![f](/snt/i/2005/1/image089.gif)
, (1)
где - самосопряженное дифференциальное выражение с вещественным и суммируемым коэффициентом q(x) таким, что для любого b>0
,
а - интегральное выражение с ненулевым вещественным симметрическим ядром Гильберта-Шмитда K(x,s) удовлетворяющее условиям:
а) для любых решений уравнения
;
б) в окрестности вещественной оси существует и регулярно по λ решение однородного и.-д. уравнения .
Операцией l в порождается квазидифференциальный оператор L с минимальной областью определения DL.
Обозначим через A = L + K и.-д. оператор, порождаемый и.-д. выражением (1) с минимальной областью определения DA = DL, где .
В работе рассматривается случай индекса дефекта (1.1).
Пусть - произвольное фиксированное невещественное число, а F - линейный оператор, действующий из дефектного подпространства
в
.
Квазисамосопряженным расширением оператора F, определяемым ограниченным оператором F, называется оператор AF, заданный на множестве
равенством
,
а совокупность всех обобщенных резольвент Rλ оператора A определяется равенством (см. [1])
,
где - произвольная регулярная в полуплоскости операторная функция из дефектного подпространства
в
, не превосходящая единицы по норме, а
- квазисамосопряженное расширение оператора A, определяемое оператором
. Были доказаны следующие утверждения.
Теорема 1. Область определения квазисамосопряженного расширения
и.-д. оператора A есть совокупность всех тех функций
, которые удовлетворяют граничному условию
, (2)
где - произвольная регулярная в верхней полуплоскости функция с неотрицательной мнимой частью, или обращается в бесконечность. При этом формулой (2) определяется самосопряженные расширения и.-д. оператора A в пространстве
тогда и только тогда, когда
есть вещественная постоянная или обращается в бесконечность. Соответствие между классом операторных функций F(λ) и классом функций
взаимно однозначно.
Пусть - произвольная функция из
, тогда имеет место
Теорема 2. Совокупность всех обобщенных резольвент Rλ и.-д. оператора A при любом невещественном λ является интегральным оператором
(3)
с ядром ,
где - произвольная регулярная в верхней полуплоскости функция с неотрицательной мнимой частью, или обращается в бесконечность. При этом различным функциям
соответствуют различные обобщенные резольвенты. Формулой (3) определяется резольвента самосопряженного расширения в пространстве
и.-д. оператора A тогда и только тогда, когда
есть вещественная постоянная или обращается в бесконечность.
Здесь - решение однородного и.-д. уравнения, удовлетворяющее условиям
и
, а функция
, зависящая от решения однородного и.-д. уравнения регулярна в верхней полуплоскости и имеет там положительную мнимую часть. Ядро
выражается через резольвенту некоторого самосопряженного расширения дифференциального оператора L для некоторого элемента, зависящего от
из
.
Построения всех формул обобщенных резольвент конечномерного возмущения дифференциальных операторов можно найти в работе [2].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
-
Штраус А.В. Обобщенные резольвенты симметрических операторов // Изв. АН СССР, серия математическая, 1954,- Т.18. №1.- с.51-86.
- Синько Г.И. Спектральная теория интегро-дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве.- Уссурийск: Изд-во УГПИ, 1999. 151с.
Библиографическая ссылка
Синько Г.И. ОБ ОБОБЩЕННОЙ РЕЗОЛЬВЕНТЕ ОДНОГО СИММЕТРИЧЕСКОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА НА ПОЛУОСИ // Современные наукоемкие технологии. – 2005. – № 1. – С. 91-92;URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=22108 (дата обращения: 17.08.2024).