Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

HIERARCHIC GAME UNDER UNCERTAINTY WITH RISK FUNCTIONS

A.V. Rodjukov Tarakanov A.F.
In the article, a two-level hierarchic game under uncertainty with risk functions and subject to constrained strategies of players is investigated. Between players the Nash equilibrium is defined, and with risk functions influence of uncertainty by Slater is counted. It is shown that suggested guaranteeing equilibrium by Nash-Slater is partially interchangeable and not improvable. Properties of equilibrium and function of risk are revealed. The algorithm of the solution is formulated.
1. Постановка задачи

Игра двух лиц в условиях неопределённости задаётся набором

f.           (1)

Здесь множество f - номера игроков, f (f ) - множество ситуаций f игры, каждая из которых образуется соответствующими стратегиями игроков: f- стратегия игрока верхнего уровня (1-й игрок), f - стратегия игрока нижнего уровня (2-й игрок), f - неопределённость, функция выигрыша i-го игрока задана непрерывной на f скалярной функцией f, вектор f.

Цель i-го игрока - выбор такой стратегии, чтобы в ситуации f его выигрыш f принял возможно большее значение. При этом каждый игрок при выборе своей стратегии ориентируется на возможность реализации наименее благоприятных для него значений неопределённости f. Предполагается, что игроки обладают достоверной информацией о стратегиях и множестве неопределённостей, игрокам известны функции выигрыша друг друга.

Игра протекает следующим образом. Первый игрок формирует подмножество стратегий

f

и информирует о нем игрока нижнего уровня (2-го). В ответ 2-й игрок формирует подмножество стратегий

f,

выбирает стратегию f и информирует о ней 1-го игрока. Стратегия 2-го игрока явно зависит от стратегии Центра, который принимает окончательное решение. Затем вычисляются значения функций выигрыша игроков.

На множестве f  определим функции риска игроков

f, f.

2. Определение равновесия и его свойства

Определение 1. Тройку f назовём гарантированным равновесием Нэша-Слейтера в игре (1), если существует такая неопределённость y*, что выполняются следующие условия:

1) ситуация f является равновесной по Нэшу, то есть

f,              (2)

f,            (3)

2) неопределённость y* максимальна по Слейтеру, то есть для всех f несовместна система неравенств

f.          (4)

Множество гарантирующих равновесий f игры (1) обозначим Ns. Решением игры назовём совокупность f, i =1,2.

Определение 2. Ситуации равновесия из множества Ns в игре (1) назовём частично взаимозаменяемыми, если для любых f и f выполняются равенства

f                           (5)

Свойство 1. Ситуации равновесия из множества Ns в игре (1) частично взаимозаменяемы.

Доказательство. Возьмём произвольные f и f. Согласно (2) и (3), имеем f, i = 1,2, и поэтому

f, f, f.                              (6)

Отсюда f. Полагая здесь f, f, получим справедливость первого равенства в (5) при i = 1:

f, f.

Аналогично равенство доказывается для f2.

Далее, подставляя в функцию f значения f и f, получим

f

а с учётом (6) будет f. Это равенство выполняется для любых i = 1,2 и f. Поэтому при f, k = 1,2, получим справедливость второго равенства в (5) при i = 1. Доказывается для F2 аналогично. Свойство 1 доказано.

Таким образом, в отличие от обычных игр с равновесием Нэша (в которых взаимозаменяемости стратегий нет), в иерархической игре выполняется свойство частичной взаимозаменяемости ситуаций равновесия. Отметим, что для функции риска второе равенство в (5) означает полную взаимозаменяемость ситуаций равновесия.

Определение 3. Тройку f назовём неулучшаемым гарантирующим равновесием Нэша-Слейтера в игре (1), если для любых f выполняются неравенства

f.

Свойство 2. Пусть f при любых f, f при любых f. Тогда любая тройка f в игре (1) является неулучшаемым гарантирующим равновесием Нэша-Слейтера.

Доказательство. Пусть f. Из определения множества f при f и из (2) соответственно следует, что

f, f, f.

Так как при любых f  f, то, полагая во втором неравенстве f, получим

f,

то есть f - неулучшаемое гарантирующее равновесие Нэша-Слейтера. Для функции f2 доказательство аналогично. Свойство 2 доказано.

Рассмотрим иерархическую игру (1) как игру 1-го игрока со стратегией f и 2-го игрока (неопределённости) со стратегией f, то есть

f,                       (7)

где f. Первый игрок стремится за счёт выбора f минимизировать f, а 2-ой за счёт выбора f - максимизировать её.

Свойство 3. Решение Нэша-Слейтера (x*,y*) игры (1) является седловой точкой игры (7), то есть f для любых f, f.

Доказательство. Так как y* максимально по Слейтеру, то несовместна система неравенств f. Суммируя, получаем невозможность неравенства

f.

Значит, f. Далее, так как f - ситуация равновесия по Нэшу, то

f,

f.

Отсюда

f,

f.

В то же время

f,

f.

Очевидно, что f или f, что и требуется. Свойство 3 доказано.

Пусть yS- минимальная по Слейтеру неопределённость в задаче f, f - тройка из определения 1.

Свойство 4. Пусть f, f, f. Тогда риск игрока в ситуации x* оценивается снизу неравенством f.

Доказательство. Так как y* - максимальная по Слейтеру неопределённость, то для любых f найдётся индекс f такой, что

f или

f.

Для всех f справедливо f, поэтому при f будет f. В силу f, f, получим f. Свойство 4 доказано.

Содержательный смысл свойства 4 в том, что для получения большего гарантированного выигрыша при использовании функции риска, чем при использовании простых функций выигрыша f, требуется больший риск.

Свойство 5. Пусть функции f, f, удовлетворяют условию Липшица по совокупности переменных f с константами Li. Риск игрока в ситуации x* оценивается сверху неравенством (f )

f.

Доказательство. Как и при доказательстве свойства 4, имеем

 f или

f,

f,

f.

При y = y* получаем f. С использованием условия Липшица приходим к требуемой оценке. Свойство 5 доказано.

Полученная оценка говорит о том, что величина риска игрока зависит в целом только от его стратегии и размеров множества неопределённостей. Воздействие других игроков косвенно учитывается в константе Липшица. Если игроки не отступают от своих оптимальных стратегий f, то оценкой риска сверху является f.

Свойства 1-5 в достаточной степени раскрывают свойства предлагаемого равновесия и содержательный смысл функции риска игрока и дополняют тем самым результаты [1].

3. Алгоритм решения игры

1. Найти f, удовлетворяющие равенствам

f, f.

2. Подставить f в функции f и получить функции f и 1. Эти функции выпуклы по обоим аргументам.

3. Вычислить величины

2, 3,

где 9 - граница множества M (вообще говоря, после 3 шага вместо f вычислены значения f, i = 1,2, которые означают выигрыши игроков при наилучших для них действиях партнеров по иерархии и наилучшей неопределённости; однако легко показать, что стратегии и выигрыши игроков в этом случае не изменяются).

4. Составить функции риска игроков

f, f

и функцию f.

5. Найти гарантированную неопределенность y* как решение задачи f и найти стратегии игроков f, f.

6. Вычислить риски игроков f, i = 1,2.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию РФ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Жуковский В.И., Жуковская Л.В. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности. - М.: Едиториал УРСС, 2004.