Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Кумыкова С.К. 1 Езаова А.Г. 1 Бозиева А.А. 1
1 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова
Настоящая статья посвящена исследованию однозначной разрешимости нелокальной задачи с дробными производными в краевом условии, для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. При ограничениях неравенственного типа на известные функции доказана теорема единственности. Доказательство теоремы проводится методом интегралов энергии. При доказательстве единственности решения задачи установлен эффект влияния коэффициента при младшей производной в уравнении на однозначную разрешимость поставленной краевой задачи. Для доказательства существования решения поставленной задачи получены соотношения между следом искомой функции u(x, 0) = (x) и следом производной искомой функции uy(x, 0) = v(x), принесенные на линию вырождения y = 0 из гиперболической и параболической частей смешанной области. Методом Трикоми существование решения задачи эквивалентно редуцированно к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно следа производной искомой функции, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения поставленной задачи.
нелокальная задача
оператор дробного дифференцирования
оператор дробного интегрирования
задача Коши
уравнение Фредгольма
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. –448 с.
2. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. –Ташкент: ФАН, 1979.
3. Кумыкова С.К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на характеристиках для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1974. – Т.10. – № 1. – C. 78–88.
4. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука, 2006. – 287 с.
5. Репин О.А., Кумыкова С.К. Задача со смещением для уравнения третьего порядка с разрывными коэффициентами // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». – 2012. – № 4(29). – С. 150–158.
6. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». – 2013. – № 1(30). – С. 150–158.
7. Репин О.А., Кумыкова С.К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка // Вестник Самарского государственного технического университета. Естественнонаучная серия. – 2012. – № 9(100). – С. 52–60.
8. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. – Ташкент: ФАН,1974. – 155 с.
9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
10. Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков М.Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные // Доклады национальной академии наук Украины. – 1997. – № 12. – С. 47–54.

Теория локальных и нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из актуальных направлений уравнений в частных производных, изучению которого посвящено немало публикаций. Актуальность этих исследований можно обосновать внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, получением новых результатов в теории дробного интегро-дифференцирования, а также их прикладным значением.

Цель исследования – доказать однозначную разрешимость задачи с дробными производными в краевом условии для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками.

Постановка задачи

Рассматривается уравнение

kumykova01.wmf (1)

где m = const > 0, в конечной области ?, ограниченной отрезками AA0, BB0, A0B0 прямых x = 0, x = 1, y = 1 соответственно, и характеристиками AC, BC равнения (1), выходящими из точек A(0;0), B(1;0) при y < 0.

Пусть Ω1 = Ω∩(y > 0); Ω2 = Ω∩(y < 0), I ≡ AB – единичный интервал 0 < x < 1 прямой y = 0.

Задача. Требуется определить функцию u(x, y), являющуюся решением уравнения (1) при y ≠ 0 из класса

kumykova02.wmf kumykova03.wmf

удовлетворяющую условиям

u(0, y) = φ1(y); u(1, y) = φ2(y), 0 ≤ y ≤ 1; (2)

u(0, y) – ux(1, y) = φ3(y), 0 ≤ y ≤ 1, (3)

kumykova04.wmf kumykova05.wmf (4)

где kumykova06.wmf (i = 1, 2, 3); kumykova07.wmf

причём kumykova08.wmf

kumykova09.wmf kumykova10.wmf kumykova11.wmf

θ0(x), θ1(x) – точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) с характеристиками AC, BC соответственно, kumykova12.wmf – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования [9].

Задача (1)–(4) относится к классу краевых задач со смещением А.М. Нахушева, исследованиями которых занимались многие авторы [1–8, 10]. Интерес к таким задачам обусловлен тем, что они существенно обобщают задачу Трикоми, содержат широкий класс корректных самосопряженных задач и имеют многомерные аналоги.

Теорема единственности

В области Ω не может существовать более одного решения задачи (1)–(4), если

2a0(x, y) – a1x(x,y) + by(x, y) – 2b(x,y)N > 0 в Ω1; (5)

b(x, y) > ρ > 0; b(x,0) = const; (6)

kumykova13.wmf (7)

где N – некоторая постоянная, удовлетворяющая условию

kumykova14.wmf

а также выполняются условия

kumykova15.wmf kumykova16.wmf (8)

kumykova17.wmf kumykova18.wmf kumykova19.wmf kumykova20.wmf (9)

Доказательство. Решение задачи Коши в области Ω2 имеет вид [1, 4]

kumykova21.wmf (10)

где τ(x) = u(x, 0); v(x) = uy(x,0), Г(α) – гамма функция Эйлера [9].

Пользуясь решением (4), вычислим

kumykova22.wmf

Последнее в терминах операторов дробного интегро-дифференцирования примет вид

kumykova23.wmf

Аналогично, получаем

kumykova24.wmf

Последнее в терминах операторов дробного интегро-дифференцирования примет вид

kumykova25.wmf

Подставляя значения, U[θ0(x)], U[θ1(x)] в условие (4), получим

kumykova26.wmf (11)

Преобразовав интегралы, входящие в (11), будем иметь

kumykova27.wmf (12)

где

kumykova28.wmf kumykova29.wmf

kumykova30.wmf kumykova31.wmf

Докажем, что решение задачи (1)–(4) единственно при выполнении условий (5)–(9) теоремы. Для этого при d(x) = 0 покажем, что интеграл kumykova32.wmf не может быть отрицательным.

Действительно,

kumykova33.wmf

Используя методику, примененную в работах [5, 7], получим при y < 0

kumykova34.wmf (13)

Очевидно I* ≥ 0, если kumykova35.wmf kumykova36.wmf γ1(x) ≥ 0. Таким образом, при выполнении условий (8)–(9) теоремы единственности I* ≥ 0.

Далее перейдём в уравнении (1) к пределу при y → +0. Будем иметь

kumykova37.wmf (14)

Выражая kumykova38.wmf из (14), находим

kumykova39.wmf

где

kumykova40.wmf kumykova41.wmf kumykova42.wmf

Или, что то же самое

kumykova43.wmf

Отсюда, интегрируя по частям, нетрудно получить

kumykova44.wmf

При выполнении условий (5)–(7) теоремы I* ≤ 0 при условиях (8), (9) I* ≥ 0. Следовательно, можно заключить, что I* = 0. Таким образом, левая часть (13) равна нулю. Поскольку слагаемые справа неотрицательны, то они также равны нулю. В частности,

kumykova45.wmf kumykova46.wmf

Так как t2ε–1 ≥ 0, то kumykova47.wmf kumykova48.wmf для всех t ∈ (0, ∞), в частности при t = 2πk, k = 0, 1, 2, …

При этих значениях t функции sin tξ, cos tξ образуют полную ортогональную систему функций в L2. Следовательно, v(ξ) = 0 почти всюду, а так как ν(x) непрерывно по условию, то v(ξ) = 0 всюду. Отсюда легко заключить, что ν(x) = 0 и при d(x) = 0 из (11) имеем τ(x) = 0. Таким образом, U(x, y) ≡ 0 в Ω2 как решение задачи Коши с нулевыми данными, а в Ω1 как решение задачи (1)–(3) с нулевыми данными. Единственность решения задачи (1)–(4) при выполнении условий теоремы доказана.

Для доказательства существования решения задачи трижды проинтегрируем от 0 до x равенство (14). Получим

kumykova49.wmf (15)

Таким образом, соотношения между τ(x) и ν(x), принесённые из областей Ω1 и Ω2, имеют соответственно вид (15) и (12). Подставим τ(x) из (12) в (15). Получим

kumykova50.wmf

Последнее в результате преобразований примет вид

kumykova51.wmf (16)

где kumykova52.wmf

kumykova53.wmf

kumykova54.wmf

kumykova55.wmf

kumykova56.wmf

Уравнение (16) при γ1(x) ≠ 0 есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода, первая часть которого kumykova57.wmf а ядро kumykova58.wmf при x ≠ t, а при x = t допускает оценку kumykova59.wmf где O(1) – ограниченная величина. Безусловная разрешимость уравнения (16) в требуемом классе функций заключается из единственности решения задачи. Решение уравнения (16) может быть найдено по формуле

kumykova60.wmf

где К(x, t) – резольвента ядра K(x, t).


Библиографическая ссылка

Кумыкова С.К., Езаова А.Г., Бозиева А.А. НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ // Современные наукоемкие технологии. – 2016. – № 3-2. – С. 252-256;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=35729 (дата обращения: 24.06.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674