Конформно полуплоские, то есть автодуальные и антиавтодуальные, 4-мерные многообразия (например, [1]-[7]) играют достаточно значимую роль в современной науке в силу связи их геометрии с геометрией эйнштейновых многообразий [8] и с твисторной геометрией [9]. В настоящей работе построен 5-мерный контактный аналог автодуальной геометрии. А именно, введено понятие конформно полуплоских (контактно-автодуальных или контактно-антиавтодуальных) 5-мерных почти контактных метрических многообразий и рассмотрена контактно-автодуальная геометрия 5-мерных многообразий Кенмоцу.
Рассмотрим модуль X(М) гладких векторных полей и алгебру С∞(М) гладких функций на гладком 5-мерном многообразии М.
Напомним [10], что почти контактной метрической структурой (короче, АС- структурой) на М называется четверка (Ф,ξ,ц,д = {.,.}) тензорных полей на М, где Ф - эндоморфизм С∞(М) - модуля X (М) , называемый структурным эндоморфизмом, ξ и п - векторное и ковекторное поля, называемые характеристическим вектором и контактной формой соответственно, g - билинейная симметричная положительно определенная форма на X (М) , называемая римановой структурой. При этом
для любых X,Y e X(M).
Многообразие, на котором фиксирована АС - структура, называется почти контактным метрическим многообразием (короче, АС - многообразием).
В 1971 году Кенмоцу [11] ввел в рассмотрение новый класс АС -структур, характеризуемых для любых гладких векторных полей Х и Y тождеством
-риманова связность метрики 
Такие АС - структуры называются структурами Кенмоцу. Многообразие, на котором фиксирована структура Кенмоцу, называется многообразием Кенмоцу.
Пусть
5-мерное ориентированное АС -многообразие. В этом случае классический тензор С Вейля можно рассматривать как эндоморфизм модуля
Λ2(М), который внутренним образом определяет эндоморфизм С модуля
Λ2(L), задаваемый одной из трех
эквивалентных формул:
где j - вложение на L с X(M), I = -Ф2 - естественный проектор на 4-мерное контактное распределение L, 2-форма I (ω)єЛ2(М) - антиувлечение 2- формы ωєΛ2) при отображении I, а C(I*ω)|L - сужение 2-формы C(I* ω) єΛ2(М) на L. Кроме того, Λ2(Ц) = Λ+(Ц)©Λ-(Ц), где Λ+(L) , Λ-(Ц) - собственные подмодули эндоморфизма *;Λ2(L)→Λ2(L), соответствующие собственным значениям 1 и -1. Заметим, что индексы k, l пробегают значения 0,1,2,1€,2€, а индексы а, в - значения 1,2,1€,2€, где a€ = a + 2.
Таким образом, 5-мерное AC -многообразие будем называть контактно - автодуальным (короче, С-автодуальным) многообразием, если С(ω) = 0 для любых 2-форм ω€Λ+(L). Аналогично, 5-мерное AC -многообразие будем называть контактно-антиавтодуальным (короче, С-антиавтодуальным) многообразием, если С(ω) = 0 для любых 2-форм ω <Λ+(L). При этом, 5-мерное AC - многообразие называется контактно конформно полуплоским (короче, С-конформно полуплоским), если оно является контактно-автодуальным или контактно-антиавтодуальным.
С учетом введенного определения был установлен критерий контактной автодуальности 5- мерных многообразий Кенмоцу и доказано необходимое условие их контактной антиавтодуальности. А именно:
Теорема 1. 5-мерное многообразие
Кенмоцу является контактно-автодуальным многообразием тогда и только тогда,
когда
где
Теорема 2. Если 5-мерное многообразие Кенмоцу является контактно-антиавтодуальным многообразием, то его скалярная кривизна к = -20.
В силу справедливости теоремы 1, была доказана следующая теорема:
Теорема 3. 5-мерное многообразие Кенмоцу контактно-автодуально тогда и только тогда, когда оно является многообразием точечно постоянной Ф- голоморфной секционной кривизны с.
Учитывая указанные результаты и результаты [12], получаем:
Теорема 4. 5-мерное многообразие Кенмоцу М является контактно-автодуальным многообразием тогда и только тогда, когда оно канонически конциркулярно одному из следующих многообразий, снабженному канонической косимплектической структурой:
где С2, СР2, СН2 - комплексное евклидово, комплексное проективное и комплексное гиперболическое двумерные пространства, соответственно. В силу справедливости теоремы 2, была доказана следующая теорема:
Теорема 5. 5-мерное многообразие Кенмоцу контактно-антиавтодуально тогда и только тогда, когда оно является многообразием Эйнштейна с космологической константой ξ = -4.
Таким образом, полученные результаты вскрыли интересные связи между такими характеристиками многообразий Кенмоцу, как контактная автодуальность и постоянство голоморфной секционной кривизны, как контактная антиавтодуальность и эйнштейновость, и др.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Atiyah M. F., Hitchin N. J., Singer I. M. Self- duality in four-dimensional Riemannian geometry. Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1978. V. 362. P. 425-461.
2. Chen B. Y. Some topological obstructions to Bochner-Kaehler metrics and their applications. J. Differential Geom. 1978. V. 13. P. 547-558.
3. Bourguignon J.-P. Les varietes de dimension 4 a signature non nulle dont la courbure est har- monique sont d´Einstein. Invent. Math. 1981. V. 63. P. 263-286.
4. Derdzinski A. Self-duality of Kahler manifolds and Einstein manifolds of dimensional four. Compos. Math. 1983. V. 49. P. 405-433.
5. Itoh M. Self-duality of Kahler surfaces. Compos. Math. 1984. V. 51. P. 265-273.
6. Арсеньева О.Е. Автодуальная геометрия келеровых многообразий. Математический сборник. 1993. Т. 184. №8. С. 137-148.
7. Арсеньева О.Е., Кириченко В.Ф. Автодуальная геометрия эрмитовых поверхностей. Математический сборник. 1998. Т. 189. №1. С. 21-44.
8. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. Москва. Мир. 1990. Т. 1, 2.
9. Penrose R. The twistor programme. Math. Phis. Repts. 1977. V. 12. P. 65-76.
10. Blair D.E. Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds. Progr. in Math. 2003. Birk- hauser Boston, Basil, Berlin. 2003.
11. Kenmotsu K. A class of almost contact Rie- mannian manifolds. Tohoku Math. J. 1972. V. 24. P. 93-103.
12. Кириченко В.Ф. О геометрии многообразий Кенмоцу. Доклады Академии Наук. 2001. Т. 380. №5. С. 585-587.