Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,021

ИЗГИБ СОСТАВНОЙ ПЛАСТИНЫ ИЗ РАЗНОМОДУЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ

Кривчун Н.А. 1 Уманская О.Л. 1
1 Тюменский индустриальный университет
В настоящее время в строительстве, машиностроении, авиастроении используют композитные материалы. Многие из них обладают свойством разномодульности, т.е. имеют различные модули упругости на растяжение-сжатие. К материалам, обладающим такими свойствами, относятся конструкционные стали, специальные чугуны, графиты, оргстекло, бетон и т.д. Помимо этого, при строительстве используются составные многослойные пластины, в которых материалы слоев тоже могут обладать свойством разномодульности. При рассмотрении составных пластин необходимо учитывать не только свойства материала слоев, но и влияние связей между слоями. Необходимо совершенствовать методы расчета составных конструкций, выполненных из таких материалов. Математическая модель включает в себя уравнения, описывающие работу швов, соединяющих слои; уравнение равновесия для всей составной пластины в целом; уравнения неразрывности срединной поверхности для каждого слоя. Авторы рассматривают изгиб трехслойной пластины, у которой материал среднего слоя обладает разномодульностью, а слои соединяются анкерами или клеем. Такое соединение слоев обеспечивает конечную жесткость на сдвиг. Предлагается решение задачи изгиба трехслойной пластины с учетом связей между слоями и разносопротивляющихся свойств слоев.
составная пластина
разномодульные материалы
интегральные характеристики жесткости
напряжения
деформации
1. Кривчун Н.А., Уманская О.Л. Интегральные характеристики жесткости составных пластин из разносопротивляющихся материалов // Фундаментальные исследования. 2016. № 3–3. С. 505–508.
2. Якубовский Ю.Е., Гуляев Б.А., Колосов В.И., Кривчун Н.А., Якубовская С.В. Изгиб составных пластин и пологих оболочек. Тюмень, 2016. 185 с.
3. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. 320 с.
4. Пахомов Б.М. Вариант модели изотропного разномодульного материала // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 6. C. 35–48. DOI: 10.18698/0236-3941-2017-6-35-48.
5. Якубовский Ю.Е., Гуляев Б.А., Донкова И.А., Кузяев А.Г. Моделирование и расчет составных пластин, пологих и цилиндрических оболочек. Тюмень: ТИУ, 2018. 170 с.

В современном строительстве широко и многофункционально используются многослойные пластины. Слои пластин выполняют как из новых, так и традиционных материалов, в том числе композитных. Эти материалы в основном характеризуются свойством разномодульности, то есть имеют различные модули упругости при растяжении и сжатии [1]. Решая задачи изгиба составных конструкций, необходимо учитывать особенности их деформирования в реальных условиях за счёт взаимного проскальзывания слоёв. Перераспределение усилий между слоями обеспечивается переменной жёсткостью швов. При расчёте напряжённо-деформированного состояния необходимо учитывать влияние жёсткости межслойных связей. Построение математической модели подробно изложено в [2].

Цель исследования: математическая модель изгиба многослойных составных пластин из разномодульных материалов включает систему дифференциальных уравнений и граничные условия. В результате интегрирования уравнений равновесия, неразрывности и работы шва, искомые функции W, φi, Ti должны удовлетворять краевым условиям, которые соответствуют конкретному закреплению контура.

Материалы и методы исследования

Построение математической модели и последующие исследования выполнялись методами математического моделирования.

Результаты исследования и их обсуждение

Рассматривается изгиб составных пластин, у которых материал среднего слоя имеет различные модули Юнга на растяжение и сжатие, определяющим является знак главного напряжения [3], разномодульность связана с положением главных площадок [4]. Рассмотрим составную трехслойную симметричную пластину. Размеры пластины 1200×1200 мм. Толщины крайних стальных листов krivc01.wmf мм, общая толщина 120 мм. Модули упругости krivc02.wmf МПа; krivc03.wmf МПа, коэффициенты Пуассона krivc04.wmf krivc05.wmf. Нагрузка интенсивностью q = 1 МПа прикладывалась в центре пластины на площадке 200×200 мм по нормали.

Слои в составной пластине соединены связями, которые предполагают сдвиг одного слоя по отношению к другому вдоль оси пластин. Поперечные связи абсолютно жесткие. Такое соединение слоев обеспечивает одинаковый прогиб.

Интегральные характеристики жесткости для i-го слоя составной пластины запишем с учётом разномодульных свойств материала [1], в декартовых координатах. Переход от направлений главных площадок к координатам X, Y осуществляем через преобразование матрицы податливостей, в отличие от [5].

Математическую модель изгиба составной конструкции из разномодульных материалов запишем в виде системы дифференциальных уравнений [1]. Стремясь к смешанной форме уравнений, введем в рассмотрение функцию усилий φ(x, y), действующих в срединной поверхности i-го слоя. Запишем усилия, действующие в i-м слое:

krivc06.wmf

krivc07.wmf (1)

krivc08.wmf

Обозначим krivc09.wmf, krivc10.wmf, где krivc11.wmf, krivc12.wmf – усилия от сдвигающих напряжений в межслойных связях i-го шва.

Уравнение равновесия получим из рассмотрения элемента i-го слоя пластины в смешанном виде [1]:

krivc13.wmf (2)

Уравнение неразрывности для срединной поверхности i-го слоя в операторной форме [1]:

krivc14.wmf (3)

Чтобы замкнуть систему, запишем уравнения, отражающие работу i-го шва. В этих уравнениях учитывается совместная работа слоев, прилегающих к i-му шву.

В каждом шве выделим осевую линию, по обе стороны которой происходят продольные смещения слоев. Разности этих смещений запишутся как

krivc15.wmf; krivc16.wmf, (4)

где ui(x, y), vi(x, y), wi(x, y) – продольные и поперечные смещения точек серединной поверхности i-го слоя; ci(x, y) – расстояние между серединными поверхностями смежных слоев, при переменной толщине слоев.

Связь между Δui, Δvi и сдвигающими напряжениями в i-м шве представим в виде [2]:

Напряжения сдвига записываются через функции krivc17.wmf и krivc19.wmf учитывающие работу i-го шва:

krivc20.wmf; krivc21.wmf. (5)

Выразим из (5) Δui, Δvi, подставим их в (4). Продифференцируем первое уравнение (4) по x, второе по y. Запишем полученные уравнения [1]:

krivc24.wmf

krivc25.wmf (6)

Математическая модель изгиба многослойных составных пластин из разномодульных материалов состоит из системы дифференциальных уравнений и граничных условий.

В результате интегрирования (2), (3) и (6) искомые функции W, φi и Ti должны удовлетворять краевым условиям, которые соответствуют конкретному закреплению контура.

В общем случае можно выделить две группы граничных условий: на контуре опирания (для всего пакета) и на торцах пакета (для каждого i-го слоя и шва). При этом условия на контуре формулируются независимо от условий на торцах слоев и швов.

Варианты опирания на контуре:

1. Шарнир.

2. Жесткая заделка.

3. Свободный край.

Условия на торцах слоев:

A – торцы слоев скреплены гибкой лентой;

B – торцы скреплены абсолютно жесткой лентой;

C – свободные торцы.

Полагая, что на всех четырех кромках составной пластины условия одинаковы, приступим к рассмотрению случаев опирания по кромкам x = 0 и x = a:

1 – A. Пластина опирается на шарнир, подвижный по нормали к контуру и неподвижный вдоль контура, а торцы слоев скреплены гибкой лентой. Граничные условия имеют вид

W = 0; V i = 0; Mx = 0;

krivc26.wmf; krivc27.wmf; krivc28.wmf. (7)

Из первого условия следует krivc29.wmf. Из (1), если krivc30.wmf, то krivc31.wmf. Из (7) искомые функции, должны удовлетворять следующим условиям:

krivc32.wmf

krivc33.wmf

krivc34.wmf (8)

krivc35.wmf

1 – B. При шарнирном опирании пластины торцы скреплены абсолютно жесткой лентой. Граничные условия имеют вид

W = 0; Ui = 0; Vi = 0; krivc36.wmf; krivc37.wmf. (9)

Так как W принимает на кромке нулевое значение, то и производная krivc38.wmf вдоль этой кромки.

Распишем условия (9):

krivc39.wmf (10)

krivc40.wmf

krivc41.wmf

krivc42.wmf

krivc43.wmf

krivc44.wmf

Далее система (9) расписывается относительно krivc45.wmf, krivc46.wmf, krivc47.wmf.

1 – C. Составная пластина со свободными торцами слоев опирается на шарнир. Краевые условия для этого случая:

W = 0; Mx = 0; krivc48.wmf; Si = 0; Ti = 0. (11)

Равенство нулю прогиба на кромке приводит к условию krivc49.wmf, krivc50.wmf.

krivc51.wmf

krivc52.wmf

krivc53.wmf; (12)

krivc54.wmf

Окончательно получим krivc55.wmf;

Ti = 0; krivc56.wmf (13)

Заключение

Представленные дифференциальные уравнения позволяют решать, в отличие от существующих моделей, задачи изгиба многослойных пластин из разносопротивляющихся материалов с учетом влияния жесткости межслойных связей на напряженно-деформированное состояние конструкции. Свойство разномодульности материала учтено при записи интегральных характеристик жесткости. Тот факт, что дифференциальные уравнения имеют высокий порядок, позволяет учитывать сложные и разнообразные кинематические и статические условия закрепления слоев оболочки. Граничные условия для функции, которая отражает условия, связанные с внешней статической неопределимостью, должны записываться для каждого слоя, для функции, отвечающей за внутреннюю статическую неопределимость конструкции, для каждого шва.


Библиографическая ссылка

Кривчун Н.А., Уманская О.Л. ИЗГИБ СОСТАВНОЙ ПЛАСТИНЫ ИЗ РАЗНОМОДУЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ // Современные наукоемкие технологии. – 2020. – № 6-1. – С. 56-60;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=38071 (дата обращения: 15.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074