Игра двух лиц в условиях неопределённости задаётся набором
. (1)
Здесь множество 
- номера игроков, 
(
) - множество ситуаций 
игры, каждая из которых образуется соответствующими стратегиями игроков: 
- стратегия игрока верхнего уровня (1-й игрок), 
- стратегия игрока нижнего уровня (2-й игрок), 
- неопределённость, функция выигрыша i-го игрока задана непрерывной на 
скалярной функцией 
, вектор 
.
Цель i-го игрока - выбор такой стратегии, чтобы в ситуации его выигрыш принял возможно большее значение. При этом каждый игрок при выборе своей стратегии ориентируется на возможность реализации наименее благоприятных для него значений неопределённости 
. Предполагается, что игроки обладают достоверной информацией о стратегиях и множестве неопределённостей, игрокам известны функции выигрыша друг друга.
Игра протекает следующим образом. Первый игрок формирует подмножество стратегий
и информирует о нем игрока нижнего уровня (2-го). В ответ 2-й игрок формирует подмножество стратегий
,
выбирает стратегию 
и информирует о ней 1-го игрока. Стратегия 2-го игрока явно зависит от стратегии Центра, который принимает окончательное решение. Затем вычисляются значения функций выигрыша игроков.
На множестве определим функции риска игроков
, 
.
2. Определение равновесия и его свойства
Определение 1. Тройку 
назовём гарантированным равновесием Нэша-Слейтера в игре (1), если существует такая неопределённость y*, что выполняются следующие условия:
1) ситуация 
является равновесной по Нэшу, то есть
, (2)
, (3)
2) неопределённость y* максимальна по Слейтеру, то есть для всех несовместна система неравенств
. (4)
Множество гарантирующих равновесий 
игры (1) обозначим Ns. Решением игры назовём совокупность 
, i =1,2.
Определение 2. Ситуации равновесия из множества Ns в игре (1) назовём частично взаимозаменяемыми, если для любых 
и 
выполняются равенства
(5)
Свойство 1. Ситуации равновесия из множества Ns в игре (1) частично взаимозаменяемы.
Доказательство. Возьмём произвольные и . Согласно (2) и (3), имеем 
, i = 1,2, и поэтому
, 
, . (6)
Отсюда 
. Полагая здесь 
, 
, получим справедливость первого равенства в (5) при i = 1:
, 
.
Аналогично равенство доказывается для f2.
Далее, подставляя в функцию 
значения 
и , получим
а с учётом (6) будет 
. Это равенство выполняется для любых i = 1,2 и . Поэтому при 
, k = 1,2, получим справедливость второго равенства в (5) при i = 1. Доказывается для F2 аналогично. Свойство 1 доказано.
Таким образом, в отличие от обычных игр с равновесием Нэша (в которых взаимозаменяемости стратегий нет), в иерархической игре выполняется свойство частичной взаимозаменяемости ситуаций равновесия. Отметим, что для функции риска второе равенство в (5) означает полную взаимозаменяемость ситуаций равновесия.
Определение 3. Тройку 
назовём неулучшаемым гарантирующим равновесием Нэша-Слейтера в игре (1), если для любых 
выполняются неравенства
.
Свойство 2. Пусть 
при любых , 
при любых 
. Тогда любая тройка в игре (1) является неулучшаемым гарантирующим равновесием Нэша-Слейтера.
Доказательство. Пусть . Из определения множества 
при 
и из (2) соответственно следует, что
, 
, 
.
Так как при любых 
, то, полагая во втором неравенстве 
, получим
,
то есть - неулучшаемое гарантирующее равновесие Нэша-Слейтера. Для функции f2 доказательство аналогично. Свойство 2 доказано.
Рассмотрим иерархическую игру (1) как игру 1-го игрока со стратегией 
и 2-го игрока (неопределённости) со стратегией , то есть
, (7)
где 
. Первый игрок стремится за счёт выбора минимизировать 
, а 2-ой за счёт выбора - максимизировать её.
Свойство 3. Решение Нэша-Слейтера (x*,y*) игры (1) является седловой точкой игры (7), то есть 
для любых 
, .
Доказательство. Так как y* максимально по Слейтеру, то несовместна система неравенств . Суммируя, получаем невозможность неравенства
.
Значит, 
. Далее, так как 
- ситуация равновесия по Нэшу, то
,
.
Отсюда
,
.
В то же время
,
.
Очевидно, что 
или 
, что и требуется. Свойство 3 доказано.
Пусть yS- минимальная по Слейтеру неопределённость в задаче 
, 
- тройка из определения 1.
Свойство 4. Пусть 
, 
, . Тогда риск игрока в ситуации x* оценивается снизу неравенством 
.
Доказательство. Так как y* - максимальная по Слейтеру неопределённость, то для любых найдётся индекс 
такой, что
или
.
Для всех 
справедливо 
, поэтому при 
будет 
. В силу , , получим 
. Свойство 4 доказано.
Содержательный смысл свойства 4 в том, что для получения большего гарантированного выигрыша при использовании функции риска, чем при использовании простых функций выигрыша 
, требуется больший риск.
Свойство 5. Пусть функции 
, , удовлетворяют условию Липшица по совокупности переменных 
с константами Li. Риск игрока в ситуации x* оценивается сверху неравенством (
)
.
Доказательство. Как и при доказательстве свойства 4, имеем
или
,
,
.
При y = y* получаем 
. С использованием условия Липшица приходим к требуемой оценке. Свойство 5 доказано.
Полученная оценка говорит о том, что величина риска игрока зависит в целом только от его стратегии и размеров множества неопределённостей. Воздействие других игроков косвенно учитывается в константе Липшица. Если игроки не отступают от своих оптимальных стратегий 
, то оценкой риска сверху является 
.
Свойства 1-5 в достаточной степени раскрывают свойства предлагаемого равновесия и содержательный смысл функции риска игрока и дополняют тем самым результаты [1].
3. Алгоритм решения игры
1. Найти 
, удовлетворяющие равенствам
, 
.
2. Подставить в функции 
и получить функции 
и 
. Эти функции выпуклы по обоим аргументам.
3. Вычислить величины
, 
,
где 
- граница множества M (вообще говоря, после 3 шага вместо 
вычислены значения 
, i = 1,2, которые означают выигрыши игроков при наилучших для них действиях партнеров по иерархии и наилучшей неопределённости; однако легко показать, что стратегии и выигрыши игроков в этом случае не изменяются).
4. Составить функции риска игроков
, 
и функцию 
.
5. Найти гарантированную неопределенность y* как решение задачи 
и найти стратегии игроков 
, 
.
6. Вычислить риски игроков 
, i = 1,2.
Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию РФ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
-
Жуковский В.И., Жуковская Л.В. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности. - М.: Едиториал УРСС, 2004.