Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ НЕКОТОРЫХ РОБАСТНЫХ ФИЛЬТРОВ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Чубич В.М. 1 Филиппова Е.В. 1
1 ФГБОУ ВО «Новосибирский государственный технический университет»
Рассмотрена проблема оценивания и фильтрации при наличии негауссовких шумов в моделях состояния и наблюдения. Введено понятие коррентропийных фильтров и отличие их от традиционного фильтра Калмана. Приведены расчетные алгоритмы некоторых перспективных адаптивных фильтров. На примере модели прямолинейного равноускоренного движения объекта со случайным характером возникновения аномальных выбросов при помощи разработанного программно-математического обеспечения проведен сравнительный анализ эффективности современных робастных фильтров Изанлу (Izanloo) – Фейкуриана (Fakoorian) – Джазди (Yazdi) – Саймона (Simon), Чена (Chen) – Лю (Liu) – Чжао (Zhao) – Принципэ (Principe), Вана (Wang) – Гао (Gao) – Чжана (Zhang) – Ма (Ma) и Сярккя (Srkk?) – Нумменмаа (Nummenmaa), адаптированных к нестационарным линейным непрерывно-дискретным системам. Использованы методы компьютерного моделирования и Монте-Карло. Проведенные в статье исследования показали, что фильтры Изанлу – Фейкуриана – Джазди – Саймона и Чена – Лю – Чжао – Принципэ наиболее удачно справились с обработкой аномальных данных. Учитывая относительную простоту программной реализации первого из указанных фильтров, авторы рекомендуют именно его к практическому применению. При этом приходится считаться с возникающей проблемой оптимального выбора размера гауссовского ядра.
фильтр Калмана
критерий максимальной коррентропии
байесовская аппроксимация
робастная фильтрация
аномальные наблюдения
стохастическая непрерывно-дискретная система
1. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении / пер. с англ. М.: Связь, 1976. 496 с.
2. Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. М.: Энергоатомиздат, 1990. 208 с.
3. Grewal M.S., Andrews A.P. Kalman filtering: theory and practice using MATLAB. New Jersey: John Wiley & Sons, 2008. 575 p.
4. Sarkka S., Nummenmaa A. Recursive noise adaptive Kalman filtering by variational Bayesian approximations. IEEE Transactions on Automatic control. 2009. Vol. 54. P. 596–600.
5. Bavdekar V.A., Deshpande A.P. and Patwardhan S.C. Identification of process and measurement. Journal of Process Control. 2011. Vol. 21. P. 585–601.
6. Gao W., Li J., Zhou J., Li Q. Adaptive Kalman filtering with recursive noise estimator for integrated SINS/ DVL systems. The journal of navigation. 2015. Vol. 68. P. 140–161.
7. Izanloo R., Fakoorian S.A., Yazdi H.S., Simon D. Kalman filtering based on the maximum correntropy criterion in the presence of non- Gaussian noise. Annual Conference on Information Science and Systems (CISS), Princeton, USA: proccedings. 2016. P. 500–505.
8. Chen B., Liu X., Zhao H., Prncipe J. Maximum correntropy Kalman filter. Automatica. 2017. Vol. 76. P. 70 –77.
9. Wang G., Gao Z., Zhang Y., Ma B. Adaptive Maximum Correntropy Gaussian Filter Based on Variational Bayes. Sensors 2018. Vol. 18 (6). 1960.
10. Чубич В.М., Прокофьева А.Э. Сравнительный анализ некоторых робастных фильтров для нестационарных линейных дискретных систем // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 12 (131). С. 123–137.
11. Kulikova M.V. Square-root algorithms for maximum correntropy estimation of linear discrete-time systems in presence of non-Gaussian noise. Systems & Control Letters. 2017. Vol. 108. P. 8–15.

Необходимость решения задач оценивания и фильтрации возникает во многих технических приложениях. При этом на практике (например, в задачах радиолокации, связи, навигации и управления) часто встречаются ситуации, связанные с наличием аномальных наблюдений, не содержащих достоверной информации об исследуемой системе. Причина этого может быть связана, например, с неисправностями, приводящими к изменению статистических характеристик данных, а также с отклонением распределения шумов системы и измерений от гауссовского. Использование алгоритмов оценивания, не учитывающих возможность появления аномальных наблюдений, может привести к смещению оценок параметров. В связи с этим представляется целесообразным иметь дело с робастными процедурами оценивания.

Традиционно для решения задач оценивания и фильтрации привлекают фильтр Калмана [1–3], позволяющий находить несмещенные оценки состояния с минимальной дисперсией. Этот фильтр предполагает наличие гауссовских шумов в моделях состояния и наблюдения и будет расходиться при нарушении данного предположения. В настоящий момент разработаны многочисленные робастные модификации фильтра Калмана. Исследований по данной тематике становится все больше [4–6]. В связи с этим возникает практическая целесообразность в сравнении эффективности наиболее популярных робастных фильтров. В этом отношении особое внимание следует уделить появившимся относительно недавно так называемым коррентропийным фильтрам [7–9]. Эти фильтры являются наиболее популярными и заключаются в использовании в качестве критерия оптимальности критерия максимума коррентропии. Коррентропия определяется как статистическая мера близости между двумя случайными величинами и позволяет учитывать моменты второго и более высокого порядка. Таким образом, применение данных фильтров способствует получению качественных оценок вектора состояния при наличии негауссовских шумов.

В [10] был проведен сравнительный анализ некоторых широко известных робастных фильтров для нестационарных линейных дискретных систем. В результате проведенных исследований выявлены два наиболее эффективных фильтра. Ими оказались фильтры Изанлу (Izanloo) – Фейкуриана (Fakoorian) – Джазди (Yazdi) – Саймона (Simon) [7] и Сярккя (Sarkka) – Нумменмаа (Nummenmaa) [4], известные по англоязычным публикациям как фильтры MCC-KF (От Maximum Correntropy Criterion Kalman Filter) и VB-AKF (От Variational Bayesian Adaptive Kalman Filter) соответственно. Настоящая работа является продолжением и естественным развитием основных результатов из [10].

На примере непрерывно-дискретной модели прямолинейного равноускоренного движения объекта провести сравнительный анализ эффективности указанных фильтров с двумя новыми коррентропийными фильтрами и выявить наиболее качественные из них.

Рассмотрим следующую управляемую, наблюдаемую модель стохастической системы в пространстве состояний:

chub01.wmf, (1)

chub02.wmf. (2)

Здесь x(t) – n – вектор состояния, u(t) – детерминированный r – вектор управления, w(t) – p – вектор шума системы (возмущения), y(tk+1) – m – вектор измерения (наблюдения), v(tk+1) – m – вектор шума измерения.

Будем считать, что:

– случайные векторы w(t) и v(tk+1) являются стационарными белыми гауссовскими шумами, для которых

chub03.wmf, chub04.wmf,

chub05.wmf, chub06.wmf,

chub07.wmf

(здесь chub08.wmf – оператор математического ожидания, ?(t – ?δ(t – τ) – дельта-функция Дирака, δki – символ Кронекера);

– начальное состояние x(t0) имеет нормальное распределение с параметрами

chub09.wmf, chub10.wmf

и не коррелирует с w(t) и v(tk+1).

Необходимо для математической модели (1), (2) с учетом указанных априорных предположений при наличии аномальных наблюдений провести исследование эффективности некоторых перспективных, по нашему мнению, робастных фильтров.

Описание исследуемых фильтров

Приведем ниже некоторые современные адаптивные фильтры, позволяющие получать оценки вектора состояния, а также ковариационной матрицы ошибок оценивания при наличии аномальных наблюдений.

Имея дело с негауссовскими шумами в (1), (2), методы максимальной коррентропии предполагают вместо классического критерия минимума среднеквадратичной ошибки использовать следующий критерий оптимальности:

chub11.wmf, (3)

где

chub12.wmf – функция ядра Гаусса;

chub13.wmf – оценка фильтрации вектора состояния в момент времени tk+1;

chub14.wmf – оценка одношагового предсказания вектора состояния;

chub15.wmf – оценка y(tk+1), полученная по измерениям y(t1),…, y(tk+1).

Следует уточнить, что выбор размера ядра σ существенно влияет на качество работы коррентропийных фильтров. К сожалению, в настоящий момент еще не предложена какая-либо методика для априорного определения σ. В связи с этим данный параметр приходится подбирать опытным путем, что пока является слабым местом всех коррентропийных фильтров. Дополнительно уточним, что при больших значениях σ коррентропийные фильтры начинают работать значительно хуже, так как все более начинают походить на классический фильтр Калмана.

Фильтр Изанлу – Фейкуриана – Джазди – Саймона сочетает в себе критерий максимальной коррентропии и метод взвешенных наименьших квадратов и использует один шаг метода простых итераций для решения возникающего при оптимизации критерия (3) нелинейного уравнения. Приведем алгоритм данного фильтра с использованием эквивалентных форм представления матричного коэффициента усиления chub16.wmf и ковариационной матрицы ошибок фильтрации chub17.wmf из [11].

Инициализация:

chub18.wmf

Выполнять в цикле по chub19.wmf

Одношаговое предсказание:

chub20.wmf

chub21.wmf

Фильтрация:

chub22.wmf

chub23.wmf

chub24.wmf

chub25.wmf

chub26.wmf

chub27.wmf

Конец цикла.

В фильтре Чена – Лю – Чжао – Принципэ (в англоязычных публикациях он известен как фильтр MCKF (От Maximum Correntropy Kalman filter)) [8] для решения оптимизационной задачи (3) был предложен новый алгоритм, использующий несколько шагов метода простых итераций (их количество зависит от выбранного параметра ε), обладающий высокой сходимостью и позволяющий находить оценки фильтрации и ковариационной матрицы ошибки фильтрации.

Инициализация:

chub28.wmf

Выполнять в цикле по chub29.wmf

Одношаговое предсказание:

chub30.wmf

chub31.wmf

Фильтрация:

chub32.wmf

chub33.wmf

chub34.wmf

chub35.wmf

chub36.wmf

chub37.wmf

Выполнять в цикле по chub38.wmf

chub39.wmf

chub40.wmf

chub41.wmf

chub42.wmf

chub43.wmf

chub44.wmf

chub45.wmf

chub46.wmf

Если chub47.wmf, то chub48.wmf и конец цикла по i.

chub49.wmf

Конец цикла по k.

Фильтр Вана – Гао – Чжана – Ма (в англоязычных публикациях он известен как фильтр VBMCGF (От Variation Beysian Maximum Correntropy Gaussian Filter)) [9] так же основан на критерии максимальной коррентропии в сочетании с вариационным байесовским оцениванием и используется при оценивании вектора состояния системы с неизвестными ковариационными матрицами негауссовских шумов.

Инициализация:

chub50.wmf

Выполнять в цикле по chub51.wmf

Одношаговое предсказание:

chub52.wmf

chub53.wmf

Фильтрация:

chub54.wmf

chub55.wmf

chub56.wmf

chub57.wmf

chub58.wmf

chub59.wmf

chub60.wmf

Выполнять в цикле по chub61.wmf

chub62.wmf

chub63.wmf

chub64.wmf

chub65.wmf

chub66.wmf

chub67.wmf

chub68.wmf

chub69.wmf

chub70.wmf

chub71.wmf

Конец цикла по i.

chub72.wmf

chub73.wmf

chub74.wmf

Конец цикла по k.

Фильтр Сярккя – Нумменмаа не относится к коррентропийным. Он получен на основе вариационного байесовского оценивания в предположении, что ковариационная матрица шума измерений chub75.wmf порядка m считается диагональной и неизвестной.

Инициализация:

chub76.wmf

Выполнять в цикле по chub77.wmf

Одношаговое предсказание:

chub78.wmf

chub79.wmf

Фильтрация:

chub80.wmf

chub81.wmf

chub82.wmf

Выполнять в цикле по chub83.wmf

chub84.wmf

chub85.wmf

chub86.wmf

chub87.wmf

chub88.wmf

Выполнять в цикле по chub89.wmf

chub90.wmf

chub91.wmf

Конец цикла по j.

Конец цикла по i.

chub92.wmf

chub93.wmf

chub94.wmf

Конец цикла по k.

Результаты исследования и их обсуждение

Проведем исследование эффективности указанных подходов на примере модели прямолинейного равноускоренного движения объекта под влиянием внешней среды. Первая компонента состояния – это положение объекта, вторая – скорость, третья – ускорение. Предположим, измеряется (с некоторой ошибкой) скорость объекта. Модели состояния и измерения приведены ниже.

chub95.wmf

chub96.wmf

Будем считать, что выполняются все априорные предположения, высказанные при постановке задачи, причем chub97.wmf, chub98.wmf, chub99.wmf, chub100.wmf. Примем, что измерения производятся равномерно через каждые chub101.wmf и значения различных параметров в исследуемых фильтрах выбраны в соответствии с табл. 1.

Таблица 1

Значение параметров робастных фильтров

Фильтр

Значение параметров фильтра

MCC-KF

σ0 = 10

MCKF

σ0 = 10, ε0 = 10-8

VBMCGF

v0 = 4, V0 = diag[0,1, 0,1], σ0 = 10, ρ0 = 0,8, L0 = 4

VB-AKF

αi0 = βi0 = 1, i = 1,...,m, L0 = 4

Смоделируем с помощью программной среды Matlab выборку с аномальными наблюдениями, задав коэффициент загрязнения выборки λ = 0,1 и дисперсию шума аномальных наблюдений chub102.wmf. Предположим, что обрабатываются данные со случайным характером аномальных измерений. Приведем графическое представление результатов фильтрации на рисунке.

chubic1a.tif chubic1b.tif

а) б)

chubic1c.tif chubic1d.tif

в) г)

Графическое представление y(tk+1) и chub103.wmf при использовании: а) MCC-KF; б) MCKF; в) VBMCGF; г) VB-AKF

Для ослабления зависимости результатов оценивания от выборочных данных проведем M = 100 различных запусков системы. О качестве оценивания будем судить по значению усредненного квадратного корня среднеквадратичной ошибки (Root Mean Square Error), которое будем вычислять для каждой компоненты вектора состояния по следующей формуле:

chub104.wmf

Здесь под chub105.wmf и chub106.wmf понимаются, соответственно, значения i-й компоненты вектора состояния и оценки фильтрации, полученные при j-м запуске системы. Численные результаты фильтрации представлены в табл. 2.

Таблица 2

Численные результаты процедуры фильтрации

Фильтр

RMSE1

RMSE2

RMSE3

chub107.wmf

MCC-KF

0,180

0,093

0,112

0,232

MCKF

0,173

0,092

0,107

0,224

VBMCGF

0,271

0,162

0,111

0,334

VB-AKF

0,926

0,358

0,133

1,002

Исходя из табл. 2, можно сделать вывод, что среди рассмотренных фильтров наиболее устойчивыми к обработке измерительных данных с аномальными наблюдениями оказались фильтры Изанлу – Фейкуриана – Джазди – Саймона и Чена – Лю – Чжао – Принципэ.

Выводы

В работе проведено исследование эффективности некоторых современных робастных фильтров для моделей стохастических непрерывно-дискретных систем. При этом наилучшие и вполне сопоставимые между собой результаты показали фильтры Изанлу – Фейкуриана – Джазди – Саймона и Чена – Лю – Чжао – Принципэ. Учитывая относительную простоту программной реализации первого из указанных фильтров, авторы рекомендуют его к практическому применению.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-31-00283.


Библиографическая ссылка

Чубич В.М., Филиппова Е.В. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ НЕКОТОРЫХ РОБАСТНЫХ ФИЛЬТРОВ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ // Современные наукоемкие технологии. – 2018. – № 12-1. – С. 153-161;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=37279 (дата обращения: 01.07.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074