Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Мотрюк Е.Н. 1 Шилова С.В. 1
1 ФГБОУ ВО «Ухтинский государственный технический университет»
Тектонические движения, образование и развитие складчатых и разрывных структур, зон трещинноватости, зон подготовки землетрясений, формирование ряда месторождений в значительной степени обусловлены напряженно-деформированным состоянием коры. Сейчас, когда сокращается фонд перспективных положительных структур в традиционных нефтегазодобывающих районах, возникает интерес к неантиклинальным ловушкам, с которыми могут быть связаны средние и малые месторождения нефти и газа. В связи с этим использование математического моделирования напряженно-деформированного состояния пород в массиве позволяет выявить динамические ловушки, зоны растяжения, в которых при благоприятных условиях может произойти образование залежи углеводородов. Одним из применяемых в этом случае методов является метод конечных элементов. В работе представлен алгоритм, позволяющий моделировать напряженно-деформированное состояние массива горных пород с помощью метода конечных элементов. Описано решение упруго-пластической задачи для двумерного случая. Применен метод к задачам поиска месторождений нефти и газа для определения напряженно-деформированного состояния изучаемого массива в целях дальнейшего прогнозирования зон растяжения и сжатия. Таким образом, при хорошей геофизической изученности, при существующих признаках неотектонических движений исследуемого района возможно моделирование механизмов, сопровождающих процессы растяжения с разрывными нарушениями коры и литосферы.
напряженно-деформированное состояние
метод конечных элементов
напряжение
перемещение
деформация
1. Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.
2. Жилин П.А. Рациональная механика сплошных сред: учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. 584 с.
3. Малакичев А.О. Использование метода конечных элементов для изучения свойств плоских структур / Информационные технологии и проблемы математического моделирования сложных систем. 2014. Т. 2. № 12–2. С. 67–73.
4. Аплеснин С.С., Чернышова Л.И., Машков П.П. Прикладная физика. Теория, задачи и тесты: учебное пособие. СПб.: Лань, 2021. 464 с.
5. Шевко Н.А. Численное моделирование залежей с высокопроводящими разломами // Нефтяное хозяйство. 2020. С. 76–87.
6. Цыцорин И.А. Методы оценки напряженно-деформированного состояния массива горных пород // Малышевские чтения: материалы IV Всероссийской научно-практической конференции. 2019. С. 82–87.

Тектонические движения, образование и развитие складчатых и разрывных структур, зон трещинноватости, зон подготовки землетрясений, формирование ряда месторождений в значительной степени обусловлены напряженно-деформированным состоянием коры. Способствующие этому процессы сжатия, растяжения земной поверхности в настоящее время активно изучаются в области решения краевых задач упругости, вязко-упругости, упруго-пластичности для выяснения динамических условий формирования месторождений полезных ископаемых. Сейчас, когда сокращается фонд перспективных положительных структур в традиционных нефтегазодобывающих районах, возникает интерес к неантиклинальным ловушкам, с которыми могут быть связаны средние и малые месторождения нефти и газа. В связи с этим использование математического моделирования напряженно-деформированного состояния пород в массиве позволяет выявить динамические ловушки, зоны растяжения, в которых при благоприятных условиях может произойти образование залежи углеводородов. Одним из применяемых в этом случае методов является метод конечных элементов.

Цель исследования – разработка алгоритма моделирования напряженно-деформированного состояния массива горных пород с помощью метода конечных элементов [1, 2] для последующего прогнозирования зон растяжения и сжатия.

Материалы и методы исследования

Метод конечных элементов в настоящее время активно используется для решения различных инженерных задач, таких как: строительство, гидро- и аэродинамика, горное дело и новейшая техника и т.д.

В данном методе реальная континуальной среда заменяется ее дискретной моделью, при этом применяются вариационные принципы, а дифференциальные уравнения представляются системой алгебраических уравнений, которая решается любым из известных численных методов.

Конечные подобласти, на которые разбивается рассматриваемая область (одно- , двух- или трехмерная), называются конечными элементами [3] (рис. 1а, 1б).

missing image file

а)

missing image file

б)

Рис. 1. Разбиение области на конечные элементы

Наибольшее распространение получил метод конечных элементов в перемещениях. Главными искомыми считаются перемещения узловых точек дискретной схемы, напряжения уходят на второй план.

Приведем упрощенный вариант упруго-пластической задачи для двумерного случая. Деформация – это изменение или формы, или размеров, или объема тела. При упругих деформациях после действия на тело внешних сил изменение полностью исчезает, при пластических деформациях они сохраняются и после того, как внешние силы перестали действовать [4]. Рассмотрим часть тела, определенную двумерной областью D. Cσ – граница области, где приложены силы, Cu – граница, где тело зафиксировано в пространстве, missing image file – вектор, направленный по нормали к границе наружу, missing image file – объемные силы, действующие на тело (рис. 2). При исследовании механизма деформирования блока или процесса образования разрыва при характерных размерах порядка 102 км целесообразно использовать модель пластины. Необходимо определить значения относительных деформаций εX, εY и двух нормальных и касательного напряжений σX, σY, τXY вдоль соответствующих осей. Пусть вектор missing image file – вектор перемещений рассматриваемой точки области D.

missing image file

Рис. 2. Упруго-пластическая задача

При изучении кратковременных процессов в ряде случаев естественно учитывать упругие, а при изучении длительных процессов – временные, реологические свойства вещества. Рассмотрим состояние тела при произвольной нагрузке. Выпишем необходимые дифференциальные уравнения, выражающие состояния объекта, происходящие в области малых деформаций.

Уравнения равновесия

missing image file

missing image file (1)

где силы обусловлены, например, градиентом температуры, гравитацией и т.п.

Зависимости между деформациями и перемещениями

Условия совместности деформаций и пере- мещений называются соотношениями Коши:

missing image file,

missing image file, (2)

missing image file,

γXY – деформация сдвига.

Уравнение состояния для упругих компонент – обобщенный закон Гука

Наращивание деформаций в твердых телах прямо пропорционально наращиванию напряжения:

missing image file,

missing image file, (3)

missing image file,

где missing image file, missing image file – относительные деформации вдоль соответствующих осей;

missing image file – угловое перемещение;

missing image file – модуль Юнга;

v – коэффициент Пуассона;

missing image file – абсолютная величина отношения поперечной и продольной относительной деформации образца материала. Данный коэффициент несет информацию о природе материала, из которого изготовлен образец;

missing image file – модуль сдвига.

Уравнения состояния для пластических компонент

Согласно деформационной теории пла- стичности:

missing image file,

missing image file, (4)

missing image file;

missing image file;

missing image file;

missing image file – гидростатическое давление;

missing image file – эквивалентное напряжение, missing image file;

σT – предел текучести при сдвиге.

Условия текучести Мизеса

Предельные значения проявления пластических свойств будут выглядеть следующим образом:

missing image file (5)

missing image file. (5’)

Общая деформация

Сложение компонент пластической и упругой деформации:

missing image file,

missing image file, (6)

missing image file.

Граничные условия:

А) геометрические, на Cu:

missing image file; (7)

В) силовые, на Cσ:

missing image file (8)

где

missing image file,

missing image file.

Результаты исследования и их обсуждение

В двумерной области D с границей C уравнения равновесия (1) и механические граничные условия (8), (7) можно преобразовать при помощи вспомогательных условий совместности (2), (4), (5). Используем условие минимума полной потенциальной энергии системы (принцип Лагранжа). Тогда принцип виртуальной работы в приращениях будет иметь вид [5]:

missing image file (9)

где t –толщина рассматриваемой пластины;

δW – элементарная энергия деформации;

δП – элементарная потенциальная энергия;

δAT – элементарная работа приложенных сил;

ds – элемент длины на границе области;

δdu, δdv – виртуальные перемещения, удовлетворяющие (2) и нулевые на Cu.

Применим дискретизацию пространства, т.е. рассматриваемую область D разобьем на ограниченное число треугольных элементов (рис. 3) и введем допущения о распределении перемещений внутри каждого элемента.

missing image file

Рис. 3. Аппроксимация области конечными элементами

Имеем:

missing image file – приращение перемещения в одном конечном элементе (m);

N – матрица дифференцирования функций перемещений,

missing image file,

missing image file, (10)

missing image file,

B – матрица функций перемещений;

missing image file – вектор узловых перемещений элемента (m);

{dε0} – начальная деформация;

D – матрица связи напряжений и дефор- маций.

Тогда принцип виртуальной работы можно выразить уравнением:

missing image file (11)

где missing image file матрица жесткости, связывающая приращения нагрузки dF с приращениями узловых перемещений:

missing image file,

missing image file.

Определяя зависимости (11) по всем элементам и используя условие непрерывности напряжения в узлах и условия равновесия сил, составим систему уравнений для всей конструкции. Определим решения в узлах путем решения системы линейных уравнений для заданных граничных условий, а перемещения, деформации и напряжения внутри элементов вычислим по (10) [6].

Опишем коротко алгоритм решения задачи.

1. В начале i-го шага вычисляем матрицу жесткости, входящую в (11), для упругих элементов.

2. Далее, чтобы в элементе (m) возникла текучесть, необходимо, чтобы приращение нагрузки было rm{dF}, где rm – коэффициент относительной нагрузки, при котором эквивалентное напряжение становится равным пределу текучести (выражение в правой части (5)). Этот коэффициент находится для всех упругих элементов.

3. Упругий элемент с минимальным значением rm становится элементом, текучесть которого наступает на i-м шаге.

4. Напряжения и деформации после этого шага определяются в виде:

missing image file

где индекс соответствует шагу приращения нагрузки.

5. Решение задачи получается путем итераций, пока не будет достигнута заданная нагрузка.

Для реализации алгоритма необходимо применять системы автоматизированного проектирования, которые используют численные методы расчета полевых и сложных инженерных задач, сводящиеся к приближенному решению дифференциальных уравнений в частных производных. Наибольшее применение получили программные продукты, использующие метод конечных элементов: Maxwell EM, ANSYS, EMS, FLUX 2D и FLUX 3D, MagNet, Magneto, FEA, ELCUT и др.

Выводы

Разработан алгоритм, позволяющий моделировать напряженно-деформированное состояние массива горных пород с помощью метода конечных элементов для двумерного случая. При этом, имея достаточный уровень геофизической изученности, при существующих признаках неотектонических движений исследуемого района возможно моделировать механизмы, сопровождающие процессы растяжения с разрывными нарушениями коры и литосферы, что позволит выявить динамические ловушки, зоны растяжения, в которых при благоприятных условиях может произойти образование залежи углеводородов.


Библиографическая ссылка

Мотрюк Е.Н., Шилова С.В. МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ // Современные наукоемкие технологии. – 2021. – № 11-1. – С. 57-62;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=38888 (дата обращения: 29.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674