Scientific journal
Modern high technologies
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

Рассматривается в гильбертовом пространстве f интегро-дифференциальное (и.-д.) выражение вида

f,                           (1)

где f- самосопряженное дифференциальное выражение с вещественным и суммируемым коэффициентом q(x) таким, что для любого b>0  f,

а f - интегральное выражение с ненулевым вещественным симметрическим ядром Гильберта-Шмитда K(x,s) удовлетворяющее условиям:

а) для любых решений f уравнения  f

f;

б) в окрестности вещественной оси существует и регулярно по λ решение однородного и.-д. уравнения f.

Операцией l в f порождается квазидифференциальный оператор L с минимальной областью определения DL.

Обозначим через A = L + K и.-д. оператор, порождаемый и.-д. выражением (1) с минимальной областью определения DA = DL, где f.

В работе рассматривается случай индекса дефекта (1.1).

Пусть f - произвольное фиксированное невещественное число, а F - линейный оператор, действующий из дефектного подпространства f в f.

Квазисамосопряженным расширением оператора F, определяемым ограниченным оператором F, называется оператор AF, заданный на множестве

f

равенством

f 

f,

а совокупность всех обобщенных резольвент Rλ оператора A определяется равенством (см. [1])

ff  ,

где f - произвольная регулярная в полуплоскости операторная функция из дефектного подпространства f в f, не превосходящая единицы по норме, а f - квазисамосопряженное расширение оператора A, определяемое оператором f. Были доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Область определения f квазисамосопряженного расширения f и.-д. оператора A есть совокупность всех тех функций f, которые удовлетворяют граничному условию

ff  ,                  (2)

где f - произвольная регулярная в верхней полуплоскости функция с неотрицательной мнимой частью, или обращается в бесконечность. При этом формулой (2) определяется самосопряженные расширения и.-д. оператора A в пространстве f тогда и только тогда, когда f есть вещественная постоянная или обращается в бесконечность. Соответствие между классом операторных функций F(λ) и классом функций f взаимно однозначно.

Пусть f - произвольная функция из f, тогда имеет место

Теорема 2. Совокупность всех обобщенных резольвент Rλ  и.-д. оператора A при любом невещественном λ является интегральным оператором

f                           (3)

с ядром f,

где f - произвольная регулярная в верхней полуплоскости функция с неотрицательной мнимой частью, или обращается в бесконечность. При этом различным функциям f соответствуют различные обобщенные резольвенты. Формулой (3) определяется резольвента самосопряженного расширения в пространстве f и.-д. оператора A тогда и только тогда, когда f есть вещественная постоянная или обращается в бесконечность.

Здесь f - решение однородного и.-д. уравнения, удовлетворяющее условиям f и f, а функция f, зависящая от решения однородного и.-д. уравнения регулярна в верхней полуплоскости и имеет там положительную мнимую часть. Ядро f выражается через резольвенту некоторого самосопряженного расширения дифференциального оператора L для некоторого элемента, зависящего от f из f.

Построения всех формул обобщенных резольвент конечномерного возмущения дифференциальных операторов можно найти в работе [2].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Штраус А.В. Обобщенные резольвенты симметрических операторов // Изв. АН СССР, серия математическая, 1954,- Т.18. №1.- с.51-86.
  2. Синько Г.И. Спектральная теория интегро-дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве.- Уссурийск: Изд-во УГПИ, 1999. 151с.