Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,899

О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Жаныс А.Б. 1
1 Кокшетауский университет имени Абая Мырзахметова
В данной работе построим один класс нелинейных краевых задач. Результаты будут новыми и для линейных задач, рассмотренных ранее.
линейные операторы
нелинейный оператор
дифференцируемая функция
1. Мухамбетжанов А.Т., Отелбаев М.О., Смагулов Ш.С. Об одном методе фиктивной области для нелинейных краевых задач // Вычислительная технология, т. 3. – № 4, Н:, С. 41–64.
2. Аруова А.Б. О приближенном решении линейных уравнений вариационным методом //Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат.наук, КазНУ им. Аль-Фараби. – С. 101.
3. Алданов Е.С. Построение приближенных решений задач теории упругости и теплопроводности на основе вариационного метода // Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат.наук, КазНУ им. Аль-Фараби. – С. 105.

В пространстве L2(Ω) (Ω – ограниченная область в Rn) рассмотрим краевую задачу

gan01.wmf в Ω,

gan02.wmf, gan03.wmf. (1)

Здесь gan04.wmf – часть границы ∂Ω области Ω, L – необязательно линейный, а Bj(j = 1,2,3,…n) линейные дифференциальные операторы. Если в этом есть необходимость, пользуясь продолжениями из Ω на Rn, будем считать, что операторы L(∙) и Bj(∙)(j = 0,1,2,…n) определены для всех u из gan05.wmf.

Пусть Q – область, содержащая Ω. Предположим, что:

(П 1). Задача (1) для любого f∈L2(Ω) однозначно разрешима. Существуют область Q, содержащая Ω, и ограниченный интегральный оператор А, такие, что решение u задачи допускает продолжение из Ω на Q, представимое в виде

gan06.wmf gan07.wmf,

причем

gan08.wmf.

(П 2). Операторы BjA(j = 1,2,3,…k) – ограниченные интегральные операторы в L2(Q), а преобразование L(Av) непрерывно.

Пусть g1, g2,… gn – функции, ограниченные на ∂Ω. Допустим, S – линейный оператор продолжения, сопоставляющий g1, g2,… gn – функцию u из L2(Q), такую, что в смысле обобщенных функций на ∂Ω выполнены равенства

gan09.wmf, gan10.wmf.

Для функции gan11.wmf определим

gan12.wmf

Продолжив эти gj(j = 1,2,3,…n) оператором S, получим

gan13.wmf. (2)

Для разности

gan14.wmf. (3)

В смысле обобщенных функций имеем

gan15.wmf, gan16.wmf.

Будем еще предполагать, что выполнено условие.

(П 3). Решения u задачи (1) представимы в виде

gan17.wmf,

при этом

gan18.wmf.

Если выполнены предположения (П 1), (П 2) и (П 3), то в качестве В [1] можно взять единичный оператор, а в качестве А – оператор G из равенства (2). Тогда при некоторых условиях на G мы сможем воспользоваться результатами П 1. Оператор продолжения эффективно построить удается не всегда. Этот вопрос следует рассматривать отдельно в каждом конкретном случае.

Если оператор А удается выбрать удачно, то итерационная схема, составленная по алгоритму из [1], будет сходиться со скоростью геометрической прогрессии. Сложность выбора оператора А вызвана тем, что он связан граничными условиями. Построение оператора продолжения из П 3 является сложной технической задачей. Ниже мы предлагаем «грубый метод», который, на наш взгляд, более удобен в реализации.

Рассмотрим в области Ω∈Rn краевую задачу

gan19.wmf,

gan20.wmf. (4)

Здесь L0 – строго эллиптический оператор второго порядка, B(∙) – нелинейный оператор, N – линейный дифференциальный граничный оператор, не выше первого порядка.

(П 4). Предположим, что при любом f ∈L2(Ω) задача (4) имеет единственное решение u, которое продолжается на все Rn, так, что gan21.wmf и кроме того, если f ∈C(Ω), то gradu∈C(Ω).

Линейные операторы L0 и N (являющиеся, вообще говоря, операторами с переменными коэффициентами) также будем считать определенными на всех функциях из gan22.wmf. Будем предпологать, что B(u) = F(u, x), где F(∙,∙) – дважды непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов u∈(– ∞, ∞), x∈Rn.

Нас интересует приближенное решение (4) при f ∈C(Ω). Согласно (П 4) решение задачи (4) ограничено. Ограничены также его первые производные. Поэтому решение (4) совпадает с решением следующей задачи:

gan23.wmf (4’)

gan24.wmf.

Здесь γ(x) – дважды гладкая функция, такая, что

gan25.wmf, (5)

где t0 и t1 зависят от f0 и 0 < t0 < t1. Возьмем область Q, строго содержащую Ω. Тогда в силу (4) решение можно представить в виде u = Av, где A – самосопряженный интегральный оператор, действующий из L2 в gan26.wmf:

gan27.wmf, (6)

где gan28.wmf.

За ядро A(x, y) оператора A из (6) можно взять, например, функцию Грина для – Δ + E с периодическими краевыми условиями в кубе Q, содержащем в Ω. За A(x, y) можно также взять функцию Грина задачи Дирихле (или Неймана) для – Δ + E.

Еще один вариант выбора A(x, y) следующий. Пусть G(x – y) функция Грина оператора – Δ + E на всем Rn. Эта функция может быть выписана явно (ядро Бесселя-Макдонольда). Положим A(x, y) = χQ(x) G(x – y) χQ(y), где χQ(∙) – характеристическая функция области Q, а Q – произвольная область, содержащая Ω (в частности, Q может совпадать со всем Rn). Подставим u = Av в уравнение (6) и получим

gan29.wmf в Ω,

gan30.wmf. (7)

Здесь gan31.wmf. Введем функционал

gan32.wmf

где DS – элемент поверхности ∂Ω. Оператор NA будет интегральным, с ядром N(x, y).

Поэтому, как и в [1], J можно записать в виде

gan33.wmf (8)

где χ – характеристическая функция Ω, gan34.wmf – самосопряженный интегральный оператор с ядром

gan35.wmf.

Если v – решение задачи (7), то J обращается в нуль и наоборот, если J(v) = 0, то v есть по крайней мере или слабое, или обобщенное решение задачи (7). Следовательно, приближенное решение (7) можно искать как последовательность, реализующую минимум J.

Для минимизации J(v)нужны некоторые предположения.

(П 5). Существует θ∈[0,1], такое, что, если J(v1), J(v2) < C < ∞ то χAv1, χAv2 имеют продолжения u1 и u2 из Ω на Q, для которых

gan36.wmf,

где C1 – не зависит от v1 и v2. Это предположение для корректных эллиптических задач, как правило, выполняется, при этом θ < 1.

Норма левой части тем сильнее, чем больше θ. Увеличению θ мешает в основном граничное условие.

(П 6). Если gan38.wmf то gan39.wmf, а задача

gan40.wmf,

gan41.wmf

однозначно разрешима. Причем u допускает продолжение gan42.wmf из Ω на Q, удовлетворяющее оценке

gan43.wmf

где c не зависит от R, но может зависеть от J(v).

Сначала рассмотрим «дифференциальный» вариант приближенного решения задачи (4). Допустим, что v в выражении для J зависит от параметра ξ. Продифференцируем J по ξ:

gan44.wmf

Здесь

gan45.wmf,

gan46.wmf.

Выберем vξ из уравнения

gan47.wmf

gan48.wmf. (9)

Нетрудно доказать, что задача Коши разрешима. Таким образом,

gan49.wmf, gan51.wmf. (10)

Отсюда вытекает

gan52.wmf,

gan53.wmf. (11)

В предположении (П6) за R примем χ(M(v) – f). Пусть gan54.wmf – функция из (П6). Умножим vξ скалярно на gan55.wmf. Тогда

gan56.wmf.

(Здесь мы учитывали, что gan57.wmf обращается в нуль в силу равенств gan58.wmf)

Из (П6) и полученного для gan59.wmf равенства имеем

gan60.wmf

Отсюда и из (11) вытекает, что

gan62.wmf (12)

Умножим теперь vξ на v скалярно и проинтегрируем от 0 до ξ:

gan63.wmf

gan64.wmf

gan65.wmf.

Это равенство и (12) дают оценку

gan66.wmf.

В силу построения gan61.wmf подынтегральное выражение в правой части ограничено постоянным числом. Поэтому

gan67.wmf. (13)

Далее из (11) получаем, что J по ξ монотонно не возрастает. Следовательно (14), вытекает

gan68.wmf.

А это неравенство дает

gan69.wmf, gan70.wmf. (14)

Теперь воспользуемся предположением (П 2). Тогда получаем, что имеет место

Теорема 1. Пусть выполнены предположения (П 5), (П 6) и (П 7). Тогда, если v решение  (9). Положим u = Av, тогда имеет место оценка

gan71.wmf.

Доказательство. Первое неравенство непосредственно следует из (13). Достаточно доказать второе неравенство. Из предположения (П6) имеем

gan72.wmf

gan73.wmf.

Отсюда вытекает второе неравенство теоремы.

Замечание 1 . В условиях теоремы 1 при ξ → ∞ функционал J стремится к нулю, а v стремится к решению. Стремления к нулю J можно добиться в более слабых ограничениях. Например, возьмем

gan74.wmf, gan75.wmf

gan76.wmf. (14)

Подставляя vξ в выражение для Jξ, получаем Jξ = – J. Поэтому при таком выборе vξ

gan77.wmf, gan78.wmf

Видно, что J стремится к нулю экспоненциально. Но отметим, что задачу Коши (14) теперь труднее решать (а также доказывать существование ее решения), чем задачу (9).

Выкладки этого замечания верны для очень обширного класса задач, по крайней мере, формально. Поэтому, базируясь на выборе (14), можно составить для задачи (14) (а следовательно, и для (7)) итерационный процесс

gan79.wmf,

gan80.wmf

n = 1,2,…. (15)

В этом процессе ε1,ε2…, выбирается следующим образом. Пусть уже выбран εn – 1. Вычислим vn + 1 по формуле (10). Выбрав gan81.wmf и обозначив вычисленное значение vn + 1 через vn + 1,j), найдем J(vn + 1,j) (j = – 1,0,1). Обозначим gan82.wmf(j = – 1,0,1). Если gan83.wmf, то берем εn = 2εn – 1, если же gan84.wmf и gan85.wmf, то берем εn = εn – 1.

Наконец, если J(vn + 1,1), gan86.wmf, то берем gan87.wmf. Мы можем оказаться в ситуации, когда вычисленное значение J(vn + 1) (с уже выбранным) εn не меньше, чем J(vn). В таком случае нужно делать пересчет vn + 1, взяв εn = 0,5εn. Для достаточно общих краевых задач, которые удовлетворяют (П 4), (П 5) и (П 6) можно доказать, что такой расчет приведет к построению последовательности vn, для которой имеет место соотношение J(vn) → 0. В предположениях (П 5), (П 6) из стремления J(vn) к нулю вытекает сходимость vn (в слабой метрике) к решению задачи (7).

Основным недостатком метода, описанного выше, является тот факт, что уравнение  (9), позволяющее строить приближенное решение (7), само есть дифференциальное уравнение. Более удобным для численной реализации был бы дискретный вариант (14).

Считаем также, что выполнены предположения (П 4), (П 5) и (П 6). Кроме того, предположим также, что выполнено следующее условие.

(П7). Если gan88.wmf, то выполнено неравенство gan89.wmf, где c1 < ∞ непрерывно зависит от c0 и не убывает при возрастании c0.

Пусть gan90.wmf где ε0 – число, фигурирующее в (П 7). Тогда

gan91.wmf

gan92.wmf

gan93.wmf

= gan94.wmf

+ gan95.wmf

gan96.wmf

gan97.wmf gan98.wmf.

Отсюда и из предположения (П 7) вытекает, что

gan99.wmf,

где C2 зависит от J(v0) =C0. Выберем gan100.wmf, где

gan101.wmf

Откуда

gan102.wmf (16)

Оценим gan103.wmf Пусть g – решение задачи

gan104.wmf в gan105.wmf

gan106.wmf.

Продолжим g с Ω на Q согласно (П 6). Это продолжение обозначим также через g. Положим gan107.wmf. Умножим ω скалярно на g. Тогда с учетом граничного условия на g, определения Т и выбора g, имеем

gan108.wmf

Теперь, учитывая (4.3), получаем

gan109.wmf

Поэтому

gan110.wmf. (17)

Отсюда вытекает, что gan111.wmf, если J(v) ≠ 0. Действительно, если gan112.wmf, то из (17) следует, что gan113.wmf в Ω. Поэтому в силу определения gan114.wmf имеем gan115.wmf gan116.wmf. Но тогда J(v) = 0. В случае J(v) = 0 получаем, что v – решение (7), и цель достигнута. Следовательно, можно считать, что gan117.wmf. Выберем теперь ε положительным и таким, что gan118.wmf. Отсюда и из (16) вытекает

gan119.wmf

gan120.wmf (18)

Определим последовательность gan121.wmf по рекуррентным формулам:

gan122.wmf, gan123.wmf

gan124.wmf (19)

(напомним, что χ – характеристическая функция Ω).

Теорема 2. Пусть выполнены предположения (П 4), (П 5), (П 6), (П 7) и пусть vn(n = 0,1,2,…) – последовательность, построенная по рекуррентным формулам (15). Тогда

gan125.wmf,

где С не зависит от f.

Функции χAvn имеют продолжения gan126.wmf из Ω на Q, такие, что

gan127.wmf (gan128.wmf).

Последовательность Avn сходится к решению задачи (4).

Доказательство. Из (14) вытекает, что

gan129.wmf. (20)

Умножим ωn на vn скалярно

gan130.wmf

или

gan131.wmf

Просуммируем эти неравенства по всем n от 0 до k:

gan132.wmf

Теперь воспользуемся (12), (14) и построением gan133.wmf по B(∙). Получим неравенство

gan134.wmf (21)

Преобразуем второе слагаемое левой части последнего неравенства (16):

gan135.wmf

Отсюда, учитывая соотношение

gan136.wmf,

из (16) имеем оценку

gan137.wmf

Поскольку функционал J(vn) не возрастает по n, из этого неравенства следует оценка

gan138.wmf.

Это неравенство и предположение (П 6) доказывают теорему.

О приближенном решении нелинейной параболической задачи

Рассмотрим задачу

gan139.wmf, gan140.wmf

gan141.wmf gan142.wmf (22)

Здесь L0 – строго эллиптический линейный оператор второго порядка, gan143.wmf – дважды непрерывно-дифференцируемая функция своих аргументов gan144.wmf, gan145.wmf, gan146.wmf.

Если для задачи

gan147.wmf,

gan148.wmf gan149.wmf (23)

можно явно написать функцию Грина, то использование результатов из [1] дает эффективный метод решения.

Как правило, для задачи (23) явно выписать функцию Грина невозможно. Поэтому мы будем действовать методом, описанным выше, т.е. методом фиктивных областей.

Пусть Q – куб, содержащий Ω. Помимо (17) рассмотрим задачу

gan150.wmf, gan151.wmf

gan152.wmf (24)

По пространственным переменным присоединим к (24) периодические краевые условия.

Пусть gan153.wmf – функция Грина задачи (24). Она может быть выписана явно. Обозначим

gan154.wmf. (25)

Приближенное решение задачи (23) будем искать в виде gan155.wmf. Тогда v, очевидно, удовлетворяет уравнению

gan156.wmf, (26)

где gan157.wmf.

Для Av начальное условие

gan158.wmf (27)

Так же, как и в [1], имеются другие варианты выбора А, например,

gan159.wmf,

где gan161.wmf – функция Грина для уравнения теплопроводности gan162.wmf, gan163.wmf gan164.wmf. Явный вид gan165.wmf можно найти в любой книге по уравнениям математической физики.

Для приближенного решения задачи (22) будем пользоваться следующими предположениями (П 8), (П 9), (П 10):

(П 8). Задача (22) однозначно разрешима для любого gan166.wmf, где gan167.wmf. Причем, если gan168.wmf, то решение u(t, x) также непрерывно на Ω0,1.

В силу этого предположения при gan169.wmf решение (22) совпадает с решением

gan170.wmf,

gan171.wmf gan172.wmf, (28)

где gan173.wmf. Здесь γ должна быть непрерывно дифференцируемой функцией, которая равна 1 при gan174.wmf и нулю при gan175.wmf. Числа t1 и t2 зависят от f. Будем решать задачу при gan176.wmf.

Теперь вместо (26)–(27) имеем

gan177.wmf,

gan178.wmf.

Введем, как обычно, функционал J(v):

gan179.wmf

(dS(x) – элемент поверхности gan180.wmf, χ – характеристическая функция Ω). Как и в [1], этот функционал можно переписать в виде

gan181.wmf

Здесь gan182.wmf и gan183.wmf норма и скалярное произведение в gan184.wmf,

gan185.wmf

Теперь можем перечислить остальные предположения, которые нужны в дальнейшем.

(П 9). Если gan186.wmf, gan187.wmf и gan188.wmf gan189.wmf то

gan191.wmf

gan192.wmf.

(П 10). Если gan193.wmf, то задача

gan194.wmf, gan195.wmf, gan196.wmf

gan197.wmf gan198.wmf

однозначно разрешима, причем решение u(t, x) из Ω0,1 продолжается на Q0,1 так, что

gan199.wmf

gan200.wmf

по пространственным переменным функция gan201.wmf (gan202.wmf – продолжение u) удовлетворяет периодическим краевым условиям.

(П 11). Если gan203.wmf

gan204.wmf

то

gan205.wmf

где gan206.wmf непрерывно зависит от C0 и монотонно не возрастает при возрастании C0.

Построим последовательность vn по рекуррентным формулам

gan207.wmf

gan208.wmf.

Так же, как аналогичная выше, доказывается теорема.

Теорема 3. Пусть f непрерывна Ω0,1 и выполнены предположения (П8) – (П11). Существует число δ0 > 0, такое, что при gan209.wmf последовательность, построенная по формулам (6.6), удовлетворяет условиям:

1) J(vn) монотонно убывает и стремится к нулю, причем gan210.wmf

2) χAvn стремится в gan211.wmfк решению u задачи (3.81), причем

gan212.wmf.

Так как точное значение δ из теоремы найти трудно, целесообразно поступить следующим образом: нужно взять δ не постоянным, а зависящим от m. Пусть δm на m-м шаге уже принята. Подсчитаем vm + 1 и J(vm + 1) с δm + 1, равной δm, а затем подсчитаем gan213.wmf и gan214.wmf, положив δm + 1 = δm. Если gan215.wmf ≤ J(vm + 1), то окончательно примем δm + 1 = δm, J(vm + 1) ≤ gan215.wmf, то за δm + 1 возьмем 0,5δm.


Библиографическая ссылка

Жаныс А.Б. О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ // Современные наукоемкие технологии. – 2015. – № 4. – С. 31-39;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=35010 (дата обращения: 26.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074