Научный журнал
Современные наукоемкие технологии
ISSN 1812-7320
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

ПОИСК ОПТИМАЛЬНОГО ВАРИАНТА ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТАМ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Акимжанов А.Т. 1 Светличная В.Б. 1
1 Волжский политехнический институт
1. Основы методов оптимизации / ЛВ.В.есин, Ю.П. Лисовец – М.: Изд-во МАИ», 1998. – 248-266с.
2. Методы принятия оптимальных решений. Часть I / Д.К.Агишева, С.А. Зотова, Т.А. Матвеева, В.Б. Светличная / ВПИ (филиал) ВолгГТУ. – Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011. – 143-153 с.

Динамическое программирование – это математический метод поиска оптимального управления, специально приспособленный к многошаговым процессам. Ключевая идея динамического программирования заключается в нахождении оптимального решения подзадач меньшего размера с дальнейшим объединением в одно общее решение. Метод позволяет достичь существенной экономии вычислений по сравнению с полным перебором вариантов.

Реализацию метода динамического программирования рассмотрим на примере решения следующей дискретной задачи.

Для подготовки к трем зачетам по дисциплинам: теоретическая механика, математика и английский язык студенту предоставлено 4 дня. Зависимость получения баллов на зачете от количества затраченных на подготовку дней представлены в табл. 1. Необходимо определить стратегию подготовки к трем зачетам, так чтобы получить максимальную сумму баллов.

Таблица 1

Зависимость количества баллов от затраченных на подготовку дней

Количество баллов, fk(u)

Выделенные дни на подготовку к зачетам, u

0

1

2

3

4

f1(u)

0

10

17

21

38

f2(u)

0

25

29

36

40

f3(u)

0

6

12

18

39

Для решения задачи сформулируем многошаговую математическую модель: akim.wmf – Целевая функция задачи (максимальное количество баллов), где matm12.wmf – оставшееся количество дней (xk) после k-го выученного предмета (фазовая траектория), matm13.wmf– количество дней (uk) затраченных на k-й зачет (вектор управлений).

matm14.wmf

matm15.wmf – уравнение состояний, xk∈[0;4] и uk ∈[0;4–xk-1].

Рассмотрим реализацию метода динамического программирования:

Этап 1. (условная оптимизация).

Шаг 1. Найдем matm16.wmf – функция Беллмана. Так как matm17.wmf есть возрастающая функция аргумента u3 (по табл. 1), то её максимум достигается при максимально допустимом значении u3, т.е. matm18.wmf.

Отсюда,

matm19.wmf.

Значения matm20.wmf, найдем с помощью табл. 1.

Таблица 2

Значения функции matm21.wmf

x2

0

1

2

3

4

matm22.wmf

matm23.wmf

18

12

6

0

Шаг 2. Найдем

matm24.wmf.

Для определения максимума функции

matm25.wmf

составим табл. 3, используя табл. 1 и 2.

Таблица 3

Значения функции matm26.wmf

x1

u2

0

1

2

3

4

0

matm27.wmf

matm28.wmf

matm29.wmf

matm30.wmf

matm31.wmf

1

matm32.wmf

37

35

36

-

2

matm33.wmf

31

29

-

-

3

matm34.wmf

25

-

-

-

4

matm35.wmf

-

-

-

-

В табл. 3 жирным шрифтом выделены максимальные по u2 значения функции matm36.wmf, соответствующие различным x1. С помощью табл. 3 находим значения функции matm37.wmf.

Таблица 4

Значения функции matm38.wmf

x1

0

1

2

3

4

43

37

31

25

0

Таблица 5

Значения функции matm39.wmf

x1

0

1

2

3

4

1

1

1

1

0

Шаг 3. Найдем

matm40.wmf,

где x0=0. Для определения максимума matm41.wmfсоставим табл. 6 значений функции

matm42.wmf,

которые найдем с помощью табл. 1 и 4.

Таблица 6

Значения функции matm43.wmf

u1

0

1

2

3

4

matm44.wmf

matm45.wmf

47

48

46

40

Из таблицы следует, что u*1(0)=2; B1(0)=48.

Этап 2. (безусловная оптимизация).

Шаг 0. Оптимальное начало фазовой траектории определяется начальным условием х*0=0.

Шаг 1. С помощью таблицы находим

u*1= u*1(0)=2; x*1=x*0+u*1=0+2=2.

Шаг 2. Из таблицы 5 получаем

u*2= u*2(2)=1; х*2=х*1+u*2=2+1=3.

Шаг 3. u*3=u*3(x*2)=u*3(3)=1; x*3=x*2+u*3=3+1=4.

В результате проведенных расчетов получаем: количество дней затраченных на 1-2-3 зачет соответственно, при этом максимальное суммарное количество баллов составляет B1(0)=48 баллов.


Библиографическая ссылка

Акимжанов А.Т., Светличная В.Б. ПОИСК ОПТИМАЛЬНОГО ВАРИАНТА ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТАМ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5-2. – С. 187-188;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=34059 (дата обращения: 04.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674