Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

Determination of the discrete spectrum of the stationary problem of the data non-stationary problems

Ilyasheva G.I. 1 Sayabaeva A.R. 1
1 Kokshetau State University. Sh. Ualikhanov
This work shows the relation between stationary problem of Shredinger and non-stationary problem for univariate wave equation with non-local potential. This relation is expressed in determining the discrete spectrum of stationary problem from the data of non-stationary problem.
discrete spectrum
stationary problem
nonstationary problem

Большой практический интерес представляет определение собственных значений сложных дифференциальных операторов.

Рассмотрим в пространстве функций одной переменной уравнение Шредингера [4]

Eqn44.wmf (1)

где x, y ∈ R, k > 0 и

Eqn45.wmf

Пусть q – вещественная локально-интегрируемая функция, удовлетворяющая условиям:

Eqn46.wmf (2)

Eqn47.wmf (3)

Обозначим множество всех функций q, удовлетворяющих условиям (2) и (3) через М.

Среди множества решений уравнения (1) будут интересовать те решения, которые на бесконечности Eqn48.wmf удовлетворяют условиям излучения Зоммерфельда [1].

Рассмотрим оператор Шредингера

Eqn49.wmf

где Q – оператор, действующий по правилу

Eqn50.wmf

Основным результатом теории рассеяния [3] является утверждение о том, для оператора H существует инвариантное относительно H разложение пространства L2(R) в ортогональную сумму

Eqn51.wmf

собственных подпространств, соответствующих дискретному и абсолютно-непрерывному спектру этого оператора.

Оператор Н имеет конечное число собственных значений, причем эти значения действительные положительные. Обозначим их через Eqn52.wmf, а соответствующие им собственные функции – через ψj, через qj– коэффициенты Фурье в разложении функции q по собственным функциям ψj

Eqn53.wmf

В данной работе предлагается метод определения собственных значений оператора Н из данных обратной нестационарной задачи. Дадим ее постановку.

Известно [2], что постановка обратной задачи неразрывно связана с постановкой прямой задачи, которая имеет следующий вид: в пространстве функций одной переменной для уравнения

Eqn54.wmf (4)

в области Eqn55.wmf найти функцию Eqn56.wmf удовлетворяющую уравнению (4) и начальным условиям

Eqn57.wmf (5)

Eqn58.wmf (6)

где ε – некоторая константа, ε > 0.

Сразу оговорим, что функция q(x) должна удовлетворять условиям (2)и (3).

Введем обозначение

Eqn59.wmf (7)

Положим, что при t < 0 функция u(x, t) продолжается нулем.

Поставим для уравнения (4) следующую обратную задачу: найти функцию q(x) ∈ C(R), если задано дополнительное условие

Eqn60.wmf

В процессе исследования прямой нестационарной задачи получено ее свойство, выраженное в следующей теореме.

Теорема 1. Для функции (7) имеет место соотношение

Eqn61.wmf (8)

где Eqn62.wmf, Eqn63.wmf – собственные функции непрерывного оператора Шредингера; C1j, C2j – некоторые коэффициенты.

Так как, согласно постановке обратной нестационарной задачи, функция

Eqn64.wmf

считается известной, то из соотношения (8) следует, что для функции Eqn65.wmf имеет место также следующее представление

Eqn66.wmf (9)

Равенство (9) выражает связь данных обратной нестационарной и стационарной задач.

Имеет место

Утверждение. Для собственных значений Eqn67.wmf оператора Шредингера справедливо равенство

Eqn68.wmf

Тогда в силу утверждения 1 два члена во вторых квадратных скобках выражения (9) в обобщенном смысле равны нулю. Следовательно,

Eqn69.wmf

Доказана

Теорема 2. При p = Ej функция Eqn65.wmf равна нулю, т.е.

Eqn70.wmf