Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

ABOUT INTRODUCTION OF COMPUTER TECHNOLOGIES IN SYSTEM

Gritskikh I.V.
One of variants of the structural-logic scheme of research of numerical numbers with use of computer is offered.
Изобретение ЭВМ не только вооружило человеческое общество новыми научными технологиями, но и существенным образом изменило качество самой науки: стали эффективнее функционировать постоянно эволюционирующие процессы реорганизации и самоорганизации структурных связей между различными научными направлениями, активировались процессы их гибридизации (например, появилась экономическая физика - эконофизика), возникли совершенно новые научные направления (например, математическое моделирование), изменились темпы и внутренние законы развития отдельных научных дисциплин, более чётко обозначились их цели и принципы и мн. др.

Как следствие произошла и коренная перестройка в сфере образования. Возможность манипулировать огромными объёмами информации, в считанные минуты решать сложные задачи с большим количеством компонентов и многие другие виртуальные возможности вычислительной техники естественным образом изменили систему образования, повысили её потенциальные возможности.

В настоящее время проходят стадию эксперимента многие новые компьютерные технологии образования - например, дистанционная (заочная) форма обучения. При этом одной из первоочередных задач становится развитие у пользователей способностей быстро усваивать и эффективно оперировать полученными знаниями, умение их идентифицировать и оптимальным образом систематизировать в блоки, устанавливать внутренние и внешние структурно - логические связи.

Приведём пример определения функциональной зависимости между различными блоками учебного материала по теории рядов.

Структурно-логическая схема исследования числовых рядов

Рассмотрим один из вариантов представления некоторых основных положений теории числовых рядов в виде последовательности применения признаков сходимости. Алгоритмическая схема содержит три взаимосвязанных блока:

  • Р1 - предельные признаки сходимости;
  • Р2 - теоремы сравнения;
  • Р3 - признаки сходимости знакопеременных рядов.

1. Предельные признаки сходимости

Первая блок-схема охватывает необходимый и достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

Расшифровка операторов A1 ÷A17 блок - схемы Р1 представлена в табл. 1, смысл логических условий a1÷ a13 приведён в табл. 2.

Рис. 1. Схема Р1 алгоритма исследования рядов с помощью предельных признаков сходимости

Таблица 1. Операторы алгоритма 1

 А

Содержание

 1

Ввод исследуемого ряда  

 2

Вычисление

 3

Печать: ряд сходится

 4

Печать: ряд расходится

 5

Вычисление

 6

Печать: ряд знакопеременный

 7

Вычисление

 8

Ввод

 9

Вычисление варианты Даламбера  

 10

Вычисление

 11

Вычисление варианты Коши

 12

Вычисление

 13

Определение первообразной , c = const

 14

Вычисление предела

 15

Ввод

 16

Ввод

 17

Печать: перейти к теоремам сравнения


Сразу после введения исследуемого ряда по виду его общего члена определяется, не является ли данный ряд геометрическим или гармоническим рядом. При положительном ответе по соответствующим значениям определённых параметров легко устанавливается сходимость или расходимость ряда и процесс исследования заканчивается. В противном случае проверяется, все ли члены ряда положительны - если нет, то необходимо перейти к третьему блоку Р3 схемы исследования знакопеременных рядов.

Если же исследуемый ряд знакопостоянный, то проверяется соблюдение необходимого признака сходимости. При его нарушении ряд расходится, а при выполнении процесс исследования продолжается дальше.

Если по признаку Даламбера или радикальному признаку Коши не удаётся решить вопрос о сходимости или расходимости данного ряда, то применяется интегральный признак Коши. В случае, когда первообразную или предел при вычислении несобственного интеграла первого рода определить не удаётся, необходимо перейти ко второму блоку схемы исследования рядов с положительными членами по теоремам сравнения.

Таблица 2. Логические условия алгоритма 1

 α

Содержание

 1

Формула общего члена исследуемого ряда имеет вид  

 2

Выполнение условия

 3

Формула общего члена исследуемого ряда имеет вид

 4

Все члены данного ряда положительны

 5

Предел  не определяетcя

 6

Выполнение условия

 7

Предел  не определяетcя

 8

Выполнение условия

 9

Предел  не определяетcя

 10

Выполнение условия C≠1

 11

Первообразная , c = const определена

 12

Предел  не определяетcя

 13

Выполнение условия

2. Теоремы сравнения

Во второй блок - схеме Р2 обозначен алгоритм исследования сходимости числовых рядов с положительными членами с помощью признаков сравнения. Вместе с исследуемым рядом вводится по возможности близкий к нему ряд, сходимость или расходимость которого установлена заранее. В качестве такого ряда, как правило, выбирают, если это приводит к положительному результату, геометрический или гармонический ряд. Если ряд с известной сходимостью или расходимостью для данного ряда удаётся подобрать, то в схеме сначала используется первый предельный признак сравнения. В случае, когда предел отношения сравниваемых на бесконечности общих членов рядов равен отличной от нуля постоянной величине, оба ряда одновременно сходятся или расходятся. Если же этот предел не существует (не определяется или равен бесконечности), то обращаются ко второй теореме сравнения с помощью неравенств.

При выполнении для всех членов ряда, начиная с некоторого фиксированного номера, неравенств одинакового смысла в случае расходимости минорантного ряда исследуемый ряд тоже разойдётся, а при сходимости мажорантного ряда - сойдётся. Если же выполнение обозначенных неравенств не доказано, необходимо вернуться к началу алгоритма 2 и ввести какой-либо другой ряд с известной сходимостью и повторить процесс сравнения. В случае, когда такой ряд найти не удаётся, исследование сходимости данного ряда рассмотренными в построенной схеме методами не удаётся.

Рис. 2. Схема Р2 алгоритма исследования сходимости рядов по теоремам сравнения


Таблица 3. Операторы алгоритма 2

 В

Содержание

 1

 Ввод исследуемого ряда  

 2

 Ввод сходящегося или расходящегося ряда  

 3

 Вычисление предела

 4

 Печать: ряд расходится

 5

 Печать: ряд сходится

 6

 Доказательство неравенства

 7

 Доказательство неравенства

 8

 Печать: ввести новый ряд  с известным поведением

 9

 Печать: сходимость или расходимость ряда не доказана

Расшифровка использованных в блок - схеме Р2 на рис. 2 операторов  дана в табл. 3, смысл логических условий  приведён в табл. 4.

Таблица 4. Логические условия алгоритма 2

β

Содержание

1

Ряд  задан

2

Предел  не определяется

3

Выполнение условия

4

Выполнение условия

5

Начиная с некоторого фиксированного номера  справедливо неравенство  или

3. Признаки сходимости знакопеременных рядов

Рис. 3. Схема Р2 алгоритма исследования знакопеременных рядов

Таблица 5. Операторы алгоритма 3

C

Содержание

1

Ввод исследуемого ряда

2

Ввод ряда

3

Печать: ряд сходится условно

4

Печать: ряд сходится абсолютно

5

Печать: ряд расходится

6

Ввод ряда

7

Печать: сходимость или расходимость ряда не доказана

На рис. 3 представлена блок - схема Р3 алгоритма исследования знакопеременных рядов с расшифровкой обозначений C1 ÷ C7 и Y1 ÷ Y5 в табл. 5 и табл. 6.

Таблица 6. Логические условия алгоритма 3

γ

Содержание

1

Функции

2

Выполняется условие

3

Выполняется условие

4

Ряд  сходится

5

Ряд  сходится

Третья блок-схема включает два признака сходимости: признак Лейбница для знакочередующихся рядов и достаточный признак сходимости для знакопеременных рядов. Если исследуемый ряд знакочередующийся и нарушается первое условие теоремы Лейбница о монотонном убывании абсолютных величин его членов, то ряд может как сходиться, так и расходиться. При выполнении обозначенного требования и невыполнении второго условия признака Лейбница - равенства нулю предела модуля общего члена ряда на бесконечности - поведение ряда так же неизвестно.

Если оба условия признака Лейбница выполнены, то устанавливается характер сходимости ряда: сходится ряд условно или абсолютно. Для этого определяется поведение ряда из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда - если ряд из модулей сходится, то исследуемый ряд абсолютно сходится, если нет - исследуемый ряд сходится условно.

Если исследуемый знакопеременный ряд не является знакочередующимся рядом, то в случае сходимости ряда из его модулей он сходится абсолютно.

Вывод

Наличие блок - схемы алгоритма позволяет представить процедуры усвоения необходимой информации и определения правильного решения в виде конечной последовательности функционально - логических операций. Формализация системы образования существенно упрощает процесс обучения и способствует более глубокому и быстрому усвоению изучаемого материала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Воробьёв Н.Н. Теория рядов. - М.: Наука, 2006. - 408 с.
  2. Сергиенко Л.С. Основы теории числовых рядов. - Иркутск: Ир ГТУ, 2008. - 65 с.