтерра

1. Абрегов М.Х. Некоторые задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для одного уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1974. – Т. 10, № 1. – С. 3-6.

2. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – 2010. – № 5. – С. 5-14.

3. Елеев В.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Всероссийской научной конференции. – Самара, 2004. – С. 91-94.

4. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения <> // Дифференциальные уравнения. – 1976. – т. 12, № 1. – С. 79-88.

5. Кумыкова С.К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1981. – т. 17, № 1. – С. 81-90.

6. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. – 1978. – т. 14, № 1. – С. 50-65.

7. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М., 2006. – 287с.

8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. – 2012. – т. 48, № 8. – С. 1140-1149.

9. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. – Ташкент: ФАН, 1974. – 155 с.

10. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными, что объясняется как теоретической значимостью результатов, так и их приложениями в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в математической биологии и других областях.

В настоящее время теория уравнений смешанного типа развивается быстрыми темпами. Успехи современного естествознания требуют дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений в частных производных, что приводит к необходимости исследования локальных и нелокальных краевых задач, в том числе задач со смещением для уравнений смешанного и смешанно – составного типов.

Цель исследования: доказать существование и единственность решения задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного гиперболо – параболического типа.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

(1)

где , в конечной области D, ограниченной отрезками CD, OD, DC прямых и характеристиками уравнения (1) при .

Пусть , , – единичный интервал прямой .

Под регулярным решением уравнения (1) будем понимать функцию из класса , удовлетворяющую уравнению (1) в и такую, что на концах интервала J может обращаться в бесконечность порядка , где .

Задача. Найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

(2)

(3)

(4)

где ; – точка пересечения характеристики, выходящей из точки , с характеристикой AO; – оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, определяемый по формуле [10]

где , – гамма-функция.

Задача (1) – (4) относится к классу краевых задач со смещением [7], исследованием которых занимались многие авторы [1-9] для уравнений смешанного типа. Интерес к таким задачам обусловлен тем, что они существенно обобщают задачу Трикоми, содержат широкий класс корректных самосопряженных задач и имеют многомерные аналоги.

Пусть , . Тогда решение задачи Коши в области D– представимо в виде [7]

. (5)

Удовлетворив

,

где , ,

условию (4), получим основное функциональное соотношение между и , принесенное из гиперболической части D– на J

,

где , или, что тоже самое,

. (6)

Для нахождения функционального соотношения между и , принесенного из D+ на J рассмотрим задачу: Найти регулярное решение уравнения (1) при , удовлетворяющее условиям (2)-(3), .

Известно [9], что решение этой задачи существует, единственно и дается формулой

,

где – функция Грина;

. (8)

Отсюда второе функциональное соотношение между и , принесенное из D+ на J имеет вид

или

, (9)

где

,

.

Знак означает, что в сумме отсутствует слагаемое, соответствующее значению n=0.

Подставляя из (6) в (9), получим уравнение относительно

,

где

.

Отсюда, применив формулу обращения интегрального уравнения Абеля, после ряда преобразований получим

, (10)

где , – известные функции.

Уравнение (10) является интегральным уравнением Вольтера второго рода со слабой особенностью в ядре, которое однозначно и, безусловно, разрешимо в требуемом классе функций.

По найденному из (6) можно определить и решение задачи (1)-(4) в области D– по формуле (5), а в области D+ по формуле (7).

Библиографическая ссылка