Научный журнал

Современные наукоемкие технологии

ISSN 1812-7320

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,940

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Грибанов Е.Н. 1 Победаш П.Н. 1

---

1 ФГБОУ ВО «Кузбасский государственный технический университет имени Т.Ф. Горбачёва»

В данной работе исследуется математическая модель экономического роста Самуэльсона – Хикса, используемая для описания закономерностей, связанных с колебаниями деловой активности в условиях экономического роста. Решается следующая задача параметрической оптимизации: найти значения параметров фактора акселерации и склонности к потреблению, при которых валовый выпуск (задаваемый разностным уравнением второго порядка) в фиксированный момент времени будет наибольшим. При этом рассматривается случай, когда дискриминант соответствующего характеристического уравнения равен нулю (то есть уравнение имеет кратный корень). Применяя дифференциальное и интегральное исчисление, удалось доказать, что валовый выпуск возрастает как по непрерывному фактору акселерации, так и по дискретному моменту времени. Это дает возможность решить еще более общую оптимизационную задачу определения значений указанных параметров, максимизирующих валовый выпуск на заданном горизонте планирования, и получить его аналитическое выражение. Последний результат, в свою очередь, позволяет найти оценку сверху на данный экономический показатель при произвольных значениях параметров фактора акселерации и склонности к потреблению в модели Самуэльсона – Хикса для рассмотренного частного случая, когда дискриминант соответствующего характеристического уравнения равен нулю.

Статья в формате PDF

0 KB

задача параметрической оптимизации

валовый выпуск

горизонт планирования

1. Нижегородцев Р.М. Факторы экономического роста российских регионов: регрессионно-кластерный анализ / Р.М. Нижегородцев, М.Ю. Архипова // Вестник УГТУ ЮПИ. – 2009. – № 3. – С. 94–110.

2. Колемаев В.А. Математические методы и модели исследования операций / В.А. Колемаев. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2012. – 592 с.

3. Хуснутдинов Р.Ш. Экономико-математические методы и модели / Р.Ш. Хуснутдинов. – М.: ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М», 2013. – 224 с.

4. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учебное пособие / И.В. Орлова, В.А. Половников. – 3-e изд., перераб. и доп. – М.: Вузовский учебник, НИЦ ИНФРА-М, 2014. – 389 с.

5. Математическая экономика на персональном компьютере / под ред. М. Кубонива. – М.: Финансы и статистика, 1991. – 304 с.

6. Коврижных А.Ю. Дифференциальные и разностные уравнения: учеб. пособие / А. Ю. Коврижных, О.О. Коврижных. – Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2014. – 148 с.

7. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды / Л.Д. Кудрявцев. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. – 444 с.

Экономический кризис последнего десятилетия заставляет более детально исследовать экономико-математические модели, примеры которых представлены в различных источниках [1–4]. Кроме того, очевидно, необходимо уделить особое внимание методам исследования подобных моделей для получения обоснованности получаемых на их основе научных выводов. В связи с вышеизложенным, трудно переоценить актуальность исследования в частности, динамических моделей экономического роста, описывающих подъемы и спады в развитии экономики как модели делового цикла. К числу таких экономико-математических моделей относится исследуемая далее в данной статье модель Самуэльсона – Хикса, связывающая такие макроэкономические показатели, как валовый выпуск, потребление и инвестиции, с параметрами модели – фактором акселерации, склонностью к потреблению и базовым потреблением [5].

Целью исследования в представленной работе является обоснование монотонного роста валового выпуска в зависимости от фактора акселерации для любого фиксированного момента времени и, как следствие, нахождение соответствующего максимального валового выпуска. Предлагаемое далее исследование опирается на строгие математические методы решения линейных разностных уравнений и математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисление) [6, 7]. При этом валовый выпуск рассматривается как непрерывная функция меняющегося параметра, а момент времени считается, наоборот, заданным.

Рассмотрим экономику, в которой изменение национального дохода (валового выпуска) происходит под действием следующего принципа акселерации: объемы инвестирования зависят от изменения спроса на конечную продукцию или валового выпуска.

Математическая модель национальной экономики может быть представлена уравнениями

, ,

, (1)

где It, Yt и Ct – соответственно инвестиции, валовый выпуск и потребление в период t, v > 0 – фактор акселерации, 0 < a < 1 – склонность к потреблению, b > 0 – базовое потребление. Первое из них означает, что инвестиции пропорциональны приросту валового выпуска, второе задает потребление как линейную функцию от выпуска, а третье – условие бюджетного баланса (равенство спроса и предложения). Модель (1), известная в литературе как модель Самуэльсона – Хикса, используется при описании закономерностей, связанных с колебаниями деловой активности [5]. Исключая It и Ct из уравнений (1), получаем уравнение динамики валового выпуска в виде следующего линейного разностного уравнения второго порядка:

, (2)

являющееся линейным неоднородным разностным уравнением второго порядка. Согласно [6], решение уравнения (2) сводится к характеристическому уравнению

(3)

и зависит от знака его дискриминанта . В данной работе исследуем оптимизационную задачу: найти значения параметров a и v, при которых валовый выпуск Yt в некоторый момент времени t максимален. Рассмотрим случай, когда D = 0, предполагая базовое потребление b неизменным. Полагаем (не нарушая общности анализа), что выпуски . Тогда математическая постановка сформулированной задачи записывается как

(4)

В соответствии с алгоритмом, изложенным в [6], решение уравнения (2) имеет вид

, , (5)

где – единственный корень уравнения (3), а коэффициенты

,

.

В силу нулевых начальных условий,

, . (6)

Поскольку и , то и условие равносильно тому, что

. (7)

Так как , то из (7) получим или 0 < v < 4. Таким образом, множество содержательных значений параметров a, v описывается линией вида (7), где 0 < v < 4 (рисунок). Так как a < 1, то или v ≠ 1. Поэтому формально следует исключить значение v = 1, которому, согласно (7), соответствует значение , т.е. исключить точку (1;1) кривой, представленной на рис. 1, – точку максимума. Однако для разрешимости задачи параметрической оптимизации (4), в соответствии с теоремой Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией на отрезке своей верхней и нижней грани [7], потребуем замкнутости множества значений параметров a, v, включив крайние их значения и указанную точку максимума, т.е. полагаем, что 0 ≤ v ≤ 4 и 0 ≤ a ≤ 1. Очевидно, это множество непусто, а его ограниченность следует из условий 0 < v < 4, 0 < a < 1. В силу формулы (7) корень уравнения (3)

и

,

поэтому константы (6) преобразуются к виду

,

.

При этом выражение (5) для валового выпуска определяется формулой

, , или

График параметрической зависимости , 0 ≤ v ≤ 4

,

Тогда задача (4) равносильна следующей

, (8)

Обозначим

, . (9)

Так как функция возрастает по v, от задачи (8) перейдем к эквивалентной задаче

, или

, (10)

Исследуем на экстремум из (10) как функцию от непрерывного параметра λ:

.

Таким образом,

. (11)

Обозначая

, (12)

можем переписать формулу (11) в виде

. (13)

Дифференцируем (12) по λ:

.

Таким образом, получили

, (14)

из которого следует: кратно . Интегрируя (14) по λ, получим

.

Сделаем замену . Тогда

.

В итоге

, (15)

откуда при λ = 1 имеем Qt(1) = C. С другой стороны, из (12) получим

.

Таким образом, , поэтому (15) окончательно запишем в виде

. (15’)

Заметим, что из (15’) следует: Qt(λ) кратно . Подставляя (15’) в (13), имеем

. (16)

Кроме того, объединяя выражения (11) и (16), получим тождество

, (17)

из которого следует, что λ = 1 – точка устранимого разрыва . Действительно, при из левой части (17) по правилу Лопиталя, с учетом (13) и (14), найдем

.

С другой стороны, из правой части (17) имеем

,

т.е. . Тогда доопределим выражением , считая ее непрерывной в точке λ = 1, т.е.

. (18)

На основе формулы (16) несложно доказать следующую лемму.

Лемма. Если для уравнения динамики (2) справедливы условия

, (19)

то

. (20)

Доказательство. При неравенство (20) очевидно в силу (16), (18) и условий . Поэтому достаточно доказать указанное неравенство для 0 ≤ λ < 1. Применяя бином Ньютона к формуле (16), перепишем ее в виде

. (21)

Рассмотрим двойную сумму более общего вида, чем правая часть (21):

или, упорядочивая слагаемые по степеням λ, имеем

Таким образом, доказано равенство , в силу которого при , перепишем выражение (21) в виде

. (22)

Рассмотрим внутреннюю сумму по s в правой части (22):

.

Сделаем в последней сумме замену . Тогда

.

Делая в полученной сумме замену , запишем

В итоге получим

. (23)

Рассмотрим тождество, получаемое из бинома Ньютона или

. (23’)

Умножая его на и учитывая, что , запишем

.

Интегрируя полученное тождество по z на интервале от 0 до 1, имеем

Таким образом,

. (24)

Так как функция , то справедлива оценка [7]:

,

из которой, с учетом (24), следует, что . Отсюда, в силу (23) и , имеем неравенство

,

означающее, что коэффициенты при λm в выражении (22) положительны. Поэтому справедливо неравенство (20) при λ ≥ 0 и, в частности, при 0 ≤ λ ≤ 2, так как и . При λ = 1 (20) также верно в силу (18).

Из леммы следует, что функция Rt(λ) монотонно возрастает по λ . Поэтому, в силу соотношений (9), валовый выпуск в момент t также монотонно возрастает по параметру v. Следовательно, наибольшее значение Rt(λ) может достигать лишь на границах отрезка :

. (25)

При t = 2 из (10) имеем , т.е. λ = 1 – точка устранимого разрыва. Тогда полагаем

. (26)

С другой стороны, по формуле (10) при λ = 0; 2 соответственно найдем ; , откуда, в силу (26) и неравенства , имеем , т.е., согласно (25), . В итоге . Тогда, с учетом (9), при условиях (19) найдем наибольший валовый выпуск в момент t по формуле

. (27)

При этом наибольший валовый выпуск в момент t соответствуют значения параметров v = 4; a = 0.

Таким образом, используя методы решения линейных разностных уравнений, а также дифференциальное и интегральное исчисление, удалось показать, что валовый выпуск в момент t является монотонно возрастающим по параметру фактора акселерации при условиях нулевых валовых выпусков и наличии кратного корня у характеристического уравнения, соответствующего разностному уравнению, описывающему указанный экономический показатель. Это, в свою очередь, позволило получить выражение для максимального валового выпуска в заданный момент времени. Найденное выражение задает оценку сверху на любой валовый выпуск в произвольный момент времени t ≥ 2 в модели роста Самуэльсона – Хикса.

Библиографическая ссылка