Игра двух лиц в условиях неопределённости задаётся набором
. (1)
Здесь множество - номера игроков,
(
) - множество ситуаций
игры, каждая из которых образуется соответствующими стратегиями игроков:
- стратегия игрока верхнего уровня (1-й игрок),
- стратегия игрока нижнего уровня (2-й игрок),
- неопределённость, функция выигрыша i-го игрока задана непрерывной на
скалярной функцией
, вектор
.
Цель i-го игрока - выбор такой стратегии, чтобы в ситуации его выигрыш
принял возможно большее значение. При этом каждый игрок при выборе своей стратегии ориентируется на возможность реализации наименее благоприятных для него значений неопределённости
. Предполагается, что игроки обладают достоверной информацией о стратегиях и множестве неопределённостей, игрокам известны функции выигрыша друг друга.
Игра протекает следующим образом. Первый игрок формирует подмножество стратегий
и информирует о нем игрока нижнего уровня (2-го). В ответ 2-й игрок формирует подмножество стратегий
,
выбирает стратегию и информирует о ней 1-го игрока. Стратегия 2-го игрока явно зависит от стратегии Центра, который принимает окончательное решение. Затем вычисляются значения функций выигрыша игроков.
На множестве определим функции риска игроков
,
.
2. Определение равновесия и его свойства
Определение 1. Тройку назовём гарантированным равновесием Нэша-Слейтера в игре (1), если существует такая неопределённость y*, что выполняются следующие условия:
1) ситуация является равновесной по Нэшу, то есть
, (2)
, (3)
2) неопределённость y* максимальна по Слейтеру, то есть для всех несовместна система неравенств
. (4)
Множество гарантирующих равновесий игры (1) обозначим Ns. Решением игры назовём совокупность
, i =1,2.
Определение 2. Ситуации равновесия из множества Ns в игре (1) назовём частично взаимозаменяемыми, если для любых и
выполняются равенства
(5)
Свойство 1. Ситуации равновесия из множества Ns в игре (1) частично взаимозаменяемы.
Доказательство. Возьмём произвольные и
. Согласно (2) и (3), имеем
, i = 1,2, и поэтому
,
,
. (6)
Отсюда . Полагая здесь
,
, получим справедливость первого равенства в (5) при i = 1:
,
.
Аналогично равенство доказывается для f2.
Далее, подставляя в функцию значения
и
, получим
а с учётом (6) будет . Это равенство выполняется для любых i = 1,2 и
. Поэтому при
, k = 1,2, получим справедливость второго равенства в (5) при i = 1. Доказывается для F2 аналогично. Свойство 1 доказано.
Таким образом, в отличие от обычных игр с равновесием Нэша (в которых взаимозаменяемости стратегий нет), в иерархической игре выполняется свойство частичной взаимозаменяемости ситуаций равновесия. Отметим, что для функции риска второе равенство в (5) означает полную взаимозаменяемость ситуаций равновесия.
Определение 3. Тройку назовём неулучшаемым гарантирующим равновесием Нэша-Слейтера в игре (1), если для любых
выполняются неравенства
.
Свойство 2. Пусть при любых
,
при любых
. Тогда любая тройка
в игре (1) является неулучшаемым гарантирующим равновесием Нэша-Слейтера.
Доказательство. Пусть . Из определения множества
при
и из (2) соответственно следует, что
,
,
.
Так как при любых
, то, полагая во втором неравенстве
, получим
,
то есть - неулучшаемое гарантирующее равновесие Нэша-Слейтера. Для функции f2 доказательство аналогично. Свойство 2 доказано.
Рассмотрим иерархическую игру (1) как игру 1-го игрока со стратегией и 2-го игрока (неопределённости) со стратегией
, то есть
, (7)
где . Первый игрок стремится за счёт выбора
минимизировать
, а 2-ой за счёт выбора
- максимизировать её.
Свойство 3. Решение Нэша-Слейтера (x*,y*) игры (1) является седловой точкой игры (7), то есть для любых
,
.
Доказательство. Так как y* максимально по Слейтеру, то несовместна система неравенств . Суммируя, получаем невозможность неравенства
.
Значит, . Далее, так как
- ситуация равновесия по Нэшу, то
,
.
Отсюда
,
.
В то же время
,
.
Очевидно, что или
, что и требуется. Свойство 3 доказано.
Пусть yS- минимальная по Слейтеру неопределённость в задаче ,
- тройка из определения 1.
Свойство 4. Пусть ,
,
. Тогда риск игрока в ситуации x* оценивается снизу неравенством
.
Доказательство. Так как y* - максимальная по Слейтеру неопределённость, то для любых найдётся индекс
такой, что
или
.
Для всех справедливо
, поэтому при
будет
. В силу
,
, получим
. Свойство 4 доказано.
Содержательный смысл свойства 4 в том, что для получения большего гарантированного выигрыша при использовании функции риска, чем при использовании простых функций выигрыша , требуется больший риск.
Свойство 5. Пусть функции ,
, удовлетворяют условию Липшица по совокупности переменных
с константами Li. Риск игрока в ситуации x* оценивается сверху неравенством (
)
.
Доказательство. Как и при доказательстве свойства 4, имеем
или
,
,
.
При y = y* получаем . С использованием условия Липшица приходим к требуемой оценке. Свойство 5 доказано.
Полученная оценка говорит о том, что величина риска игрока зависит в целом только от его стратегии и размеров множества неопределённостей. Воздействие других игроков косвенно учитывается в константе Липшица. Если игроки не отступают от своих оптимальных стратегий , то оценкой риска сверху является
.
Свойства 1-5 в достаточной степени раскрывают свойства предлагаемого равновесия и содержательный смысл функции риска игрока и дополняют тем самым результаты [1].
3. Алгоритм решения игры
1. Найти , удовлетворяющие равенствам
,
.
2. Подставить в функции
и получить функции
и
. Эти функции выпуклы по обоим аргументам.
3. Вычислить величины
,
,
где - граница множества M (вообще говоря, после 3 шага вместо
вычислены значения
, i = 1,2, которые означают выигрыши игроков при наилучших для них действиях партнеров по иерархии и наилучшей неопределённости; однако легко показать, что стратегии и выигрыши игроков в этом случае не изменяются).
4. Составить функции риска игроков
,
и функцию .
5. Найти гарантированную неопределенность y* как решение задачи и найти стратегии игроков
,
.
6. Вычислить риски игроков , i = 1,2.
Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию РФ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
-
Жуковский В.И., Жуковская Л.В. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности. - М.: Едиториал УРСС, 2004.
Библиографическая ссылка
Родюков А.В., Тараканов А.Ф. ИЕРАРХИЧЕСКАЯ ИГРА ПРИ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ С ФУНКЦИЯМИ РИСКА // Современные наукоемкие технологии. – 2007. – № 5. – С. 11-15;URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=24902 (дата обращения: 17.08.2024).